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江苏省无锡市侨谊教育集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷 答案】
江苏省无锡市侨谊教育集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷 答案】
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2021-2022学年江苏省无锡市侨谊教育集团八年级第一学期期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.2022年冬奥会将在北京举行,以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )A.B.C.D.2.在中,无理数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列各式中,正确的是( )A.B.C.D.4.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )A.40°B.100°C.40°或100°D.70°或50°5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=50°,直线MN垂直平分边AC,分别交AB,AC于点D,E,则∠BCD=( )A.10°B.15°C.20°D.25°6.在下列各组条件中,不能说明△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠FB.AB=DE,BC=EF,AC=DFC.AB=DE,∠B=∠E,BC=EFD.AC=DF,∠B=∠F,∠A=∠D 7.下列说法中:①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合;②线段是轴对称图形;③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称;④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧.正确有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,在△ABC中,∠BAC为钝角,AF、CE都是这个三角形的高,P为AC的中点,若∠B=40°,则∠EPF的度数为( )A.90°B.95°C.100°D.105°9.在等边△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的动点,BD=2AE,连接DE,以DE为边在△ABC内作等边△DEF,连接CF,当D从点A向B运动(不运动到点B)时,∠ECF大小的变化情况是( )A.不变B.变小C.变大D.先变大后变小10.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,下列三个结论:①∠AOB=90°+∠C;②当∠C=60°时,AF+BE=AB;③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②③D.①③ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.9的平方根是 .12.已知:如图,∠CAB=∠DBA,只需补充条件 ,就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD.13.数据1.44×106是四舍五入得到的近似数,其精确的数位是 .14.一个等腰三角形的两边长分别是2和4,它的周长是 .15.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,若△ABC的面积为9,DE=2,AB=5,则AC长是 .16.等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个三角形的底角为 .17.如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,EF=BF,则∠EFC= °.18.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高,连接DE,过点D作DF⊥DE交BE于点F,G为BE中点,连接AF,DG.则AF,DG关系是 .三、解答题(本大题有7小题,共66分) 19.计算:(1);(2).20.如图,点B、D、C在一条直线上,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠EAC.(1)求证:BC=DE;(2)若∠B=70°,求∠EDC.21.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求:A与A1,B与B1,C与C1相对应)(2)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB),则网格中满足条件的点P共有 个;(3)在直线l上找一点Q,使QB+QC的值最小.22.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒. (1)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形?(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?23.如图,点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点,DG⊥AB于点G,DH⊥AC交AC的延长线于点H.(1)求证:BG=CH;(2)若AB=12,AC=8,求AG的长.24.以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AE=AB,AC=AD,CE与BD相交于M,∠EAB=∠CAD=α.(1)如图1,若α=40°,求∠EMB的度数;(2)如图2,若G、H分别是EC、BD的中点,求∠AHG的度数(用含α式子表示);(3)如图3,连接AM,直接写出∠AMC与α的数量关系是 .25.(1)如图①,△ABC是等边三角形,M为边BC的中点,连接AM,将线段AM顺时针旋转120°,得到线段AD,连接BD;点N在BC的延长线上,且CN=MC,连接 AN.求证:BD=AN.(2)若将问题(1)中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”,其他条件不变,结论还成立吗?如果成立,请画出图形并给出证明;如果不成立,请举出反例. 参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.2022年冬奥会将在北京举行,以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )A.B.C.D.【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案.解:A、不是轴对称图形,不合题意;B、不是轴对称图形,不合题意;C、是轴对称图形,符合题意;D、不是轴对称图形,不合题意.故选:C.2.在中,无理数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.解:﹣0.101101110111是有限小数,属于有理数;=2,0是整数,属于有理数;故在中,无理数有,,共2个.故选:B. 3.下列各式中,正确的是( )A.B.C.D.【分析】先利用开方、平方运算逐个计算,再得结论.解:∵=4≠±4,故选项A错误;(﹣)2=2≠4,故选项B错误;=5≠﹣5,故选项C错误;=﹣3,故选项D正确.故选:D.4.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )A.40°B.100°C.40°或100°D.70°或50°【分析】此题要分情况考虑:40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角.再进一步根据三角形的内角和定理进行计算.解:当40°是等腰三角形的顶角时,则顶角就是40°;当40°是等腰三角形的底角时,则顶角是180°﹣40°×2=100°.故选:C.5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=50°,直线MN垂直平分边AC,分别交AB,AC于点D,E,则∠BCD=( )A.10°B.15°C.20°D.25°【分析】由AB=AC,∠A=50°得出∠ACB=65°,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD=CD,推出∠ACD=∠A=50°,即可得出∠BCD=15°.解:∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ACB=∠B==65°,∵直线MN垂直平分边AC, ∴AD=CD,∴∠ACD=∠A=50°,∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=15°,故选:B.6.在下列各组条件中,不能说明△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠FB.AB=DE,BC=EF,AC=DFC.AB=DE,∠B=∠E,BC=EFD.AC=DF,∠B=∠F,∠A=∠D【分析】根据各个选项和全等三角形的判定可以解答本题.解:A、AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F,可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;B、AB=DE,BC=EF,AC=DF,可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;C、AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;D、AC=DF,∠B=∠F,∠A=∠D,不能证明△ABC≌△DEF,故此选项符合题意;故选:D.7.下列说法中:①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合;②线段是轴对称图形;③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称;④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧.正确有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据轴对称的定义:两个图形沿一条直线对着,直线两旁的部分能完全重合,那么这两个图形成轴对称进行判断即可.解:①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合,正确;②线段是轴对称图形,正确;③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称,故原说法错误;④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧,故原说法错误;所以正确的个数是2个.故选:B.8.如图,在△ABC中,∠BAC为钝角,AF、CE都是这个三角形的高,P为AC的中点,若∠B=40°,则∠EPF的度数为( ) A.90°B.95°C.100°D.105°【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCE,根据直角三角形的性质得到PF=AC=PC,PE=AC=PC,根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可.解:∵CE⊥BA,∠B=40°,∴∠BCE=50°,∵AF⊥BC,CE⊥BA,P为AC的中点,∴PF=AC=PC,PE=AC=PC,∴∠PFC=∠PCF,∠PEC=∠PCE,∴∠EPF=2∠PCF+2∠PCE=2∠BCE=100°,故选:C.9.在等边△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的动点,BD=2AE,连接DE,以DE为边在△ABC内作等边△DEF,连接CF,当D从点A向B运动(不运动到点B)时,∠ECF大小的变化情况是( )A.不变B.变小C.变大D.先变大后变小【分析】在AC上截取CN=AE,连接FN,易证AD=EN,DE=EF,由∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=120°﹣∠AED,∠NEF=180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED,得出∠ADE=∠NEF,由SAS证得△ADE≌△NEF,得出AE=FN,∠FNE=∠A=60°,推出FN=CN,求出∠ECF=30°,即可得出结果.解:在AC上截取CN=AE,连接FN,如图所示:∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=60°,AB=AC,∵BD=2AE,∴AD=EN,∵△DEF是等边三角形,∴DE=EF,∠DEF=60°,∵∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=180°﹣60°﹣∠AED=120°﹣∠AED,∠NEF=180°﹣∠DEF﹣∠AED=180°﹣60°﹣∠AED=120°﹣∠AED,∴∠ADE=∠NEF,在△ADE和△NEF中,,∴△ADE≌△NEF(SAS),∴AE=FN,∠FNE=∠A=60°,∴FN=CN,∴∠NCF=∠NFC,∵∠FNE=∠NCF+∠NFC=60°,∴∠NCF=30°,即∠ECF=30°,故选:A.10.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,下列三个结论:①∠AOB=90°+∠C;②当∠C=60°时,AF+BE=AB;③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是( ) A.①②B.②③C.①②③D.①③【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系,进而判定①;在AB上取一点H,使BH=BE,证得△HBO≌△EBO,得到∠BOH=∠BOE=60°,再证得△HAO≌△FAO,得到AF=AH,进而判定②正确;作OH⊥AC于H,OM⊥AB于M,根据三角形的面积可证得③正确.解:∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,∴∠OBA=∠CBA,∠OAB=∠CAB,∴∠AOB=180°﹣∠OBA﹣∠OAB=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=180°﹣(180°﹣∠C)=90°+∠C,①正确;∵∠C=60°,∴∠BAC+∠ABC=120°,∵AE,BF分别是∠BAC与ABC的平分线,∴∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=60°,∴∠AOB=120°,∴∠AOF=60°,∴∠BOE=60°,如图,在AB上取一点H,使BH=BE,∵BF是∠ABC的角平分线,∴∠HBO=∠EBO,在△HBO和△EBO中,,∴△HBO≌△EBO(SAS),∴∠BOH=∠BOE=60°,∴∠AOH=180°﹣60°﹣60°=60°, ∴∠AOH=∠AOF,在△HAO和△FAO中,,∴△HAO≌△FAO(ASA),∴AF=AH,∴AB=BH+AH=BE+AF,故②正确;作OH⊥AC于H,OM⊥AB于M,∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,∴点O在∠C的平分线上,∴OH=OM=OD=a,∵AB+AC+BC=2b∴S△ABC=×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD=(AB+AC+BC)•a=ab,③正确.故选:C.二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.9的平方根是 ±3 .【分析】直接利用平方根的定义计算即可.解:∵±3的平方是9,∴9的平方根是±3.故答案为:±3. 12.已知:如图,∠CAB=∠DBA,只需补充条件 AC=BD ,就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD.【分析】根据SAS的判定方法可得出答案.解:补充条件AC=BD.理由:在△ABC和△BAD中,,△ABC≌△BAD(SAS).故答案为:AC=BD.13.数据1.44×106是四舍五入得到的近似数,其精确的数位是 万位 .【分析】把题目中的数据还原为原来的数据,从而可以得到题目中的数据精确到哪一位,本题得以解决.解:∵1.44×106=1440000,∴1.44×106精确到万位,故答案为:万位.14.一个等腰三角形的两边长分别是2和4,它的周长是 10 .【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解.解:①2是腰长时,三角形的三边分别为2、2、4,∵2+2=4,∴不能组成三角形,②2是底边时,三角形的三边分别为2、4、4,能组成三角形,周长=2+4+4=10,综上所述,它的周长是10.故答案为:10.15.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,若△ABC的面积为9,DE=2,AB=5,则AC长是 4 . 【分析】根据角平分线性质求出DF,根据三角形面积公式求出△ABD的面积,求出△ADC面积,即可求出答案.解:过D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF=2,∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5,∵△ABC的面积为9,∴△ADC的面积为9﹣5=4,∴AC×DF=4,∴AC×2=4,∴AC=4故答案为:4.16.等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个三角形的底角为 67.5°或22.5° .【分析】分两种情况讨论,求出每种情况的顶角的度数,再利用等边对等角的性质(两底角相等)和三角形的内角和定理,即可求出底角的度数.解:有两种情况;(1)如图,当△ABC是锐角三角形时,BD⊥AC于D, 则∠ADB=90°,已知∠ABD=45°,∴∠A=90°﹣45°=45°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=×(180°﹣45°)=67.5°;(2)如图,当△EFG是钝角三角形时,FH⊥EG于H,则∠FHE=90°,已知∠HFE=45°,∴∠HEF=90°﹣45°=45°,∴∠FEG=180°﹣45°=135°,∵EF=EG,∴∠EFG=∠G=×(180°﹣135°)=22.5°,故答案为:67.5°或22.5°.17.如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,EF=BF,则∠EFC= 45 °.【分析】由DE垂直平分AB,根据线段垂直平分线的性质,可得AE=BE,又由BE⊥ AC,可求得∠A=∠ABE=45°,然后由AB=AC,BF=EF,求得答案.解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠A=∠ABE,∵BE⊥AC,∴∠A=∠ABE=45°,∵AB=AC∴∠ABC=∠C=67.5°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=22.5°,∵BF=EF,∴∠BEF=∠EBC=22.5°,∴∠EFC=∠EBC+∠BEF=45°.故答案为:45.18.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高,连接DE,过点D作DF⊥DE交BE于点F,G为BE中点,连接AF,DG.则AF,DG关系是 AF=2DG且AF⊥DG .【分析】延长DG至M,使GM=DG,交AF于H,连接BM,根据题意证明△DAE≌△DBF,推出∠DEF=∠DFE=45°,利用SAS证明△BGM≌△EGD(SAS),得出∠MBE=∠FED=45°=∠EFD,BM=DE=DF,再利用SAS证明△BDM≌△DAF(SAS),得出DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM,证出∠AHD=90°,即可得出结论.解:AF=2DG,且AF⊥DG;理由如下:延长DG至M,使GM=GD,交AF于H,连接BM,如图所示:∵AD,BE分别为BC,AC边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°,∵∠ABC=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD,∵∠DAC+∠C=∠DBE+∠C=90°,∴∠DAC=∠DBE,即∠DAE=∠DBF,∵∠ADB=∠FDE=90°,∴∠ADB﹣∠ADF=∠FDE﹣∠ADF,即∠BDF=∠ADE,在△DAE和△DBF中,,∴△DAE≌△DBF(ASA),∴DE=DF,∴△FDE是等腰直角三角形,∴∠DEF=∠DFE=45°,∵G为BE中点,∴BG=EG,在△BGM和△EGD中,,∴△BGM≌△EGD(SAS),∴∠MBE=∠DEF=45°=∠DFE,BM=DE=DF,∵∠DAC=∠DBE,∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE,∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,∴∠BDF=45°﹣∠DBE,∵∠ADE=∠BDF,∴∠ADF=90°﹣∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD,在△BDM和△DAF中, ,∴△BDM≌△DAF(SAS),∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM,∵∠BDM+∠MDA=90°,∴∠MDA+∠FAD=90°,∴∠AHD=90°,∴AF⊥DG,∴AF=2DG,且AF⊥DG.故答案为:AF=2DG,且AF⊥DG.三、解答题(本大题有7小题,共66分)19.计算:(1);(2).【分析】(1)根据算术平方根,负整数指数,立方根的定义进行计算即可;(2)根据有理数的乘方,算术平方根,绝对值,立方根进行计算即可.解:(1)原式=5﹣2+3=6;(2)=﹣4+3+﹣1﹣2=﹣4+.20.如图,点B、D、C在一条直线上,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠EAC.(1)求证:BC=DE;(2)若∠B=70°,求∠EDC.【分析】(1)由“SAS”可证△ABC≌△ADE,可得BC=DE; (2)由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB=70°=∠ADE,由平角的性质可求解.解:(1)∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,∴∠BAC=∠DAE,在△ABC与△ADE中,,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴BC=DE;(2)∵△ABC≌△ADE,∴∠B=∠ADE=70°,∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70°,∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°,∴∠EDC=180°﹣∠ADE﹣∠ADB=40°.21.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求:A与A1,B与B1,C与C1相对应)(2)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB),则网格中满足条件的点P共有 4 个;(3)在直线l上找一点Q,使QB+QC的值最小. 【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.(2)在线段AB的垂直平分线性质格点即可.(3)连接BC1交直线l于点Q,连接CQ,此时BQ+CQ的值最小.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.(2)如图,满足条件的点P有4个,故答案为4.(3)如图点Q即为所求.22.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒. (1)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形?(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?【分析】(1)用t可分别表示出BP和BQ,根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ,可得到关于t的方程,可求得t;(2)用t分别表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况,分别得到关于t的方程,可求得t的值.解:(1)由题意可知AP=t,BQ=2t,∵AB=16,∴BP=AB﹣AP=16﹣t,当△PQB为等腰三角形时,则有BP=BQ,即16﹣t=2t,解得t=,∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形;(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时:CQ=BQ,如图1所示,则∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°.∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ, ∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=10(cm),∴BC+CQ=22(cm),∴t=22÷2=11(秒).②当,△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时:CQ=BC,如图2所示,则BC+CQ=24(cm),∴t=24÷2=12(秒).综上所述:当t为11秒或12秒时,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形.23.如图,点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点,DG⊥AB于点G,DH⊥AC交AC的延长线于点H.(1)求证:BG=CH;(2)若AB=12,AC=8,求AG的长.【分析】(1)连接BD、CD,根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC;依据角平分线的性质可得DG=DH;依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH,根据全等三角形的性质即可得出结论;(2)同理Rt△ADG≌Rt△ADH(HL),得出AG=AH,进而得出答案.【解答】证明:(1)如图,连接BD、CD,∵D是线段BC垂直平分线上的点,∴BD=DC,∵D是∠BAC平分线上的点,DG⊥AB,DH⊥AC ∴DG=DH,∠DGB=∠H=90°,在Rt△BDG与Rt△CDH中,,∴Rt△BDG≌Rt△CDH(HL),∴BG=CH;(2)∵Rt△ADG≌Rt△ADH(HL),∴AG=AH,∴AB﹣AC=AG+BG﹣(AH﹣CH)=2BG=12﹣8=4,∴BG=2,∴AG=AB﹣BG=12﹣2=10.24.以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AE=AB,AC=AD,CE与BD相交于M,∠EAB=∠CAD=α.(1)如图1,若α=40°,求∠EMB的度数;(2)如图2,若G、H分别是EC、BD的中点,求∠AHG的度数(用含α式子表示);(3)如图3,连接AM,直接写出∠AMC与α的数量关系是 ∠AMC=90°+α .【分析】(1)由“SAS”可证△AEC≌△ABD,可得∠AEC=∠ABD,由外角的性质可得结论;(2)由“SAS”可证△ACG≌△ADH,可得AG=AH,∠CAG=∠DAH,即可求解; (3)由全等三角形的性质可得S△ACG=S△ADH,EC=BD,由面积法可求AP=AN,由角平分线的性质可求∠AMD,即可求解.解:(1)∵∠EAB=∠CAD=α,∴∠EAC=∠BAD,在△AEC和△ABD中,,∴△AEC≌△ABD(SAS),∴∠AEC=∠ABD,∵∠AEC+∠EAB=∠ABD+∠EMB,∴∠EMB=∠EAB=40°;(2)连接AG,AH,由(1)可得:EC=BD,∠ACE=∠ADB,∵G、H分别是EC、BD的中点,∴DH=CG,在△ACG和△ADH中,,∴△ACG≌△ADH(SAS),∴AG=AH,∠CAG=∠DAH,∴∠AGH=∠AHG,∠CAG﹣∠CAH=∠DAH﹣∠CAH,∴∠GAH=∠DAC,∵∠DAC=α,∴∠GAH=α,∵∠GAH+∠AHG+∠AGH=180°, ∴∠AHG=90°﹣α;(3)如图3,连接AM,过点A作AP⊥EC于P,AN⊥BD于N,∵△ACE≌△ADB,∴S△ACE=S△ADB,EC=BD,∵EC×AP=×BD×AN,∴AP=AN,又∵AP⊥EC,AN⊥BD,∴∠AME=∠AMD=,∴∠AMC=∠AMD+∠DMC=90°+α,故答案为:∠AMC=90°+α.25.(1)如图①,△ABC是等边三角形,M为边BC的中点,连接AM,将线段AM顺时针旋转120°,得到线段AD,连接BD;点N在BC的延长线上,且CN=MC,连接AN.求证:BD=AN.(2)若将问题(1)中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”,其他条件不变,结论还成立吗?如果成立,请画出图形并给出证明;如果不成立,请举出反例. 【分析】(1)证明△DBA≌△ANM(SAS),可得BD=AN.(2)分两种情形:①如图②﹣1中,当BM>BC时,分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H.证明△DAH≌△AMG(AAS),推出DH=AG,AH=GM,再证明△DBH≌△ANG(SAS),可得BD=AN.②当BM<BC时,同法可得BD=AN.解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,AB=BC=AC,∵又M是BC的中点,∴∠AMB=∠AMN=90°,BC=2BM=2MC,∠BAM=∠BAC=30°,∵AM顺时针旋转120°得到线段AB,∴∠MAD=120°,AD=AM,∴∠BAD=∠MAD﹣∠BAM=120°﹣30°=90°,∴∠BAD=∠AMN=90°,∵MC=CN,∴MN=2MC=BC=AB,在△DBA和△ANM中,,∴△DBA≌△ANM(SAS),∴BD=AN. (2)结论成立,理由如下:①如图②﹣1中,当BM>BC时,分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H.∴∠DHA=∠AGM=90°,∵∠AMG+∠BAM+∠ABC=180°,∠ABC=60°,∴∠AMG=180°﹣∠ABC﹣∠BAM=120°﹣∠BAM,∵AM顺时针旋转120°得到线段AB,∴∠MAD=120°,AD=AM,∴∠DAB=120°﹣∠BAM,∴∠DAB=∠AMB,在△DAH和△AMG中,,∴△DAH≌△AMG(AAS),∴DH=AG,AH=GM,又∵△ABC是等边三角形,AG⊥BM,∴BG=GC,∴GN=GC+CN=GC+CM=BG+GC﹣GM=BC﹣GM,又∵BH=AB﹣HA,AH=GM,AB=BC,∴BH=GN.∵DH=AG,∠DHA=∠AGM=90°,BH=GN,在△DBH和△ANG中, ,∴△DBH≌△ANG(SAS),∴BD=AN.②当BM<BC时,同法可得BD=AN.
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