山东省 2022届高三上学期第一次摸底考试数学试题（附答案）

莱州市第一中学2022届高三上学期第一次摸底考试数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,,则A.B.C.D.2.已知,则A.B.C.D.3.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 A.B.C.D.4.设函数，则下列结论错误的是A.的周期为B.在上单调递减C.在上单调递增D.的图象关于直线对称5.已知双曲线的两个焦点为为双曲线右支上一点．若，则的面积为A.B.C.D.6.若，则A.B．C．D．7.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次.记事件，，，则A.B.C.D.8.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能改变的数字特征是A.平均数B.极差C.中位数D.方差 10.已知向量，，函数,则A.当时，存在着实数，使得//B.当时，存在着实数，使得C.当时，函数的最大值为D.当时，函数的最小值为11.已知圆,则下列说法正确的是A.圆的半径为B.圆截轴所得的弦长为C.圆上的点到直线的最小距离为D.圆与圆相离12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是A.与平面所成角为B.点到平面的距离为C.D.三棱柱的外接球半径为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则————.14.已知点为抛物线上一点，点到的焦点的距离为， 到轴的距离为，则————.15.已知函数无最大值，则实数的取值范围是————.16.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及：今有银一秤一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之.其意思是：现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、丙三人，甲、乙、丙三人每个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最多的那个人得银————两，得银最少的3个人一共得银————两.(规定：1秤=10斤，1斤=10两)（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列各项均为正数，，为等差数列，公差为2.（1）求数列的通项公式.（2）求.18.(12分)2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为．关注不关注合计青少年15中老年合计5050100（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层随机抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为，求的分布列及数学期望． 附：参考公式，其中．临界值表：19.（12分）如图，是边上的一点，的面积是面积的2倍，.（1）若，求的值.（2）若,求边的长.20.（12分）如图，在四棱锥中，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.（12分）定义在上的函数同时满足以下条件：①在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③在处的切线与直线垂直.（1）求函数的解析式；（2）设，求函数在上的最小值.22.（12分） 已知椭圆：的离心率，左右焦点分别是，在直线上有且只有一个点A满足.（1）求椭圆的标准方程.（2）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点满足，求四边形面积的取值范围. 参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CABDBCCA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ABDBDBCAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1214.15.16.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）解：（1），，为等差数列，公差为2……………………………………2分又因为，所以通项公式……………………………………4分（2）……………………………6分以上两式相减，得…………………8分……………………………9分∴…………………………………………10分18.（12分）解：（1）依题意可知抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人．……………………………………2分完成的列联表如：关注不关注合计青少年153045 中老年352055合计5050100……………………………………4分则，，，有的把握认为关注“一带一路”和年龄段有关．………………………………6分（2）根据题意知，选出关注的人数为3，不关注的人数为6，在这9人中再选取3人进行面对面询问，的取值可以为0，1，2，3，则，，，．……………………………10分所以的分布列为：0123．………………………………12分19.（12分）解：（1）因为的面积是面积的2倍，，所以,………………………………………2分所以,…………………………………………………………4分由正弦定理得.…………………………………………………6分（2）由题意得，所以，又，所以.………………………………………………9分 因为，所以，,…………………………10分由余弦定理得,所以.………………………………………………………………12分20.（12分）（1）证明：因为，，…………………………………………1分所以…………………………………………2分所以.…………………………………………3分又因为，，…………………………………………5分所以.…………………………………………6分（2）解：取的中点,连接.因为,所以.又因为,所以.因为.因为,所以.……………7分如图，建立空间直角坐标系.……………………………………8分由题意得,.…………………9分所以,设平面的一个法向量为，则，即，令，则.…………11分又,所以,所以，直线与平面所成角的正弦值为.……………………………12分21.（12分）解：（1）,由题意可列：，即，解得.…………………3分所以函数的解析式为.…………………4分 （2）因为，所以.令,解得.当时,;当时，.所以，函数在上单调递减,在上单调递增.………………6分①当时，在上，单调递增，；………………………………8分②当，即时，在上单调递减,在上单调递增，；………………………………10分③当，即时，在上，单调递减，.…………………11分综上,函数在上的最小值………………………………12分22.（12分）解：（1）因为直线上有且只有一个点满足所以直线与圆相切，则，所以………………………………………1分∵∴，∴所以椭圆C的方程为………………………………………3分（2）∵直线：与圆相切，，即，且.………………………………………4分设，， 由消去得,∴，∴…………………………………5分∵，∴，又在椭圆上∴，∴……………………………7分设的中点为，则到的距离为∴四边形的面积为………………………………8分…………………………10分令，∵，∴∴，∴四边形面积的取值范围为.………………………………………12分