天津市河西区2022届高三数学上学期期中考试试卷（附答案）

天津市河西区2022届高三上学期期中考试数学试卷（附答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，2}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（　　）A．{﹣1，1}B．{﹣2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，0，2，3}答案：解：∵U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，2}，∴∁UA＝{﹣2，2，3}，∁UB＝{﹣2，0，3}，∴（∁UA）∪（∁UB）＝{﹣2，0，2，3}．故选：D．2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定为（　　）A．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1B．∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3≥1C．∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1D．∃x0∈（﹣∞，﹣2），x0+3＜1答案：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，故选：C．3．命题p：函数f（x）＝x+的最小值为2，命题q：x＞0，则p是q的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：解：由对勾函数的性质得，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴当x＝时，f（x）取得最小值2，∴命题q：x＞0⇒命题p：函数f（x）＝x+的最小值为2，即命题p是命题q的必要条件；又当x∈（1，+∞）时，函数f（x）＝x+的最小值为2，即命题p不是命题q的充分条件，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（　　） A．B．C．D．答案：解：函数f（x）＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故排除A选项，f（﹣x）＝，故函数为奇函数，∵x∈（0，），cos2x＞0，f（x）＞0，故排除B，C选项．故选：D．5．（5分）（2021•甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（　　）A．B．C．D．答案：解：由tan2α＝，得， 即，∵α∈（0，），∴cosα≠0，则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，则cosα＝＝，∴tanα＝．故选：A．6．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（　　）A．4B．5C．6D．7答案：解：根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为a1、a2、a3、a4、a5，则这5个数组成以3为公差的等差数列，则a5＝a1+3（5﹣1）＝12+a1，又由5人共分得60个橘子，则有S5＝＝5a1+10×3＝60，解可得a1＝6；即得到橘子最少的人得到6个橘子；故选：C．7．定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，若，b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜b＜c答案：解：因为f（x）为R上的奇函数，所以＝，又奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）上也为增函数，因为20.8＜2＜log24.1＜log25， 则f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），所以c＜b＜a．故选：A．8．（5分）（2017•西安一模）函数f（x）＝lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）的图象在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（　　）A．2B．C．1D．2答案：解：由f（x）＝lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）＝+2x﹣b（x＞0），∴f′（b）＝+b（b＞0）∴f′（b）＝+b≥2，当且仅当b＝，即b＝1时上式取“＝”，切线斜率的最小值是2．故选：D．9．（5分）（2021•道里区校级一模）已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（　　）A．B．C．D．答案：解：函数，作出f（x）的图象，令f（x）＝t，那么F（x）转化为g（t）＝t2﹣2at+要使t2﹣2at+＝0零点个数为4，结合f（x）的图象，可知0＜t1≤1，0＜t2＜1，或t1＞2且t2＞2或0＜t1≤1且t2＞2．令g（t）＝t2﹣2at+，根据二次函数根的分布， 可得或或，即或或，解得：．故选：D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10．集合A＝{x||x﹣3|＜1}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∩B＝　{x|3≤x＜4}　．答案：解：∵集合A＝{x||x﹣3|＜1}＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x＜4}．故答案为：{x|2＜x≤3}．11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则三个内角中最大角的余弦值为　　．答案：解：根据题意开设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为C，可得cosC＝＝＝．故答案为：． 12．（5分）（2018秋•宁城县期末）设2a＝5b＝10，则+＝　1　．答案：解：设2a＝5b＝10，则a＝log210，b＝log510，则+＝+＝lg2+lg5＝1故答案为：113．已知数列{an}中，a1＝﹣1，an＝2an﹣1+3，则通项公式an＝　2n﹣3　；前n项和Sn＝　2n+1﹣3n﹣2　．答案：解：根据题意，将an＝2an﹣1+3变形可得an+3＝2（an﹣1+3），因此可得数列{an+3}是以a1+3＝2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．由此可得＝（2+22+23+…+2n）﹣3n＝．故答案为：2n﹣3；2n+1﹣3n﹣2．14．（5分）（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是　　．答案：解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为； 方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．15．（5分）（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为　2　．答案：解：由图像可得，即周期为π，∵，T＝π，∴，观察图像可知当，，，∵2∈（），且，∴x＝2时最小，且满足题意，故答案为：2．三.解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（14分）（在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求的值．答案：解：（Ⅰ）因为， 所以由正弦定理可得sinAcosC+sinC＝sinB，又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，所以sinC＝sinCcosA，因为sinC≠0，所以cosA＝．（Ⅱ）因为cosA＝，可得sinA＝＝，可得sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，所以＝sin2A﹣cos2A＝﹣×（﹣）＝．17．（15分）（2020•临川区校级一模）已知函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣]的最大值和最小值．答案：解：（1）化简可得f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣）＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）＝（﹣cos2x+sin2x）＝sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣．18．（15分）（2020春•兴庆区校级期末）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）．（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，1），求a，b的值；（2）若f（1）＝2， ①a＞0，b＞0，求的最小值；②若f（x）＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．答案：解：（1）由f（x）＞0的解集是（﹣1，1）知﹣1，1是方程f（x）＝0的两根，由根与系数的关系可得，解得；（2）由f（1）＝2得a+b＝1，①a＞0，b＞0，∴+＝（+）（a+b）＝++5≥2+5＝9，当且仅当b＝2a，即时取等号，∴+的最小值是9．②不等式f（x）＞1在R上恒成立，则ax2+（b﹣2）x+3＞1在R上恒成立，即ax2﹣（a+1）x+2＞0恒成立，∴，解得3﹣2＜a＜3+2，∴实数a的取值范围是．19．（15分）（2019•揭阳模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）令Cn＝设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．答案：解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．得，解得∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，．（Ⅱ）由a1＝3，an＝2n+1得Sn＝n（n+2）， 则n为奇数，cn＝＝，n为偶数，cn＝2n﹣1．∴T2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）＝＝＝．20．（16分）（2016•河西区二模）函数f（x）＝，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．答案：解：（1）∵f′（x）＝，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直，可得f′（e）＝﹣，即有﹣＝﹣解得得a＝1，∴f（x）＝，f′（x）＝﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x＝1是函数f（x）的极大值点又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；（2）不等式＞即为•＞ 令g（x）＝则g′（x）＝，再令φ（x）＝x﹣lnx，则φ′（x）＝1﹣＝，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）＝1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）＝2故＞．令h（x）＝，则h′（x）＝，∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）＝，所以＞h（x），即＞．