浙江省温州十校联合体2021-2022学年高二数学上学期期中考试试题（附答案）

温州十校联合体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题选择题部分（共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知空间向量，若，则实数（）A．2B.C.1D.2.直线的倾斜角为（）A．B.C.D.3.已知双曲线的焦距为10，则双曲线的浙近线方程为（）A．B.C.D.4.已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B.充要条件C．必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.在平面直角坐标系中，坐标原点到过点的直线距离为（）A．B.C.D.16.已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，则直线与所成角的余弦值为（）A．B.C.D.7.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点则的最小值为（） A．B.2C.D.38.在长方体中，分别是棱的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（）A．B.25C.D.二、多项选择题（每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分）9.下列四个结论正确的有（）A．对于任意两个向量，若，则或或B．若空间中点满足，则三点共线C．空间中任意三个向量都满足D．对于任意两个向量，都有10.已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值可以是（）A．B.C.D.111.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A．双曲线的离心率为B．左焦点到浙近线的距离为C．双曲线的实轴长为1D．过右焦点截双曲线所得弦长为6的直线只有三条12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（） A．曲线的圆心坐标为B.C．曲线的周长为D.曲线上的点到直线的最小距离为非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，则（）14.设直线，若，则（）15.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米，则车辆的最大高度为（）米．16.已知椭圆，过椭圆在第二象限上的任意一点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，过点作，垂足为，则的取值范围是（）四、解答题：本大题共5小题，每小题14分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知点，直线．不论取何值，直线过定点．（I）求点的坐标，及点到直线距离的最大值；（II）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值．18.已知点，圆．（I）若直线过点，且圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，求直线的方程；（II）若直线过点，且直线与圆交于两点，若，求直线 的方程．19.已知抛物线，点是抛物线上的点．（I）求抛物线的方程及的值；（II）直线与抛物线交于两点，，且，求的最小值并证明直线过定点．20.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，且侧面为等边三角形．为线段的中点．（I）求证：直线；（II）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为．21.已知是平面上的动点，且点与的距离之和为．点的轨迹为曲线．（I）求动点的轨迹的方程；（II）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点，曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围．2021学年第一学期温州十校联合体期中联考高二数学评分标准与参考答案一、单选题（5×8＝40分）题号12345678答案BACDCBDA8.解析：易得平面//平面EFG，可知M的轨迹是直线AC， ．选A．也可建系，利用坐标法求解．二、选择题（4×5＝20分，全部选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分）题号9101112答案ABACDBDABD三、填空题，（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13.14.－415.16.16.解析：设，利用可求得切线方程为，从而可知，为定值，四、解答题：本大题共5小题，每小题14分，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）由………………2分令，解得．所以直线l过定点P（－1，－3）．………………4分点A（2，1）到直线l距离的最大值为．………………7分（用点到直线距离公式表示出距离d，再求最大值可以酌情给分）（Ⅱ）令y＝0，得；令x＝0，得y＝－a－2………………11分依题意，，解得a＝2或a＝－2………………14分18.解：（Ⅰ）依题意，直线l经过圆的圆心C（3.0），所以直线斜率为，…………4分所以直线l的方程为，化简得：．………………7分（Ⅱ）由MC⊥NC及圆的半径为4，可得，圆心C到直线的距离为．……… 9分设直线l的斜率为m，则直线的方程为，………………10分圆心C到直线l的距离，………………12分解得，所以直线l的方程为．…………14分19.解：（Ⅰ）依题意，点坐标满足方程，…………2分∴抛物线的方程为．………………4分（Ⅱ）设直线l的方程为，联立方程组，消去x得，…………6分．………………7分，………………9分解得或2（舍）………………11分．………………12分∴t＝3或t＝－1（舍）所以的最小值为，直线l：x＝my＋3恒过定点（3，0）．………………14分20.解：（Ⅰ）证明：连接PE，AE，因为三角形PBC为正三角形，PE⊥BC．………………1分又四边形ABCD为菱形，且∠ADB＝60°，所以△ABC也是正三角形．所以AE⊥BC．………………3分平面PAE平面PAE．…………5分又平面PAE，．………………6分（Ⅱ）由平面PMB⊥平面ABCD，及PE⊥BC可得，PE⊥平面ABC．直线EA，EB，EP两两垂直，以E为原点，直线EA，EB，EP分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，菱形ABCD边长为2，所以可求得，………………8分设平面PAC的法向量为，则，取可得其中一个法向量…………10分因为F是线段PA上的点，所以存在实数使得………11分设直线EF与平面PAC所成的角为，则解得．………………13分所以，线段PA上存在点F满足题意，且F为线段PA的两个三等分点．…………14分21.解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹E是以为焦点，长轴为的椭圆，………2分设，则故轨迹E的方程为．…………4分（Ⅱ）设直线l方程为y＝k（x＋1）代入E的方程，整理得．…………6分设点， 可得．…………7分…………9分由得，，解得．………………10分因为所以．由已知得…………12分，．的取值范围是．………………14分