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江苏省南通、泰州、淮安、镇江、宿迁2021-2022学年高三数学下学期2月模拟考试(南通一模)(Word版附答案)
江苏省南通、泰州、淮安、镇江、宿迁2021-2022学年高三数学下学期2月模拟考试(南通一模)(Word版附答案)
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2022届高三年级模拟试卷(南通)数 学(满分:150分 考试时间:120分钟)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={-1,0,1},B={x|lg(x+2)>0},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.(-1,+∞)2.已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数,则z=( )A.2B.-2C.2iD.-2i3.已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼,其中甲每隔1天去一次,乙每隔2天去一次,丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去锻炼,则下一次三人都去锻炼的日期是( )A.2月25日B.2月26日C.2月27日D.2月28日4.把函数y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象;再将f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)=( )A.-sin4xB.sinxC.sin(x+)D.sin(4x+)5.某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定:(1)每位学生每天最多选择1项;(2)每位学生每项一周最多选择1次.学校提供的安排表如下:时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项,则不同的选择方案共有( )A.6种B.7种C.12种D.14种6.在(x3-2y)(x2+)6的展开式中,x6y3项的系数为A.-10B.5C.35D.507.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A.若AF1=F1F2,则C的离心率是( )A.B.C.D.8.已知α,β均为锐角,且α+β->sinβ-cosα,则( )A.sinα>sinβB.cosα>cosβC.cosα>sinβD.sinα>cosβ二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列函数最小值为6的是( )A.y=lnx+B.y=6|sinx|+C.y=3x+32-xD.y=10.已知直线l与平面α相交于点P,则( )A.α内不存在直线与l平行B.α内有无数条直线与l垂直C.α内所有直线与l是异面直线D.至少存在一个过l且与α垂直的平面11.为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题,科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统.规定:某区域内的m个点Pi(xi,yi,zi)的深度zi的均值为深度zi∉[μ-3σ,μ+3σ]的点视为孤立点.则根据下表中某区域内8个点的数据,有( )PiP1P2P3P4P5P6P7P8xi15.115.215.315.415.515.415.413.4yi15.114.214.314.414.515.414.415.4zi2012131516141218A.μ=15B.σ=C.P1是孤立点D.P2不是孤立点12.定义:在区间I上,若函数y=f(x)是减函数,且y=xf(x)是增函数,则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得( )A.f(x)=在(0,+∞)上是“弱减函数”B.f(x)=在(1,2)上是“弱减函数”C.若f(x)=在(m,+∞)上是“弱减函数”,则m≥eD.若f(x)=cosx+kx2在(0,)上是“弱减函数”,则≤k≤三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点P(1,1)作圆C:x2+y2=2的切线交坐标轴于点A,B,则·=________.14.已知tanα,tanβ是方程3x2+5x-7=0的两根,则=________.15.写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数f(x)=________.①f(x)为奇函数;②f(x)存在3个不同的零点;③f(x)在(1,+∞)上是增函数.16.在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=∠CBA=,O为AB的中点.将△BOC沿OC折起,使点B到达点B′的位置,则三棱锥B′ADC外接球的表面积为__________;当B′D=时,三棱锥B′ADC外接球的球心到平面B′CD的距离为________.(第一空2分,第二空 3分)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=7,b=8,从下面两个条件中任选一个作为已知条件,试判断△ABC是否为钝角三角形,并说明理由.①cosC=;②cosB=.18.(本小题满分12分)设Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=1,且S1,S3,S2成等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求使Sn≤3an成立的n的最大值. 19.(本小题满分12分)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AA1=AD=2BC=2,AB=,点E在棱A1D1上,平面BC1E与棱AA1交于点F.(1)求证:BD⊥C1F;(2)若BE与平面ABCD所成角的正弦值为,试确定点F的位置.20.(本小题满分12分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),四点M1(4,),M2(3,),M3(-2,-),M4(2,)中恰有三点在C上.(1)求C的方程;(2)过点(3,0)的直线l交C于P,Q两点,过点P作直线x=1的垂线,垂足为A.求证:直线AQ过定点. 21.(本小题满分12分)对飞机进行射击,按照受损伤影响的不同,飞机的机身可分为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个部分.要击落飞机,必须在Ⅰ部分命中一次,或在Ⅱ部分命中两次,或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击中飞机时,命中Ⅰ部分的概率是,命中Ⅱ部分的概率是,命中Ⅲ部分的概率是,射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机,且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率;(2)求击落飞机的命中次数X的分布列和数学期望. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=+lnx.(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若f(x1)=f(x2)=2(x1≠x2),求证:a2<x1x2<ae. 2022届高三年级模拟试卷(南通)数学参考答案及评分标准1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.D 9.BC 10.ABD 11.ABD 12.BCD13.-2 14. 15.x3-x(答案不唯一,形如ax3+bx(b<0,3a+b≥0)) 16.4π 17.解:若选①.在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c2=72+82-2×7×8×=9,所以c=3.(4分)因为c<a<b,所以B是△ABC的最大角.(7分)在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得cosB===-<0,所以B是钝角,所以△ABC是钝角三角形.(10分)若选②.(解法1)在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得82=72+c2-2×7c×,化简得(c-5)(c+3)=0,解得c=5或c=-3(舍去).(4分)所以c<a<b,所以B是△ABC的最大角.(7分)因为cosB=>0,所以B是锐角,所以△ABC不是钝角三角形.(10分)(解法2)在△ABC中,因为cosB=,所以sinB==.在△ABC中,由正弦定理=,得sinA===.(4分)因为cosB=>0,所以B是锐角.又a<b,所以A<B,所以A是锐角.(6分)因为sinA=,所以cosA==.所以cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=>0,所以C是锐角.综上,△ABC不是钝角三角形.(10分)18.解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),(解法1)因为S1,S3,S2成等差数列,所以2S3=S1+S2,所以2(a1+a2+a3)=a1+(a1+a2),所以a2+2a3=a2+2a2q=0.(2分) 因为a2≠0,所以q=-,所以{an}的通项公式为an=(-)n-1.(4分)(解法2)因为S1,S3,S2成等差数列,所以2S3=S1+S2.当q=1时,2S3≠S1+S2,所以q≠1.所以=a1+,(2分)解得q=-或q=0(舍去),所以{an}的通项公式为an=(-)n-1.(4分)(2)由(1)得Sn=1×=[1-(-)n].由Sn≤3an,得[1-(-)n]≤3(-)n-1,即(-)n-1≥.(8分)当n为偶数时,(-)n-1=-()n-1<0,舍去.当n为奇数时,(-)n-1=()n-1≥,所以n-1≤2,即n≤3.所以使Sn≤3an成立的n的最大值是3.(12分)19.(1)证明:在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD.又AD⊥AB,所以以{,,AA1}为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AD∥BC,AA1=AD=2BC=2,AB=,所以A(0,0,0),B(,0,0),D(0,2,0),C1(,1,2).(2分)设F(0,0,h),则=(-,2,0),C1F=(-,-1,h-2),所以·C1F=(-)×(-)+2×(-1)+0×(h-2)=0,所以⊥C1F,所以BD⊥C1F.(4分) (2)解:由(1),设E(0,m,2)(0≤m≤2),则=(-,m,2).设BE与平面ABCD所成角为θ,由平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1),得sinθ=|cos〈,n〉|==,解得m=,所以E是棱A1D1的一个四等分点(靠近点A1).(8分)如图,在平面A1B1C1D1内,连接C1E并延长,交B1A1的延长线于点G,连接BG交AA1于点F.因为A1E∥B1C1,A1E=B1C1.所以A1G=A1B1.又A1B1=AB,A1G∥AB,所以F为AA1的中点.(12分)20.(1)解:因为点M3(-2,-),M4(2,)关于原点对称,所以M3,M4均在C上.又->-=1,所以点M1不在C上.所以M2,M3,M4在C上.(2分)所以解得所以双曲线C的方程为-y2=1.(4分)(2)证明:①当l与x轴不重合时,设l:x=ty+3.由消x得(t2-3)y2+6ty+6=0.所以即t2≠3.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则A(1,y1),y1+y2=-,y1y2=,(7分)直线AQ的方程为y-y1=(x-1),即y=[(x-1)+].因为===-1,所以直线AQ的方程为y=(x-2),所以直线AQ过定点(2,0).(11分)②当l与x轴重合时,直线AQ过定点(2,0).综上,直线AQ过定点(2,0).(12分)21.解:(1)设“恰好在第二次射击后击落飞机”为事件A,分两种情况:①第一次命中Ⅱ或Ⅲ部分,第二次命中Ⅰ部分的概率为(+)×=; ②两次恰好都命中Ⅱ部分的概率为×=,所以P(A)=+=.(4分)(2)X所有可能的取值为1,2,3,4.(6分)根据已知,得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=4)=1---=,P(X=4)=C·×()2=.所以X的分布列为X1234P(10分)X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.(12分)22.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-+=.①当a≤0时,f′(x)>0;(2分)②当a>0时,由f′(x)>0,得x>a;由f′(x)<0,得0<x<a.所以当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(4分)(2)证明:由(1),不妨设0<x1<a<x2.先证x1x2>a2.设F(x)=f(x)-f()(0<x<a),则F′(x)=f′(x)+f′()=-<0,所以F(x)在(0,a)上单调递减.(6分)因为0<x1<a,所以F(x1)>F(a)=0,所以f()<f(x1)=f(x2).又,x2∈(a,+∞),由(1)得<x2,即x1x2>a2,得证.(8分)再证x1x2<ae.(证法1)由(1)知,a是f(x)唯一极小值点,所以f(x)min=f(a)=lna+1.因为f(x1)=f(x2)=2,所以lna+1<2,即0<a<e,所以x1<e.要证x1x2<ae,即证>x2, 又,x2>a,f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以只要证f()>f(x2)=2,即证+ln-1>0.因为+lnx1=2,所以=2-lnx1,所以ln=lna-lnx1=ln(2-lnx1),所以即证+ln(2-lnx1)-1>0.(10分)设g(x)=+ln(2-lnx)-1(0<x<e),则g′(x)=+.设h(x)=x(lnx-2)(0<x<e),则h′(x)=lnx-1<0,所以h(x)在(0,e)上单调递减,所以-e=h(e)<h(x)<0,所以g′(x)=+<-=0,所以g(x)在(0,e)上单调递减,所以g(x)>g(e)=0,即+ln(2-lnx)-1>0,所以+ln(2-lnx1)-1>0,得证.(12分)(证法2)由(1)知,a是f(x)唯一极小值点,所以f(x)min=f(a)=lna+1.因为f(x1)=f(x2)=2,所以lna+1<2,即0<a<e,所以x1<e.要证x1x2<ae,即证>x2,又,x2>a,f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以只要证f()>f(x2)=2,即证+ln-1>0.令=t(t>1),由f(x1)=2,得x1=e2-t,故只要证e1-t+lnt-1>0 (*).(10分)设h(x)=e1-x+lnx-1(x>1),则h′(x)=-e1-x+=.设φ(x)=ex-1-x(x>1),则φ′(x)=ex-1-1>0,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增,所以φ(x)>φ(1)=0,所以h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(1)=0.所以(*)成立,从而x1x2<ae得证.(12分)
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高中 - 数学
发布时间:2022-03-17 11:00:01
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