浙江省衢州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题（Word版带解析）

衢州市2022年1月高一年级教学质量检测试卷数学考生须知：1．全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2．试卷共4页，有4大题，22小题.满分150分，考试时间120分钟.3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.选择题部分（共60分）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选：B.2.若幂函数的图象经过点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，即可求得的值.【详解】由已知可得，解得.故选：C.3.设R，则“＞1”是“＞1”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向左平移B.向右平移C.向右平移D.向左平移【答案】B【解析】【分析】根据左右平移的平移特征（左加右减）即可得解.【详解】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.故选：B.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用诱导公式即可化简求值得解． 【详解】∵，∴.故选：C．6.已知，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平方关系求得，再根据结合两角和的余弦公式即可得解.【详解】解：因为，所以，所以，所以.故选：D.7.浙江省在先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，统计数据表明，2021年前三季度全省生产总值同比增长10.6%，两年平均增长6.4%，倘若以8%的年平均增长率来计算，经过多少年可实现全省生产总值翻一番（，）（）A.7年B.8年C.9年D.10年【答案】D【解析】【分析】由题意，可得，，两边取常用对数，根据参数数据即可求解. 【详解】解：设经过年可实现全省生产总值翻一番，全省生产总值原来为，由题意可得，即，两边取常用对数可得，所以，因为,所以，所以经过10年可实现全省生产总值翻一番.故选：D.8.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性，，再根据函数的单调性即可得出函数的单调性，再根据函数的单调性结合奇偶性即可解不等式.【详解】解：函数定义域为R，因，所以函数为奇函数，由，因为函数在上都是增函数，所以函数在上都是增函数， 又且函数在R上连续，所以函数在R上递增，因为，所以，所以，解得，即不等式的解集为.故选：A.二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.是奇函数B.是偶函数C.关于点成中心对称D.关于点成中心对称【答案】BD【解析】【分析】化简函数的解析式，利用余弦函数的奇偶性与对称性可得结果.【详解】因为，故函数为偶函数，因为函数的对称中心坐标为，所以，函数的图象关于点成中心对称.故选：BD.10.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60 秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（）A.点P第一次达到最高点，需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米D.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；令，解得：，，当时，（s），B选项正确； ，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；故答案为：ABD11.若a，，，则下列说法正确的有（）A.的最小值为4B.的最大值为C.的最小值为D.的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式依次判断即得.【详解】由a，，，可得，对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误；对于B，∵，当且仅当，即时取等号，∴，即的最大值为，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确；对于D，由题可得，，∴，而，当且仅当，即时取等号，∴，即的最大值是，故D正确.故选：BCD.12.已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（）A.2B.3C.4D.5【答案】BCD【解析】【分析】根据两集合相等可以确定，则B集合中不等式可转化为，然后利用判别式法解不等式组即可求得答案.【详解】由题意知：，由知：即,由可知：且为 此时须满足，解得，故实数a的取值范围是，因此a的取值可以是3,4,5，故选：BCD.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.设函数则的值为________．【答案】【解析】【分析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】因为函数，所以，则，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.14.函数在______单调递增（填写一个满足条件的区间）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性的求法求解【详解】由，得，解得或，所以函数的定义域为， 令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，所以在上单调递增，故答案为：（答案不唯一）15.若，则______．【答案】##-0.2【解析】【分析】在所求代数式上除以，然后在所得分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】.故答案为：.16.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】令，转化条件为方程有解，运算可得【详解】令，则，化简得，所以，解得或（舍去）， 当时，，符合题意，所以得最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程成验算步骤．17.计算下列各式值．（1）（2）【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简计算即得；（2）利用同角关系式、辅助角公式可得原式，再利用诱导公式及二倍角公式，化简计算即得.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式 .18.已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|x2-x<0}（I）若a=1，求AB，；（II）若AB=，求实数a的取值范围【答案】（I）；（II）或【解析】【分析】（I）先解不等式得集合B，再根据并集、补集、交集定义求结果；（II）根据与分类讨论，列对应条件，解得结果.【详解】（I）a=1，A={x|0<x<3}，所以；（II）因为AB=，所以当时，，满足题意；当时，须或综上，或【点睛】本题考查集合交并补运算、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.19.己知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函教，的值域．【答案】（1），单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，从而可求出函数的周期，由可求出函数的减区间，（2）由，得，然后利用正弦函数的性质可求出函数的值域【小问1详解】∴令，，解得，函数的单调递减区间为【小问2详解】∵，∴故有，则的值域为20.在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完． （1）写出利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】（1）；（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.【小问1详解】由题意可知，当时，，当时，，故有；【小问2详解】当时，，即时，，当时，有，当且仅当时，, 因为，所以时，，答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.21.设函数（且，）．（1）若是定义在R上的偶函数，求实数k的值；（2）若，对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由函数奇偶性列出等量关系，求出实数k的值；（2）对原式进行化简，得到对恒成立，分和两种情况分类讨论，求出实数a的取值范围.【小问1详解】由可得，即对恒成立，可解得:【小问2详解】当时，有由，即有，且故有对恒成立，①若，则显然成立②若，则函数在上单调递增 故有，解得：；综上：实数a的取值范围为22.已知函数，，．（1）求函数的值域；（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对任意的，都存在四个不同的实数，，，，使得，其中，2，3，4，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用基本函数的单调性即得；（2）由题可得恒成立，再利用基本不等式即求；（3）由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，利用二次函数的图像及性质可得，即求.【小问1详解】∵函数，，所以函数在上单调递增，∴函数的值域为；【小问2详解】∵对任意的，都有恒成立，∴，即， 即有，故有，∵，，∴，当且仅当，即取等号，∴，即，∴实数a的取值范围为；【小问3详解】∵函数的值域为，由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，又，则必有，令，， 故有，故有，可解得，∴实数a的取值范围为.