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湖北省荆州中学2021-2022学年高三数学上学期期末考试试卷(Word版附答案)
湖北省荆州中学2021-2022学年高三数学上学期期末考试试卷(Word版附答案)
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荆州中学2019级高三上学期期末考试数学卷一、单选题(本题共8小题,40分)1.已知M,N是任意两个非空集合,定义集合M-N={x|x∈M,且x∉N},则(M∪N)-M=( )A.NB.N-MC.M-ND.M∩N2.已知z1,z2为复数.若命题p:z1-z2>0,命题q:z1>z2,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,前n项和为Sn,满足2a4=a3+5,则S9=( )A.35B.40C.45D.504.某人民医院召开抗疫总结表彰大会,有7名先进个人受到表彰,其中有一对夫妻.现要选3人上台报告事迹,要求夫妻两人中至少有1人报告,若夫妻同时被选,则两人的报告顺序需要相邻,这样不同的报告方案共有( )A.80种B.120种C.130种D.140种5.已知向量,若,则在上的投影是()A.B.C.D.6.已知函数f(x)=x2⋅log2|x|,其图象可能是( )A.B.C.D.7.“绿水青山就是金山银山”,党的十九大以来,城乡深化河道生态环境治理,科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米,每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水,某一时段(单位:天)河水污染质量指数为m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足(m0为初始质量指数),经测算,河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源,要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是( )(参考数据:ln10≈2.30)A.1个月B.3个月C.半年D.1年8.苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式,受到了世界上顶尖数学家的广泛认可,下面是麦克劳林建立的其中一个公式,试根据此公式估计下面代数式的近似值为( )(可能用到数值ln2.414=0.881,ln3.414=1.23)A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分,选对的得2分,有选错的得0分.9.如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中,下列叙述正确的有( )A.AH⊥FCB.AC∥BGC.BD与FC所成的角为60°D.AC∥平面BEG10.已知0<a<b<1<c,则下列不等式一定成立的是( )A.ac<bcB.ca<cbC.logac>logbcD.sinc>sina11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为,则下列说法正确的是( )A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大12.已知圆M:,直线l:下列命题中,正确的命题是A.对任意实数k和,直线l和圆M有公共点B.对任意实数,必存在实数k,使得直线l与圆M相切C.对任意实数k,必存在实数,使得直线l与圆M相切D.存在实数k与,使得圆M上有一点到直线l的距离为3三、填空题:每小题5分,共20分.13.已如直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为______.14.若的展开式中x2的系数为224,则正实数a的值为______.15.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,点P是C的右支上的一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=______.16.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数,在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的最少移动次数,数列{an}满足a1=1,且an=,则解下n(n为奇数)个环所需的最少移动次数为______.(用含n的式子表示),四、解答题,本题共6小题17.在①,②2bsinA=atanB,③(a-c)sinA+csin(A+B)=bsinB这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若_______.(1)求角B;(2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值,并求出此时△ABC的面积.18.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=(an-1),n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=an•sin,求数列{bn}的前100项的和T100.19.在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°.(Ⅰ)求证:AD⊥PC;(Ⅱ)求二面角P-AB-C的余弦值;,20.某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据,散点图如图,对数据作出如下处理:令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相关数据如表所示:uivivi30.5151546.5(1)从①y=bx+a;②y=m•xk(m>0,k>0);③y=cx2+dx+e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型,判断哪个类型符合,不必说明理由;(2)根据(1)中选择的回归类型,求出y与x的回归方程;(3)预计要使年利润额突破1亿,下一年应至少投入多少广告费用?(结果保留到万元)参考数据:≈49.787.参考公式:回归方程=t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.21.如图所示,已知椭圆C:=1与直线l:=1.点P在直线l上,由点P引椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,O是坐标原点.(1)若点P为直线l与y轴的交点,求△PAB的面积S;(2)若OD⊥AB,D为垂足,求证:存在定点Q,使得|DQ|为定值.22.已知函数f(x)=ex-e-x-asinx,其中e是自然对数的底数.(1)当x>0,f(x)>0,求a的取值范围;(2)当x>1时,求证:>.高三数学期末答案,BBCDDACBACDABCACACx-6y+6=0或x-6y-6=014.215.416.2n-1(1≤n≤9,n为奇数)17.【答案】解:若选①:(1)因为,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB+sinA,因为A为三角形内角,所以sinA≠0,sinB=cosB+1,可得:2sin(B-)=1,即sin(B-)=,因为B∈(0,π),可得B-∈(-,),可得B-=,所以可得B=.(2)因为b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-b2,所以16-b2=3ac≤3()2=12,解得b≥2,当且仅当a=c=2时,取等号,所以bmin=2,△ABC周长的最小值为6,此时,△ABC的面积S=acsinB=.若选②:(1)因为2bsinA=atanB,所以2bsinA=,由正弦定理可得2sinBsinA=sinA•,因为A,B为三角形内角,所以sinA≠0,sinB≠0,所以cosB=,又B∈(0,π),所以B=.(2)因为b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-b2,所以16-b2=3ac≤3()2=12,解得b≥2,当且仅当a=c=2时,取等号,所以bmin=2,△ABC周长的最小值为6,此时,△ABC的面积S=acsinB=.若选③:(1)因为(a-c)sinA+csin(A+B)=bsinB,所以(a-c)sinA+csinC=bsinB,由正弦定理可得:(a-c)a+c2=b2,整理可得:a2+c2-b2=ac,由余弦定理可得cosB===,因为B∈(0,π),所以B=.(2)因为b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-b2,所以16-b2=3ac≤3()2=12,解得b≥2,当且仅当a=c=2时,取等号,所以bmin=2,△ABC周长的最小值为6,此时,△ABC的面积S=acsinB=.18.【答案】解:(1)由Sn=(an-1),得Sn+1=(an+1-1),n∈N+,,两式相减得an+1=an+1-an,即an+1=-an,又当n=1时,a1=S1=(a1-1),解得a1=-,所以{an}是以-为首项,-为公比的等比数列,所以an=(-)n;(2)由(1)可知bn=ansin=,n∈N+,所以a1,a3,a5,a7,…,a97,a99是首项为a1,公比为-的等比数列,共有50项,所以T100=a1-a3+a5-a7+…+a97-a99===-+×.19.【答案】(Ⅰ)证明:∵平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,AD⊂平面ABCD,AD⊥DC,∴AD⊥平面PCD,∵PC⊂平面PCD,∴AD⊥PC;(Ⅱ)解:在平面PCD内过点D作DH⊥DC,交PC于H,由(Ⅰ)知,AD⊥平面PDC,DH⊂平面PDC,∴AD⊥DH,∴AD,CD,DH两两垂直,以D为原点,DA,DC,DH所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),P(0,﹣1,),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),∵DH⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),又=(2,1,),=(2,2,),设平面PAB的一个法向量为=(x,y,z),由,取z=2,则m=(),∴cos,由题意可知,二面角P﹣AB﹣C为锐角,∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为;20.【答案】解:(1)由散点图知,选择回归类型y=m⋅xk更好.,(2)对y=m⋅xk两边取对数,得lny=lnm+klnx,即v=lnm+ku,由表中数据得,,所以,所以=e,所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为.(3)由(2),知,令,得,得,所以x>3.67883≈49.787,故下一年应至少投入498万元广告费用.21.【答案】解:(1)由题意知P(0,3),过点P与圆相切的直线斜率存在,设切线方程为y=kx+3,联立,得(1+2k2)x2+12kx+12=0,由△=(12k)2-4(1+2k2)×12=0,解得k=±1,即切线方程为y=±x+3,此时切点坐标为A(-2,1),B(2,1),△PAB为直角三角形,|PA|=|PB|=2,所以S△PAB=|PA||PB|=4.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA为+=1,切线PB为+=1,设P(x0,y0),则+=1,+=1,所以直线AB的方程为+=1①,又点P(x0,y0)在直线l:+=1上,所以+=1,即=1-,代入①,得+(1-)y=1,即x0(x-y)+6(y-1)=0,所以直线过定点T(1,1),又因为OD⊥AB,所以点D在以OT为直径,Q(,)为圆心的定圆上,所以|DQ|为定值,且|DQ|=.22.【答案】解:(1)由题意可知f'(x)=ex+e-x-acosx,①当0<a≤2时,由-1≤cosx≤1可知-2≤-a≤acosx≤a≤2,又因为ex+e-x≥2恒成立,所以f'(x)=ex+e-x-acosx≥0恒成立,所以y=f(x)在[0,+∞)上恒为增函数.又f(0)=0,所以f(x)>0对x>0恒成立;,②当a>2时,,且可知y=ex+e-x与y=acosx必有一个交点,不妨设为x0,所以y=f(x)在[0,x0)上为减函数,在[x0,+∞)为增函数,又f(0)=0,所以f(x0)<0,与题意不符,故舍去.综合可知a的取值范围是(0,2].(2),只需证,即证,即证ex-e-x-2sinx>elnx-e-lnx-2sin(lnx),即证f(x)>f(lnx)(此时a=2),由(1)问可知当0<a≤2时y=f(x)在[0,+∞)上恒为增函数.所以即证x>lnx,不妨令g(x)=x-lnx,则所以y=g(x)在(0,1)递减,(1,+∞)递增.又因为g(x)min=g(1)=1>0所以g(x)=x-lnx>0恒成立,即x>lnx,所以原结论得证.
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高中 - 数学
发布时间:2022-03-17 10:32:26
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文章作者:随遇而安
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