黑龙江省哈师大附中2022届高三上学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案

哈师大附中2022届高三上学期期末考试数学试题（文科）第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，，则  A.xx≤0B.x0≤x<2或x>4C.x2≤x≤4D.x0<x≤2或x≥42已知向量a与b的夹角为2π3，∣a∣=2，则a在b方向上的投影为  A.62B.22C.−62D.−223.已知Sn为等差数列an的前n项和，且S3=15，S6=48，则S9的值为  A.63B.81C.99D.1084.已知，，，则A.B.C.D.5.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为A.B.C.D.6.已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.7.将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数  A．在区间3π4,5π4上单调递增B．在区间3π4,π上单调递减C．在区间5π4,3π2上单调递增D．在区间3π2,2π上单调递减8.已知圆M：x2+y2−2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：x−12+y−12=1的位置关系是  A．内切B．相交C．外切D．相离9.在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程为()A．ρsinθ=2B．ρcosθ=2C．ρcosθ=4D．ρcosθ=−410.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为  A．25B．35C．58D．3811.已知直线y=kxk≠0与双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为  A．2B．3C．2D．512.已知函数，若x=2是函数fx的唯一极值点，则实数k的取值范围是  A.B.C．0,2D．2,+∞第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13.过原点作圆x=3cosθ,y=6+3sinθ（θ为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为.14.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为.15.直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若这个三棱柱的体积为，则球的表面积为.16.已知抛物线，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为：ρ2=41+3sin2θ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=6t−m,y=−3t（t为参数，m∈R）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若M为曲线C上的动点，点M到直线l的距离的最大值为61313，求m的值．18.（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a+b−ccosA−3asinC=0．第4页（共4页） （1）求角C的值；（2）若c=23，b=2a，求△ABC的面积S．19.（本小题12分）已知数列an是等差数列，bn是递增的等比数列，且a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=3a3−1．（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cn=2anbn−1bn+1−1，求数列cn的前n项和Sn．20.（本小题12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=3，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACFE⊥平面ABCD；（2）若∠EAG=60∘，求三棱锥F−BDE的体积．21.（本小题12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，S△F1MF2的最大值为1，椭圆右顶点为A．（1）求椭圆E的方程；（2）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果PA⋅PB=12时，求直线l的方程．22.（本小题12分）已知函数fx=xlnx，gx=121−ex．（1）求证：fx在定义域内有且只有一个零点；（2）若存在x0∈0,m，使得fx0−x0≤gm，求实数m的取值范围．数学试题（文科）参考答案1.B2.D3.C4.A5.C6.B7.A8.B9.B10.C11.D12.A13.π314.15.16.1317.（1）由ρ2=41+3sin2θ得ρ2+3ρsinθ2=4，因为ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，所以曲线C的直角坐标方程为：x24+y2=1．由x=6t−m,y=−3t消去参数t，得直线l的普通方程为：x+23y+m=0．    （2）由（1）可得曲线C的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ（φ为参数）．由点到直线的距离公式，得点M到直线l的距离d=2cosφ+23sinφ+m13=4sinφ+π6+m13．因为dmax=61313，所以4sinφ+π6+mmax=6，第4页（共4页） 又4sinφ+π6+m∈m−4,m+4，所以当m≤0时，4−m=6，得m=−2；当m>0时，4+m=6，得m=2．所以m=±2．18.（1）由正弦定理可得：sinA+sinB−sinCcosA−3sinAsinC=0，整理得，sinA+sinA+C−sinCcosA−3sinAsinC=0，即sinA+sinAcosC−3sinAsinC=0，又因为A∈0,π，则sinA>0，所以3sinC−cosC=2sinC−π6=1，即sinC−π6=12，又因为−π6<C−π6<5π6，所以C−π6=π6，解得C=π3．    （2）由余弦定理可得：c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab，因为c=23，b=2a，解得a=2，所以b=4，则三角形ABC的面积S=12absinC=12×2×4×32=23．19.（1）设数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为qq≠1的等比数列，由a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=3a3−1，可得2q=21+d，2q2=31+2d−1，解得d=0，q=1（舍）或d=1，q=2，则an=1+n−1=n，bn=2⋅2n−1=2n．    （2）cn=2anbn−1bn+1−1=2n2n−12n+1−1=12n−1−12n+1−1，则Sn=1−122−1+122−1−123−1+123−1−124−1+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1.20.（1）连接EG，因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，在△EAD和△EAB中，AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，所以△EAD≌△EAB，所以ED=EB，所以BD⊥EG，因为AC∩EG=G，所以BD⊥平面ACFE，因为BD⊂平面ABCD，所以平面ACEF⊥平面ABCD；    （2）因为EF∥GC，EF=2GC，所以点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍，所以VF−BDE=2VC−BDE，作EH⊥AC，因为平面ACEF⊥平面ABCD，EH⊥平面ABCD，所以VC−BDE=VE−BCD=13×12×2×3×32=32,所以三棱锥F−BDE的体积为3．21.（1）当M为椭圆的短轴端点时，S△F1MF2取得最大值，即S=12×2c×b=1，又因为ca=22，a2=b2+c2，解得：a=2，b=1，c=1，所以椭圆方程为x22+y2=1．   （2）A2,0，根据题意，直线l存在且不为0，设直线l:y=kx−2，Bx0,y0，联立y=kx−2,x22+y2=1，得1+2k2x2−42k2x+4k2−2=0，2+x0=42k21+2k2，2x0=4k2−21+2k2，即B22k2−11+2k2,−22k1+2k2，所以直线AC:y=−kx−2，令x=0，则P0,2k，PA⋅PB=2,−2k⋅22k2−11+2k2,−22k1+2k2−2k=4k4+10k2−21+2k2=12，即8k4+18k2−5=0，解得：k2=−52（舍）k2=14，所以：k=±12，直线l:y=x2−22或y=−x2+22．22.（1）fx的定义域为0,+∞，fʹx=lnx+1，令fʹx=0，得x=1e，当x∈0,1e时，fʹx<0，fx单调递减；由于当x∈0,1e时，fx=xlnx<0，所以fx在0,1e内无零点；当x∈1e,+∞时，fʹx>0，fx单调递增，f1e=−1e<0，fe=e>0，由零点的存在性定理，fx在1e,e有零点，且只有一个零点．    （2）由题意知：只需fx−xmin≤gm，x∈0,m，设ℎx=fx−x=xlnx−x，ℎʹx=lnx，令ℎʹx=lnx=0，得x=1，故ℎx在0,1单调递减，1,+∞单调递增，①若0<m≤1，则ℎx在0,m单减，则只需ℎm≤gm，即2mlnm−2m−1+em≤0，记φm=−2m−1+em，0<m≤1，因为φʹm=−2+em，第4页（共4页） 所以φm在0,ln2递减，在ln2,1递增，而φ0=0，φ1<0，所以φm<0在0<m≤1恒成立，又因为2mlnm≤0，所以2mlnm−2m−1+em≤0对任意0<m≤1恒成立．②若m>1，ℎxmin=ℎ1，只需ℎ1≤gm，即−1≤121−em，解得1<m≤ln3，综上，m∈0,ln3．第4页（共4页）