内蒙古呼伦贝尔海拉尔第二中学2021-2022高三数学（理）上学期期末考试试题（Word版带答案）

海拉尔第二中学高三上学期期末考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A．B．C．D．（2．已知复数，为虚数单位，则（）A．B．C．D．3．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．4．数列的通项公式为,其前项和为，则=（）A．1B．0C．-1D．-10105．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（）A．3B．8C．4D．96．已知函数的图像如图所示，且的图像关于点对称，则的最小值为（）A．B．C．D． 7．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.A．B．C．D．8．已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（）A．1B．C．D．9．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（）.A．直线AB与OM垂直；B．若直线方程为y=2x+2，则.C．若直线方程为y=x+1，则点M坐标为D．若点M坐标为（1,1），则直线方程为2x+y-3=0；10．如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（）A．B．C．D．11.已知Sn是数列{an}的前n项和，且数列{an}满足＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，则S10＝(　　) A．1023B．1024C．512D．51112.已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数，则在点处的切线方程为________.14已知，则______.15．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为__________.16．已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且，设设内切球的半径为，外接球的半径为，则:=________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝2S2＋S4，且a5＝32.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn. 18．(本小题满分12分)已知的内角对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，,点是的中点.（1）求证:平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20．(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别是、，且椭圆上一动点到的最远距离为，过的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当以为直角时，求直线的方程；（3）直线的斜率存在且不为0时，试问轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知. （1）当时，求证：函数在上单调递增；（2）若只有一个零点，求的取值范围.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线．以坐标原点为极点、以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）写出圆的直角坐标方程及对应的参数方程；（2）当直线经过点时，设与圆的两个交点为，，求的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|－|2x－a|(a>1，且a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥x；(2)若f(x)的最大值为M，且正实数b，c满足＋＝a－M，求＋的最小值．海拉尔第二中学第四次阶段考试数学试题一、选择题：DCBADAACDBCB二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.____.14____15．_____16．_______.三、解答题：17.(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝2S2＋S4，且a5＝32.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】解　(1)由3S3＝2S2＋S4，可得2S3－2S2＝S4－S3.所以公比q＝2，又a5＝32，故an＝2n.4分(2)因为bn＝＝，6分所以Tn＝9分＝＝－－.12分18．(本小题满分12分)已知的内角对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.（1）解：由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得，因为，所以.（2）解：由（1）知，∴，∴∴在锐角三角形中，，∴，∴，∴，∴的取值范围为.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，,点是的中点. （1）求证:平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1).又为中点，.又平面平面.(2)为中点，.又.又由（1）知，，则以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则..设平面的一个法向量为，则，令，得.设与平面的所成角为，则20．(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别是、，且椭圆上一动点到的最远距离为，过的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当以为直角时，求直线的方程；（3）直线的斜率存在且不为0时，试问轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意，椭圆的离心率，且椭圆上一动点到的最远距离为，可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意可知，当不存在时，不符合题意.设直线：，则：，∴，得，∴∴，，∴，直线的方程为或.（3）设，，，：，∴，∴，，∵，，所以，∴，∴，∴，，∴.21．(本小题满分12分)已知.（1）当时，求证：函数在上单调递增；（2）若只有一个零点，求的取值范围.（1）当时，，，，，所以在上单调递增，且， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以在上单调递增；（2）因为，所以为奇函数，，要证明只有一个零点，只需证明在上无零点，由（1）知：当时，，故，令，则时，无零点，符合题意，当时，，故在上单调递减，则，无零点，符合题意，当时，，，，所以在上单调递增，且，，故存在唯一，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，可得在上单调递减，所以，取，时，令，可得，即，且时，，由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，不符合题意，综上所述：的取值范围为(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线．以坐标原点为极点、以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）写出圆的直角坐标方程及对应的参数方程；（2）当直线经过点时，设与圆的两个交点为，，求的值．解：（1）由得，所以圆的直角坐标方程为．圆的参数方程为（为参数）（2）易知直线的倾斜角为，直线的参数方程为（为参数）．把直线的参数方程代入圆的普通方程，得．设，对应的参数为，，则，．所以．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|－|2x－a|(a>1，且a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥x；(2)若f(x)的最大值为M，且正实数b，c满足＋＝a－M，求＋的最小值．【答案】解　(1)由a＝2，得f(x)＝|2x－1|－|2x－2|，①当x≤时，f(x)＝－1≥x⇒x≤－2；②当<x<1时，f(x)＝4x－3≥x⇒≤x<1；③当x≥1时，f(x)＝1≥x⇒1≤x≤2，综上所述，不等式的解集为x∈(－∞，－2]∪.4分 (2)由绝对值三角不等式可得|2x－1|－|2x－a|≤|(2x－1)－(2x－a)|＝|a－1|＝a－1，∴＋＝a－M＝a－(a－1)＝1⇒＋＝1⇒b＝，∵b>0，c>0，∴c>2，6分∴＋＝＋＝c－2＋≥2＝2，∴＋的最小值为2，当且仅当c－2＝，即c＝3时取等号.10分