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河北省部分名校2021-2022学年高二数学上学期期中考试试题(附答案)
河北省部分名校2021-2022学年高二数学上学期期中考试试题(附答案)
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河北省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第一册前三章.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线经过原点和点,则的斜率是()A.0B.-1C.1D.不存在2.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.3.已知点,分别与点关于轴和轴对称,则()A.B.C.D.4.已知直线,直线,则与之间的距离为()A.B.C.D.5.已知三个顶点的坐标分别为,,,则外接圆的标准方程为()A.B.C.D. 6.若构成空间的一组基底,则下列向量不共面的是()A.,,B.,,C.,,D.,,7.已知双曲线的左、右焦点分别为,,是双曲线右支上的一点,且的周长为,则双曲线的离心率的取值范围为()A.B.C.D.8.在三棱柱中,,,,则该三棱柱的高为()A.B.C.2D.4二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知是直线的一个方向向量,是直线的一个方向向量,则下列说法不正确的是()A.B.C.D.直线,夹角的余弦值为10.已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于,两点,直线与直线的交点恰好为线段的中点,则()A.B.C.直线的斜率为1D.直线的斜率为411.已知为坐标原点,抛物线的焦点为,过作直线与轴垂直,且交于,两点,若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为,则() A.B.C.四边形的面积为5D.四边形的面积为1012.已知,,若圆上存在点,使得,则的值可能为()A.1B.3C.5D.7三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.抛物线上的点到其准线的距离为2,则______.14.过点且与圆相切的直线方程为______.15.椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,(为坐标原点),,则椭圆的长轴长为______.16.在中国古代数学著作《九章算术》中,鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图,在直角中,为斜边上的高,,,现将沿翻折到的位置,使得四面体为鳖臑,若为的重心,则直线与平面所成角的正弦值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线过点.(1)若直线与直线垂直,求直线的方程;(2)若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程.18.(12分)在①双曲线的焦点在轴上,②双曲线的焦点在 轴上这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.已知双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点,.(1)求双曲线的方程;(2)若双曲线与双曲线的渐近线相同,______,且的焦距为4,求双曲线的实轴长.注:若选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)已知圆,直线.(1)当直线被圆截得的弦长最短时,求直线的方程;(2)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,求的取值范围.20.(12分)如图,在四棱锥中,平面,,,且,,,且.(1)证明:平面平面.(2)求二面角的正弦值21.动点在圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.记点的轨迹为.(1)求的方程;(2)如果圆被曲线所覆盖,求圆半径的最大值.22.设抛物线的焦点为,过的直线与交于,两点.(1)若,求的方程.(2)以,为切点分别作抛物线的两条切线,证明:两条切线的交点一定在定直线上,且.河北省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试 数学参考答案1.B因为直线经过原点和点,所以的斜率.2.D双曲线的渐近线方程为.3.A由题可得,,所以.4.A直线的方程可化为,则直线与之间的距离.5.C因为是直角三角形,所以的外接圆是以线段为直径的圆,所以圆心坐标为,半径.故所求圆的标准方程为.6.C选项A,,所以,,共面;选项B,,所以,,共面;选项D,,共线,则,,共面.7.A设双曲线的焦距为,由题可知解得,,所以,则,所以双曲线的离心率的取值范围为.8.B设平面的法向量为,则所以令,则,,所以以是平面的一个法向量.点到平面的距离,故该三棱柱的高为. 9.ABC,,故选ABC.10.AC由题意可得,整理可得.设,,则,,两式相减可得.因为直线与直线的交点恰好为线段的中点,所以,则直线的斜率.11.BD抛物线的焦点为,因为与轴垂直,所以,的横坐标均为,代入抛物线方程求得其纵坐标为,不妨设,,结合三角形的对称性可知,,所以,则,解得.四边形的面积为.12.BCD设点,由,所以,则,即点是以为圆心,为半径的圆上一点.圆,可化为,因为是圆上一点,所以,解得. 13.4由抛物线可得准线方程为.因为点到其准线的距离为2,所以,解得.14.可化为,其圆心为,半径为.因为点在圆上,所以切线的斜率满足,解得,则切线方程为,即.15.由,得,则,所以.设,,则,,所以,所以,解得,所以椭圆的长轴长为.16.在直角中,为斜边上的高,,,则,,,,即在四面体中,,,,,,则.要使四面体为鳖臑,根据三角形中大边对大角,可知需要平面,此时,,,为直角,满足四面体为鳖臑,则. 如图,在长、宽、高分别为,1,的长方体中作出四面体,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.设为平面的一个法向量,则令,则,,所以.又,所以直线与平面所成角的正弦值为.17.解:(1)设直线的方程为3,则,解得,所以直线的方程为.(2)当直线过原点时,斜率为,由点斜式求得直线的方程是,即.当直线不过原点时,设直线的方程为,把点代入方程得,所以直线的方程是.综上,所求直线的方程为或.18.解:(1)设双曲线的方程为,则解得所以双曲线的方程为 (2)双曲线的渐近线方程为.选①,设双曲线的标准方程为,所以解得,.所以双曲线的实轴长为2.选②,设双曲线的标准方程为所以解得,,所以双曲线的实轴长为.19.解:(1)由,可得.由得即直线过定点.可化为,因为圆心,所以,又因为当所截弦长最短时,,所以,所以直线的方程为.(2)因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,所以,解得或,即的取值范围为.20.(1)证明:平面,.又,,,, ,.易知,,即.又,且,平面.又平面,平面平面.(2)解:平面,.又,易知,.如图,连接.平面,,.又,,.平面,,,过点作交于点,易知.以,,的方向分别为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系,,,,,.设平面的法向量为,则可取平面的一个法向量为.又平面,平面的一个法向量为.设二面角的平面角为,则,,二面角的正弦值为. 21.解:(1)设,,则,,.由,得,.因为在圆上,所以.故的方程为.(2)设是曲线上任意一点,则,所以当时,.所以圆半径的最大值为.22.解:由题意得,设直线的方程为,,,联立消元得,所以,.(1)因为,由题设知,解得,所以的方程为.(2)设与抛物线相切的切线方程为,则化简得.由,可得.将点坐标代入方程,可得,,所以过的切线方程为. 同理,过的切线方程为,联立方程组可得,,所以交点在定直线上.当时,显然成立;当时,,则,所以.综上所述,.
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高中 - 数学
发布时间:2021-12-16 09:02:15
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文章作者:随遇而安
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