江苏省无锡市梁溪区东林中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷 答案】

2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区东林中学八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．2．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　）A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠ADC＝∠AEBD．DC＝BE3．等腰三角形的两边长分别为2cm和7cm，则其周长为（　　）A．11cmB．13cmC．16cmD．11cm或16cm4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点5．下列结论中不正确的是（　　）A．两个关于某直线对称的图形一定全等B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧C．两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴D．有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等 6．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　）A．20B．12C．16D．137．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（　　）A．10米B．15米C．16米D．20米8．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（　　）A．8B．9C．12D．以上都不正确9．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）A．a2+2abB．a2+b2C．（b+a）2D．（b﹣a）2+b210．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE ，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（　　）A．2B．2.5C．3D．二、填空（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝　　°．12．已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为　　．13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝　　cm．14．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝　　．15．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为　　．16．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是　　．17．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为　　．18．如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，AC＝5，AB＝4，过点C作CD⊥CB，点D在点C右侧，且CD＝CB，连接AD，则AD2的值为　　．三、解答题（本大题有7小题，共66分）19．如图，C为线段AB的中点，CD∥BE，CD＝BE．求证：AD∥CE．20．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫做格点．（1）如图1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．①画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点）；②直接写出△ABC中AB边上的高为　　．（2）如图2，点A、B为格点，请在图中清晰地标出使以A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有点C的位置（可以用C1、C2……表示）．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）在线段AC上找一点D，使得点D到AB、BC的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接BD，若BC＝6，AB＝10，求CD的长．22．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．23．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．（1）求证：∠A＝∠BCD．（2）问：点E运动多长时间，CF＝AB？说明理由．24．已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA．（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为　　（直接写出结果）；（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？ 25．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝　　．②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长． 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意；故选：A．2．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　）A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠ADC＝∠AEBD．DC＝BE【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB＝AC，∠A＝∠A；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等，或AD＝AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．解：A、当∠B＝∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；B、当AD＝AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；C、当∠ADC＝∠AEB时，符合AAS的判定条件，故C正确；D、当DC＝BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故D错误；故选：D．3．等腰三角形的两边长分别为2cm和7cm，则其周长为（　　）A．11cmB．13cmC．16cmD．11cm或16cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：当腰长是2cm时，因为2+2＜7，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是7cm时，7，7，2符合三角形三边关系，此时周长是16cm．故选：C．4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点．故选：C．5．下列结论中不正确的是（　　）A．两个关于某直线对称的图形一定全等B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧C．两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴D．有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等【分析】根据轴对称的性质对A、C进行判断；根据轴对称的定义对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对D进行判断．解：A、两个关于某直线对称的图形一定全等，所以A选项的结论正确；B、对称图形的对称点可能在对称轴的两侧，也可能都在对称轴上，所以B选项的结论错误； C、两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，所以C选项的结论正确；D、有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等，所以D选项的结论正确．故选：B．6．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　）A．20B．12C．16D．13【分析】根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BC＝4，∵AD⊥BC，点E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC＝6，∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，故选：C．7．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（　　）A．10米B．15米C．16米D．20米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图， 建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝15米．故选：B．8．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（　　）A．8B．9C．12D．以上都不正确【分析】根据翻折变换的性质可知AG＝GH，AD＝HQ，DM＝MQ，进而将阴影部分的周长转化为正方形ABCD的周长，即可得到结论．解：由翻折变换可知，AG＝GH，AD＝HQ，DM＝MQ，∵阴影部分的周长为GH+HQ+QM+GB+BC+MC，∴阴影部分的周长为AB+BC+CD+DA＝正方形ABCD的周长，又∵正方形ABCD的边长为3，∴正方形ABCD的周长为12，即阴影部分的周长为12，故选：C．9．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞ a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）A．a2+2abB．a2+b2C．（b+a）2D．（b﹣a）2+b2【分析】先求出AE和DE的长，再根据面积和求解即可．解：∵DE＝b﹣a，AE＝b，∴S四边形ABCD＝4S△ADE+a2＝4××（b﹣a）•b+a2＝b2+（b﹣a）2．故选：D．10．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（　　）A．2B．2.5C．3D．【分析】过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF＝AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，然后求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长．解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE， ∴×DE×AF＝×BC×AH，∴AF＝AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG＝∠AHG＝90°，在Rt△AFG和Rt△AHG中，，∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴SRt△AFG＝6，∵AF＝4，∴×FG×4＝6，解得：FG＝3；故选：C．二、填空（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝　35　°．【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．解：∵等腰三角形中，∠A＝110°＞90°，∴∠B＝＝35°，故答案为：35．12．已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为　13　．【分析】直接根据勾股定理即可得出结论． 解：∵Rt△ABC两直角边长为5，12，∴斜边长＝＝13．故答案为：13．13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝　4　cm．【分析】根据平行线的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，BD的长，那么CF的长就不难求出．解：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠EFC，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∵AB＝7cm，BD＝3cm，∴AD＝AB﹣BD＝7﹣3＝4cm，∴CF＝AD＝4cm，故答案为4．14．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝　40°　． 【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠4＝30°，利用平行线的性质得到∠1＝∠3＝80°，再根据三角形内角和定理即可求解．解：如图，延长CB交l1于点D，∵AB＝BC，∠C＝30°，∴∠C＝∠4＝30°，∵l1∥l2，∠1＝80°，∴∠1＝∠3＝80°，∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．15．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为　9　．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．解：∵正方形A、B的面积依次为2、4， ∴正方形E的面积为2+4＝6，又∵正方形C的面积为3，∴正方形D的面积3+6＝9，故答案为9．16．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　30　．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝4，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝4，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×6×4+×9×4，＝30．故答案为：30．17．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC 的度数为　76°　．【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．解：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝38°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×38°＝76°；故答案为：76°．18．如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，AC＝5，AB＝4，过点C作CD⊥CB，点D在点C右侧，且CD＝CB，连接AD，则AD2的值为　66　．【分析】过点C作CE⊥AC，且使CE＝AC，连接AE，BE，证明△ECB≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出BE＝AD，证出∠EAB＝90°，由勾股定理可求出 BE2，则可得出答案．解：过点C作CE⊥AC，且使CE＝AC，连接AE，BE，∵CD⊥CB，CE⊥AC，∴∠BCD＝90°，∠ACE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∵CE＝AC＝5，∠ACE＝90°，∴∠EAC＝45°，AE＝5，∵∠CAB＝45°，∴∠EAB＝90°，∴BE2＝AB2+AE2＝42+＝66，∴AD2＝66．故答案为：66．三、解答题（本大题有7小题，共66分）19．如图，C为线段AB的中点，CD∥BE，CD＝BE．求证：AD∥CE．【分析】根据题意证明△ADC≌△CEB，得到∠A＝∠BCE，借助平行线的判定即可解决问题． 【解答】证明：∵点C是AB的中点，∴AC＝BC，∵CD∥BE，∠ACD＝∠B，在△ADC与△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴∠A＝∠BCE，∴AD∥CE．20．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫做格点．（1）如图1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．①画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点）；②直接写出△ABC中AB边上的高为　　．（2）如图2，点A、B为格点，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有点C的位置（可以用C1、C2……表示）．【分析】（1）①分别作出A、B、C关于直线l的对称点即可；②利用三角形面积公式即可求得；（2）根据等腰三角形是轴对称图形，作出A、B关于直线的对称点即可．解：（1）①如图1，△A1B1C1为所作； ②∵AB＝＝5，BC＝2，设AB边上的高为h，∴S△ABC＝×2×3＝，∴h＝，故答案为：；（2）如图2，C1、C2、C3为所作．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）在线段AC上找一点D，使得点D到AB、BC的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接BD，若BC＝6，AB＝10，求CD的长．【分析】（1）利用尺规作∠ABC的角平分线即可；（2）结合（1）证明△BDC≌△BDH，再利用勾股定理即可求出CD的长．【解答】解（1）如图，作∠ABC的角平分线交AC于点D，点D即为所求； （2）作DH⊥AB于点H．在△CBD和△HBD中，，∴△CBD≌△HBD（AAS），∴HB＝CB＝6，∴AH＝4，设CD＝DH＝x，在Rt△ABC中，AC＝8，∴AD＝8﹣x，在Rt△ADH中，42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3．22．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠ EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN．解：（1）连接EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点，∴DM＝BC，EM＝BC，∴DM＝EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥ED；（2）在Rt△DBC中，M是BC的中点，∴DM＝BC＝BM，∴∠DBM＝∠BDM，同理∠MEC＝∠MCE，∵∠ECB+∠DBC＝45°，∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，∴∠EMD＝90°，∵N是DE的中点，DE＝10，∴MN＝DE＝5．23．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．（1）求证：∠A＝∠BCD．（2）问：点E运动多长时间，CF＝AB？说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理得逆定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，继而得出BE的长，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD；（2）解：当点E运动s或s时，CF＝AB，①点E在BC延长线上，∵∠A＝∠BCD＝∠ECF，∠ACB＝∠FEC＝90°，CF＝AB，∴△ACB≌△CEF（AAS），∴EC＝AC＝24，∴EB＝EC+BC＝31，∴点E运动时间为s；②点E在CB延长线上，同理△ACB≌△CE′F′（AAS），E′C＝AC＝24， ∴E′B＝17，∴点E运动时间为s；综上所述，当点E运动s或s时，CF＝AB．24．已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA．（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为　45°　（直接写出结果）；（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠E，根据三角形的外角的性质得到∠E，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ADB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠ACB＝45°，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，∴∠E＝22.5°，∵AB＝DB，∴∠ADB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；（2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝30°，∴∠E＝15°，∵AB＝DB，∴∠ADB＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；故答案为：45°；（3）设∠BAC＝α，∠B＝β°，∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝180°﹣α﹣β，∴∠E＝90°﹣α﹣β，∵AB＝DB，∴∠ADB＝（180°﹣β）＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝90°﹣β﹣（90°﹣α﹣β）＝α；∴∠BAC＝2∠DAE．25．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝　6　．②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．【分析】（1）①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点P，连接EP、AP，再由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6即可； ②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，则GC＝EP＝x，DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝x+2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝4；②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：（1）①如图1所示，△AEP即为所求的三角形，由作图得：AE＝AB＝10，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝6，故答案为：6；②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠C，设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC，∴△GEF≌△PCF（ASA），∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，∴GC＝EP＝x，∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2，在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝，即BP＝．（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，如图3所示：由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°，∴∠CB'D＝90°，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB， ∴∠DCQ＝∠CQB，∴∠DCQ＝∠CQD，∴QD＝CD＝10，∴DB'＝＝＝6，∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4；②点Q在BA延长线上时，如图4所示：由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°，∴DB'＝＝＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10，∵∠BAD＝90°，∴∠DAQ＝90°，在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（x﹣10）2＝（x﹣6）2，解得：x＝16，即BQ＝16；综上所述，BQ的长为4或16．