河北省邯郸市2022届高三数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

河北省邯郸市2021-2022学年第一学期期末质量检测高三数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{1，2，3}，B＝{﹣3，﹣1，1}，则A∩∁UB＝（　　）A．{2，3}B．{﹣3，﹣1}C．{﹣2，0，2，3}D．{﹣2，0，1，2，3}2．（5分）已知复数（其中i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（　　）A．B．C．D．3．（5分）已知a＝log23，b＝2﹣0.4，c＝0.52.1，则a，b，c的大小关系为（　　）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b4．（5分）已知圆柱的底面半径为2，母线长为6，过底面圆周上一点作与圆柱底面成45°角的平面，截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（　　）A．B．C．D．5．（5分）函数的部分图像为（　　）A．B．C．,D．6．（5分）已知直线l：ax+by﹣ab＝0（a＞0，b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆O：x2+y2＝1相切，则△AOB的面积的最小值为（　　）A．1B．2C．3D．47．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线右支上两点，且，设△AF1B的内切圆圆心为I1，△AF1F2的内切圆圆心为I2，直线I1I2与线段F1F2交于点P，且，则双曲线C的离心率为（　　）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（　　）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，1}二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（　　）,A．a＝0.040B．得分在[95，100]的人数为4人C．200名党员员工测试分数的众数约为87.5D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为8510．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（　　）A．函数f（x）最大值为1B．函数f（x）在区间上单调递增C．函数f（x）的图像关于直线对称D．函数g（x）＝sin2x的图像向右平移个单位可以得到函数f（x）的图像11．（5分）已知A，B是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上两点，焦点为F，抛物线上存在一点M（3，t）到准线的距离为4，则下列说法正确的是（　　）A．p＝2B．若OA⊥OB，则直线AB恒过定点（4，0）C．若△AOF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为D．若，则直线AB的斜率为12．（5分）Look﹣and﹣say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，…．若Look﹣and﹣say数列{an}第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列{bn}，则下列说法正确的是（　　）A．数列{an}的第四项为111221,B．数列{an}中每项个位上的数字不都是1C．数列{bn}是等差数列D．数列{bn}前10项的和为160三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知平面向量，，若与垂直，则λ＝　　．14．（5分）2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为　　．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成60°角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于13π，则球O的体积为　　．16．（5分）已知当x∈（0，π）时，不等式的解集为A，若函数f（x）＝sin（x+φ）（0＜φ＜π）在x∈A上只有一个极值点，则φ的取值范围为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求b的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD中，四边形ABCD是正方形，点E在棱SD上，DE＝2SE．（1）证明：CD⊥AE；（2）若正方形ABCD的边长为1，二面角E﹣AC﹣D的大小为45°，求四棱锥S﹣ABCD的体积．,19．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝anan+1+2，a1＝1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（12分）某真人闯关游戏，在某一情境中玩家需在A、B两个关卡中寻找线索，玩家先从A、B两个关卡中任选一关作为第一关，若找到线索则进入另一关卡，若未找到线索则闯关结束，且玩家先选A和先选B的概率相等．若玩家在A闯关成功则获得2枚金币，否则获得0枚金币；在B关闯关成功则获得3枚金币，否则获得0枚金币．已知某玩家在A关卡中闯关成功的概率为0.8，在B关卡中闯关成功的概率为0.6，且每个关卡闯关成功的概率与选择初始关卡的次序无关．（1）求该玩家获得3枚金币的概率；（2）为获得更多的金币，该玩家应选择从哪关开始第一关？并说明理由．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足|MF1|+|MF2|＝4．记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l不经过P（0，1）点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点（1，﹣1），证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣1﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）+x﹣1≥lnx﹣lna恒成立，求实数a的取值范围．,河北省邯郸市2021-2022学年第一学期期末质量检测高三数学试卷答案与解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{1，2，3}，B＝{﹣3，﹣1，1}，则A∩∁UB＝（　　）A．{2，3}B．{﹣3，﹣1}C．{﹣2，0，2，3}D．{﹣2，0，1，2，3}【分析】求出集合B的补集，再由交集运算求解即可．【解答】解：集合U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣3，﹣1，1}，则∁UB＝{﹣2，0，2，3}，又A＝{1，2，3}，则A∩∁UB＝{2，3}．故选：A．2．（5分）已知复数（其中i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（　　）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和复数虚部的定义，即可求解．【解答】解：∵＝＝，∴，∴共轭复数的虚部为．故选：B．3．（5分）已知a＝log23，b＝2﹣0.4，c＝0.52.1，则a，b，c的大小关系为（　　）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解．,【解答】解：a＝log23＞log22＝1，∵b＝2﹣0.4＝0.50.4，y＝0.5x在R上单调递减，∴b＝0.50.4＞0.52.1＝c，∵0＜b＜1，0＜c＜1，∴a＞b＞c．故选：C．4．（5分）已知圆柱的底面半径为2，母线长为6，过底面圆周上一点作与圆柱底面成45°角的平面，截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（　　）A．B．C．D．【分析】如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1．圆柱的底面中心为O，则∠OAB＝45°，可得a＝|O1A|，可求得结果．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1，圆柱的底面中心为O，则∠OAB＝45°，可得a＝|O1A|＝＝2，b＝|CD|＝2，∴该椭圆的长轴长为：4．故选：C．5．（5分）函数的部分图像为（　　）A．,B．C．D．【分析】直接利用函数的性质函数的单调性，奇偶性和函数的值的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：根据函数，满足f（﹣x）＝f（x）故函数f（x）为偶函数，故C错误；当x＝时，f（）＝f（﹣）＝0，当x＝0时，f（0）＝1，故B错误；当x＝时，f（）＜1，故A错误；当x＝时，f（）＜0，故D正确．故选：D．6．（5分）已知直线l：ax+by﹣ab＝0（a＞0，b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆O：x2+y2＝1相切，则△AOB的面积的最小值为（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：∵圆O：x2+y2＝1，∴圆心坐标为（0，0），半径r＝1，∵直线l：ax+by﹣ab＝0（a＞0，b＞0）与圆O：x2+y2＝1相切，,∴圆心到直线l的距离为r，即，即ab＝，又∵，当且仅当a＝b时，等号成立，∴，即（ab）2≥2ab，∴ab（ab﹣2）≥0，又a＞0，b＞0，∴，解得ab≥2，△AOB的面积，故△AOB的面积的最小值为1．故选：A．7．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线右支上两点，且，设△AF1B的内切圆圆心为I1，△AF1F2的内切圆圆心为I2，直线I1I2与线段F1F2交于点P，且，则双曲线C的离心率为（　　）A．B．C．D．【分析】由内心的性质及角平分线性质可求得＝＝3，由双曲线的定义可求得|AF1|＝3a，|AF2|＝a，从而可得|BF2|＝3a，|AB|＝4a，|BF1|＝5a，由勾股定理的逆定理可得F1A⊥F2A，再利用勾股定理可得a，c的等量关系，即可求解离心率e．【解答】解：如右图所示：由题意知I2为∠F1AF2的角平分线，由角平分线的性质得＝，因为，所以＝＝3，由双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|＝2a，因此|AF1|＝3a，|AF2|＝a，因为，所以|BF2|＝3a，|AB|＝4a，由双曲线的定义得|BF1|＝5a，由勾股定理逆定理可得F1A⊥F2A，由在Rt△F1AF2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，,即9a2+a2＝4c2，所以e2＝，e＝．故选：B．8．（5分）已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（　　）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，1}【分析】作出g（x）＝2f（x）的函数图象，由不等式表示的几何意义，即曲线g（x）上只有一个点（x，g（x））（x为整数）和点（a，1）所在直线的斜率小于0，结合图象可得所求整数a的取值集合．【解答】解：作出令g（x）＝2f（x）＝，作出g（x）的函数图象如图所示：,表示点（x，g（x））与点（a，1）所在直线的斜率，可得曲线g（x）上只有一个点（x，g（x））（x为整数）和点（a，1）所在直线的斜率小于0，而点（a，1）在到直线y＝1上运动，由f（﹣2）＝0，f（﹣1）＝4，f（0）＝0，可得当﹣2≤a≤﹣1时，只有点（0，0）满足；当0≤a≤1时，只有点（﹣1，4）满足．又a为整数，可得a的取值集合为{﹣2，﹣1，0，1}．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（　　）,A．a＝0.040B．得分在[95，100]的人数为4人C．200名党员员工测试分数的众数约为87.5D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85【分析】对于A，结合频率分布直方图的性质，即可求解，对于B，结合频率与频数的关系，即可求解，对于C，结合众数的定义，即可求解，对于D，结合中位数的公式，即可求解．【解答】解：对于A，由频率分布直方图的性质可得，（0.02+0.025+0.03+0.035+a+0.05）×5＝1，解得a＝0.04，故A正确，对于B，得分在[95，100]的人数为0.02×5×200＝20，故B错误，对于C，200党员员工测试分数的众数约为，故C正确，对于D，∵（0.025+0.035+0.04）×5＝0.5，∴估计200名党员员工测试分数的中位数为85，故D正确．故选：ACD．10．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（　　）A．函数f（x）最大值为1B．函数f（x）在区间上单调递增C．函数f（x）的图像关于直线对称D．函数g（x）＝sin2x的图像向右平移个单位可以得到函数f（x）的图像【分析】由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解．,【解答】解：因为f（x）＝2cos2（x+）+sin（2x+）﹣1，所以f（x）＝sin2x+cos2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），当2x﹣＝+2kπ（k∈z）时，函数f（x）取的最大值1，故A正确；令t＝2x﹣，当x∈，所以﹣＜2x﹣＜，又y＝sinx在区间（﹣，）上不是单调函数，故B错误；当x＝时，2x﹣＝0，函数f（x）的图像不关于直线x＝对称，故C错误；函数g（x）＝sin2x的图像向右平移个单位得到函数sin[2（x﹣）]＝sin（2x﹣），故D正确．故选：AD．11．（5分）已知A，B是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上两点，焦点为F，抛物线上存在一点M（3，t）到准线的距离为4，则下列说法正确的是（　　）A．p＝2B．若OA⊥OB，则直线AB恒过定点（4，0）C．若△AOF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为D．若，则直线AB的斜率为【分析】对于A，结合抛物线的定义，即可求解，对于B，联立直线AB与抛物线方程，再结合韦达定理，以及斜率公式，即可求解，对于C，结合外接圆的性质，即可求解，对于D，根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及韦达定理，即可求解．【解答】解：对于A，根据抛物线定义可知，3+，解得p＝2，故A正确，对于B，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线AB斜率必不为0，∴可设直线AB：x＝ky+b，联立直线AB与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4ky﹣4b＝0，由韦达定理可得，y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4b，∵OA⊥OB，,∴kOA•kOB＝＝，解得b＝4，∴直线AB恒过定点（4，0），故B正确，对于C，△AOF外接圆圆心横坐标为，∵△AOF外接圆与抛物线C的准线相切，∴外接圆半径为，故C正确，对于D，∵，∴AB过焦点，且|AF|＝3|FB|，可设直线AB：x＝ty+1，A（xA，yA），B（xB，yB），联立直线AB与抛物线，化简整理可得，y2﹣4ty﹣4＝0，由韦达定理可得，yA+yB＝4t，yA•yB＝﹣4，yA＝﹣3yB，解得t＝±，故直线AB的斜率为，故D错误．故选：ABC．12．（5分）Look﹣and﹣say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，…．若Look﹣and﹣say数列{an}第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列{bn}，则下列说法正确的是（　　）A．数列{an}的第四项为111221B．数列{an}中每项个位上的数字不都是1C．数列{bn}是等差数列D．数列{bn}前10项的和为160【分析】A项列举前四项可得答案；B项根据数列{an}中最后读的数字是1可得答案；C项列举前四项可得答案；D．列举可得数列{bn}中数的规律，进而可求和．【解答】解：a1＝11，a2＝21，a3＝1211，a4＝111221，A正确；数列{an}中最后读的数字总是1，故数列{an}中每项个位上的数字都是1，B错误；,数列{bn}：11，21，11，21，…，不是等差数列，C错误；通过列举发现数列{bn}的第一，三，五，七，九项都为11，第二，四，六，八，十项为21，故前10项的和为11×5+21×5＝160，D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知平面向量，，若与垂直，则λ＝　4　．【分析】求出与，利用垂直关系，求解即可．【解答】解：平面向量，，可得＝（1﹣λ，2+λ），＝（2，1），与垂直，可得：2﹣2λ+2+λ＝0，解得λ＝4．故答案为：4．14．（5分）2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为　　．【分析】分别求出运送物资的送法，再根据古典概率的公式即可求解．【解答】解：4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资共有34＝81种送法，而每个城市都至少安排一辆救援车的送法共有＝6×3×2＝36种，所以每个城市都至少安排一辆救援车的概率为，故答案为：．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成60°角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于13π，则球O的体积为　　．【分析】根据题意建立勾股关系求出球半径即可得出．【解答】解：设圆C的半径为r，有πr2＝13π，则，,设球O的半径为R，如图所示，有|OB|＝R，，|CB|＝r，在Rt△OCB中，|OB|2＝|OC|2+|CB|2，即，即R＝4，所以球O的体积为．故答案为：．16．（5分）已知当x∈（0，π）时，不等式的解集为A，若函数f（x）＝sin（x+φ）（0＜φ＜π）在x∈A上只有一个极值点，则φ的取值范围为　（0，]∪[，π）　．【分析】先解不等式确定集合A，再由正弦函数性质求解．【解答】解：因为x∈（0，π），所以sinx∈（0，1]，所以＝＝＝≤0⇔sinx≥⇔x∈[，]，所以A＝[，]，又因为0＜φ＜π，所以＜x+φ＜，x+φ＝+kπ∈（，），k∈（﹣，），所以k∈{0，1}，当k＝0时，因为﹣x∈[﹣，﹣]，所以φ＝﹣x∈[﹣，]∩（0，π）＝（0，]，当k＝1时，因为﹣x∈[﹣，﹣]，所以φ＝﹣x∈[，]∩（0，π）＝,[，π），所以φ的取值范围为（0，]∪[，π），故答案为：（0，]∪[，π）．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求b的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）结合诱导公式、正弦定理与两角和的正弦公式对已知条件进行化简可得sinA＝bsinA，从而得解；（2）结合余弦定理和基本不等式，推出ac≤4，再由S＝acsinB，得解．【解答】解：（1）因为，所以bcosC＝ab﹣ccosB，即bcosC+ccosB＝ab，由正弦定理知，sinBcosC+sinCcosB＝bsinA，因为sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，所以sinA＝bsinA，又sinA≠0，所以1＝b，即b＝2．（2）由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，所以4＝a2+c2﹣2•ac•＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，所以△ABC面积S＝acsinB≤×4×sin＝，故△ABC面积的最大值为．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD中，四边形ABCD是正方形，点E在棱SD上，DE＝2SE．（1）证明：CD⊥AE；,（2）若正方形ABCD的边长为1，二面角E﹣AC﹣D的大小为45°，求四棱锥S﹣ABCD的体积．【分析】（1）证明CD⊥AD，CD⊥SA，即可证明CD⊥平面SAD，得到CD⊥AE．（2）过点E作EM⊥AD，垂足为点M，过点M作MN⊥AC，垂足为点N，连接EN，说明∠ENM是二面角E﹣AC﹣D的平面角，然后求解SA，即可求解四棱锥S﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，则CD⊥AD，因为SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥SA，又因为AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，所以CD⊥平面SAD，又因为AE⊂平面SAD，所以CD⊥AE．（2）解：过点E作EM⊥AD，垂足为点M，过点M作MN⊥AC，垂足为点N，连接EN，由题意可知EM∥SA，因此EM⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EM⊥AC，因为MN⊥AC，EM∩MN＝M，EM，MN⊂平面EMN，所以AC⊥平面EMN，因为EN⊂平面EMN，所以AC⊥EN，又因为MN⊥AC，EN⊂平面EAC，MN⊂平面ACD，平面EAC∩平面ACD＝AC，所以∠ENM是二面角E﹣AC﹣D的平面角，所以∠ENM＝45°，因为DE＝2SE，△DEM与△DSA相似，相似比为2：3，所以，，所以，所以四棱锥S﹣ABCD的体积为．,19．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝anan+1+2，a1＝1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn．【分析】（1）利用递推关系可得6an＝an（an+1﹣an﹣1），即an+1﹣an﹣1＝6，再利用等差数列的定义及通项公式即可求出数列的通项公式；（2）由题意可知：，再利用错位相减法即可得出所求的答案．【解答】解：（1）∵6Sn＝anan+1+2，①∴6S1＝a1⋅a2+2，∴a2＝4，当n≥2时，有6Sn﹣1＝an﹣1an+2，②∴6Sn﹣6Sn﹣1＝anan+1﹣an﹣1an，∴6an＝an（an+1﹣an﹣1），∵an≠0，∴an+1﹣an﹣1＝6，∴数列{an}的奇数项是以1为首项，6为公差的等差数列，a2k﹣1＝1+6（k﹣1）＝3（2k﹣1）﹣2，偶数项是以4为首项，6为公差的等差数列，a2k＝4+6（k﹣1）＝3⋅2k﹣2，∴an＝3n﹣2，n∈N*．（2），，，两式相减得：＝＝﹣10+（5﹣3n）2n+1故．20．（12分）某真人闯关游戏，在某一情境中玩家需在A、B两个关卡中寻找线索，玩家先从,A、B两个关卡中任选一关作为第一关，若找到线索则进入另一关卡，若未找到线索则闯关结束，且玩家先选A和先选B的概率相等．若玩家在A闯关成功则获得2枚金币，否则获得0枚金币；在B关闯关成功则获得3枚金币，否则获得0枚金币．已知某玩家在A关卡中闯关成功的概率为0.8，在B关卡中闯关成功的概率为0.6，且每个关卡闯关成功的概率与选择初始关卡的次序无关．（1）求该玩家获得3枚金币的概率；（2）为获得更多的金币，该玩家应选择从哪关开始第一关？并说明理由．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出该玩家获得3枚金币的概率．（2）①记X为从A关卡开始第一关获得的金币枚数，则X所有可能的取值为0，2，5，分别求出相应的概率，求出E（X）＝3.04；②记Y为从B关卡开始第一关获得的金币枚数，则Y所有可能的取值为0，3，5，分别求出相应的概率，求出E（Y）＝2.76．由E（X）＞E（Y），得到应从A关卡开始第一关．【解答】解：（1）该玩家获得3枚金币的概率为：．（2）①记X为从A关卡开始第一关获得的金币枚数，则X所有可能的取值为0，2，5，P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝2）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32，P（X＝5）＝0.8×0.6＝0.48，∴E（X）＝0×0.2+2×0.32+5×0.48＝3.04．②记Y为从B关卡开始第一关获得的金币枚数，则Y所有可能的取值为0，3，5，P（X＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（X＝3）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，P（Y＝5）＝0.8×0.6＝0.48，∴E（Y）＝0×0.4+3×0.12+5×0.48＝2.76．∵E（X）＞E（Y），∴应从A关卡开始第一关．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足,|MF1|+|MF2|＝4．记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l不经过P（0，1）点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点（1，﹣1），证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值．【分析】（1）判断点M的轨迹为椭圆，设椭圆方程为，求解a，b，推出结果．（2）设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在时，l：x＝1，验证k1+k2＝﹣2，当直线l斜率存在时，设直线l方程为y+1＝k（x﹣1）（k≠0），将直线l的方程代入椭圆方程中，利用韦达定理，转化求解k1+k2，推出结果即可．【解答】（1）解：由椭圆定义可知，点M的轨迹为椭圆，设椭圆方程为，根据题意得，a＝2，，，所以曲线C的方程为．（2）证明：设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在时，l：x＝1，代入椭圆方程中，化简可得，不妨令，，则k1+k2＝﹣2，当直线l斜率存在时，设直线l方程为y+1＝k（x﹣1）（k≠0），将直线l的方程代入椭圆方程中，化简得（1+4k2）x2﹣8k（k+1）x+4k2+8k＝0，由Δ＞0，得或k＜0，，，,＝，因为或k＜0且k≠﹣2，所以k1+k2＝2k﹣2（k+1）＝﹣2，综上，直线PA与直线PB的斜率之和为定值﹣2．22．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣1﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）+x﹣1≥lnx﹣lna恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出导函数，通过a≤0，a＞0时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．（2）原不等式等价于elna+x﹣1+lna+x﹣1≥elnx+lnx，构造函数g（x）＝ex+x，利用g（x）为单调增函数，推出lna≥lnx﹣x+1，令h（x）＝lnx﹣x+1，通过函数的导数推出h（x）max＝h（1）＝0，然后转化求解a的范围．【解答】解：（1）f'（x）＝aex﹣1﹣1，当a≤0时，f'（x）＜0；当a＞0时，当x＞1﹣lna时，f'（x）＞0，当x＜1﹣lna时，f'（x）＜0，综上，当a≤0时，函数f（x）在R上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（1﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1﹣lna）上单调递减．（2）原不等式为aex﹣1﹣1≥lnx﹣lna，等价于elna+x﹣1+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx，令g（x）＝ex+x，上述不等式等价于g（lna+x﹣1）≥g（lnx），显然g（x）为单调增函数，∴又等价于lna+x﹣1≥lnx，即lna≥lnx﹣x+1，令h（x）＝lnx﹣x+1，则，在（0，1）上，h'（x）＞0，h（x）单调递增；在（1，+∞）上，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝0，lna≥0，即a≥1，∴实数a的取值范围是[1，+∞）．