黑龙江省八校2021-2022高二数学上学期期中联合考试试卷（PDF版附答案）

2021-2022学年度上学期八校期中联合考试高二数学试题本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知空间向量a(2,1,1),b(,2,2)x，且ab∥，则x()A.2B.4C.2D.42.m4是直线mx(3m4)y30与直线2xmy30平行的()A.充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件22xy3.已知FF12,是椭圆1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A、B，若||8AB，2516则AF11BF()A.9B.10C.12D.16224.方程x3y3x40表示的曲线是()A.一个椭圆和一条直线B.一个椭圆和一条射线C.一条直线D.一个椭圆225.过点1,3作圆xy10的切线，则切线方程为()A.xy3100B.x1或3xy100C.3xy100D.y3或xy3100 6.如图所示的三棱锥PABC中，D是棱PB的中点，已知PA底面ABC，PABC2，AB4,ABBC，则异面直线PC，AD所成角的正弦值为()3030A.B.610670C.D.61022xy7.已知F是椭圆1（ab0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，22ab1PFx轴，若PFAF，则该椭圆的离心率是()41313A.B.C.D.42248.设mR，过定点A的动直线xmy10和过定点B的动直线mxy2m30交于点Pxy,，则PAPB的最大值为()A.25B.6C.3D.32二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.)9.下列说法正确的是()yyxx11A.过(,)xy11，(,xy22)两点的直线方程为yyxx2121B.点(1,3)关于直线xy10的对称点为(2,2)C.直线2xy40与两坐标轴围成的三角形的面积是4D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy20 10.已知正方体ABCDABCD1111的棱长为1，点EO,分别是AB11，AC11的中点，P在132正方体内部且满足APABADAA，则下列说法正确的是()1243102A.BE与平面ABCD11所成角的正弦值是B.点O到平面ABCD11的距离是5235C.平面ABD1与平面BCD11间的距离为D.点P到直线AD的距离为3611.以下四个命题表述正确的是()222A.圆xy2上有且仅有3个点到直线lxy:10的距离都等于222B.已知圆Cx:2y，P为直线xy230上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为22222C.曲线Cx:y+2x0与曲线C:xy4x8ym0，恰有四条公切线，则12实数m的取值范围为m42222D.圆xy10x10y0与圆xy62xy400的公共弦所在的直线方程为xy3+10022xy22212.已知椭圆C：10ab与圆C：xyb，若在椭圆C上存在12221ab点P，使得由点P所作的圆C的两条切线相互垂直，则椭圆C的离心率可以是()213214A.B.C.D.2325 第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，第二空3分)13.已知||2a，||1b，ab,，则|2|ab________.14.某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m米.现有一船，宽10m，若该船能从桥下通过，则该船水面以上的高度不得超过________m.15.直线ykx(2)4与曲线yx142仅有一个公共点，则实数的k的取值范围是________.22xy16.已知椭圆C1:221(ab0)，F1为左焦点，A1，A2为左、右顶点，P是椭ab3圆C1上任意一点，PF1的最大值为3，直线PA1和PA2满足kkPA12PA，则椭圆C1的422方程为__________，过P作圆C:x(y33)3的两条切线PM、PN，切点分2别为M、N则CMCN的最小值为__________.22四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知向量a(2,1,3)，b(1,1,2)，c(,2,2)x.（1）当||22c时，若向量kab与c垂直，求实数x和k的值；（2）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值. 18.(本小题满分12分)已知圆C经过点A3,2和B10,，且圆心在直线xy10上.（1）求圆C的方程；（2）若直线lkxyk：30与圆C交于不同的两点A，B，求实数k的取值范围.19.(本小题满分12分)已知直线l经过直线2xy10与直线xy270的交点P.（1）若两定点AB(6,6)、(2,4)到直线l的距离相等，求直线l的方程；22（2）若直线l与圆Qx:(1)(y2)9相交于CD,两点，求弦长的最小值及此时直线l的方程.20.(本小题满分12分)已知动点P与平面上点A1,0，B10,的距离之和等于22.(1)试求动点P的轨迹方程C；82(2)设直线ly:3kx与曲线C交于M、N两点，当MN时，求直线l的方程.7 21.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D是AB中点，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.(1)求证：BC1∥平面A1DC；(2)在棱B1C1上确定一点P，使AP14，并求出平面PAB与平面AAB1夹角的余弦值．C1A1B1ACD22.(本小题满分12分)B2211xy设椭圆M:1(ab0)的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点P,，2222ab且APPO．（1）求椭圆M的方程；（2）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且kk121，求证：直线DE恒过一个定点． 4高二数学期中试卷参考答案所以实数x的值为.-------10分5(答案仅供参考,其它解法请酌情给分)18.解:（1）因为圆心C在直线xy10上，所以设圆心Ca(,1a)，一.选择题答案因为点AB,是圆上两点，所以CACB，123456789101112根据两点间距离公式，有2222BACCADDABCACDABAD(a3)(1a2)(a1)(1a)，解得a1.二.填空所以，圆心C(1,2)-------------4分3522xy2113.214.53615.,16.1；412438圆的半径rAC(13)22(22)2-------5分三.解答题22所以,所求圆的方程为(xy1)(2)4.-------6分17.解：(1)因为||22c,所以xx22222220-------2分（2）因为直线lkxyk：30与圆O交于不同的两点AB,，且kab(2k1,1kk,32).k3因为向量kab与c垂直,所以，圆心O到直线l的距离d21，-------9分k1所以(kab)c0.即2kk31，3即4k60，k-------4分42解得k-------11分33所以,实数x和k的值分别为0和.-------5分24所以实数k的取值范围是(,)-------12分(2)因为向量c与向量a，b共面,所以设cab（,R）.-------7分32xy10因为(,2,2)x(2,1,3)(1,1,2),19.解:（1），解得P(1,3)-------1分xy2704x,4655当直线l与直线AB平行时，kABx2,26222,所以,-------9分55方程为yx31，即5xy2110；-------3分232,28.51/3 31448k216222当直线l经过线段AB中点(4,1)，kl，MN1kx1x24xx121k2214312k212k4方程为yx31，即43xy130.-------5分224(1kk)(1)823------------9分212k7所以，直线l方程为52xy110或43xy130.-------6分1732kk42570,k3-------11分（2）当弦CD与PQ垂直时，弦长最小，-------8分231直线l的方程为：yx33-------12分此时kPQ，故kCD2，11221.（1）证明：连接AC1交AC1于点E,连接DE此时直线l方程为250xy.----------10分在三棱柱ABC－A1B1C1中|2(1)25|圆心到直线距离d5，2122侧面AACC是平行四边形11弦长CD2r22d2954.-------11分E是AC1的中点所以，弦长最小值为4，直线l方程为2xy50.-------12分D是AB中点DE//BC120.解:（1）设点P的坐标为(,)xyDE平面ADC1，BC1平面ADC1PAPB222ABBC//平面ADC-------------4分11由椭圆定义可知点P轨迹是以AB,为焦点的椭圆-------3分z（2）以A为坐标原点，以AC，AB所在直线分别为x轴，C1A1222a2，c1bac1B1y轴，过点A作BA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz12x2动点P的轨迹方程C为：y1-------5分A(0,0,0),B(0,2,0)，C(2,0,0)，A(0,2,2),B(0,4,2)211xA22C（2）将直线ly:3kx代入椭圆方程得:12kx43kx40,AB(0,2,0),BC11BC(2,2,0)，BB1(0,2,2)DB243kk44(12)20,即,设BPBC(2,2,0)，(0)-------------5分y111Mxy,43k4APABBB11BP(2,42,2)(或APABAA11BP(2,42,2))设11，Nxy22,xx122，xx122-------7分12k12k22AP4(42)4142/3 21222231k1解得，即P为BC11中点-------6分可得3k11x6kx13k110，所以xxAD2，-------5分231k122设nxyz(,,)为平面PAB的一个法向量，13k113kk112又因为xA1，故xD2，ykD1221，13k13kk13111AB(0,2,0)，AP(1,3,2)，213k22k2ny·AB20同理可得xE2，yE2，------------6分n2,0,113k213k2，令z1，∴x2，1，-------8分nAP·x3y2z01又kk121且kk12，可得k2且k11，因为x轴平面AAB1,k12设n2(1,0,0)为平面AAB1的一个法向量-------9分k13y2k1所以xE2，E2，k13k13nn12·2125coscosnn12,，-------11分nn12·51522kk1122yyk313k2kED111所以kDE222，------8分BC中点，平面PAB与平面AAB夹角的余弦值为25xxEDkk1131331k1所以，P为111．-------12分225kk11313222.解:（1）由APOP，可知kkAPOP1，yx2k12k113k1直线DE的方程为222，-------9分13kk1131k1131122113k231k2又由A点坐标为(,0)a，故，111令y0，可得x12．-------11分a13kk22132211解得a1-----------2分所以，直线DE过定点2,0-------12分11因为椭圆M过P点，故1，244b21解得b-------3分322yx1所以，椭圆M的方程为1．-------4分322（2）由点A(1,0)，则直线AD方程为ykx1(1)，代入xy31，3/3