江西省吉安市吉安县三中、泰和二中、安福二中、井大附中2021-2022学年高二上学期9月联考理科数学试题（附答案）

吉安市四校2021-2022学年上学期第一次月考高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中。只有一个是符合题目要求的.）1、截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是（    ）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台2、，为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则3、在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（   ）A.内心B.外心C.重心D.垂心4、在中，角,,所对的边分别为,,，且，则角的大小是（）A.B.C.D.5、数列中，，，且，则为（   ）A. 2                      B. 1                       C.                   D. 6、一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（   ）A.                                B. 8                                C.                              D. 127、在平面四边形中，，，将该四边形沿着对角线折叠，得到空间四边形，则异面直线，所成的角是（）A．B．C．D．8、若不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9、现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为（   ）A.                 B.                   C.                 D. 10、沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（  ）A.               B.              C.             D.11、已知正三棱锥的侧棱长为3，，分别为，的中点，，则为7 （  ）A. 3                      B.                     C.                D. 12、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，,分别是，的中点，，则球的体积为（  ）A.                 B.                  C.              D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.）13、若正数，满足，则的最小值为______.14、下左图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为______.14题15题15、如上右正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，,分别为,上的动点，则截面周长的最小值______.16、已知四棱锥的底面是矩形，⊥底面,点,分别是棱,的中点，则①棱与所在的直线垂直；②平面与平面垂直；③的面积大于的面积；④直线与直线是异面直线；以上结论正确的是______.（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（10分）如图，在长方体中，．（1）若该长方体被过顶点，，的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；（2）若该长方体的所有顶点都在球的球面上，求球的体积.7 18、（12分）在中角的对边分别为，已知，，且.（1）求角；（2）求的面积.19、（12分）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥.20、（12分）已知数列是等差数列，其前项和为，数列的前项和为，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．7 21、（12分）如图所示，在底面为梯形的四棱锥中，已知，，，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．22、（12分）如图，在正四棱锥中，点E、F分别在棱、上，且．（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点，使得//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．7 2021—2022学年上学期第一次月考数学试卷(理科)答案解析部分一、单选题1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】B5、【答案】C6、【答案】C7、【答案】D8、【答案】B9、【答案】B10、【答案】D11、【答案】C12、【答案】D二、解答题13、1614、15、16、①③三、解答题17、【解析】（1）.(4分)（2）设球的半径为,则,（7分）从而.（10分）18、【解析】（1）因为由正弦定理，（2分）又，所以即（4分）因为所以即，因为所以.（6分）（2）由（1）可知﹐所以，由余弦定理可得.（8分）因为所以解得，（10分）故的面积为.（12分）19、【解析】（1）设AC与BD交于点O，连接OE，∵底面ABCD是菱形，∴O为DB中点，又因为E是DD1的中点，∴OE∥D1B，（3分）∵（6分）7 （2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥AC，（8分）且DB∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDB1D1.，（10分）∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1。（12分）20、【解析】（1）当时，，解得，（1分）当时，，，，从而，（2分）是以为首项，以为公比的等比数列，；（3分），（4分）设等差数列的公差为，由得，解得，（5分）.（6分）（2），（7分）①（8分）①两边同时乘以得②（9分）①②得（11分）.（12分）21、【解析】（1）取AC中点O，连结OD，SO，∵SA＝SC，∴SO⊥AC，（1分）∵AD＝CD，∴OD⊥AC，（2分）又∵OS⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，OS∩OD＝O，∴AC⊥平面SOD，（3分）7 ∵SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD．（4分）（2）∵SA＝SC＝2，∠ASC＝60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC＝2，OS＝，（6分）∵AD＝CD＝，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，OD＝＝1．（8分）∵SD＝2，∴SO2+OD2＝SD2，∴SO⊥OD，又∵SO⊥AC，AC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，AC∩OD＝O，∴SO⊥平面ABCD，（10分）∴V棱锥B﹣SAD＝V棱锥S﹣ABD＝S△ABD•SO＝．（12分）22、【解析】（1）证明：如图，连接，记，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正方形，，则O为AC的中点，且，（1分）因为，所以，（2分）因为平面，面，且，所以平面，（3分）因为，所以，（4分）则平面PAC；（5分）（2）解：存在点满足时，平面．（6分）当点满足时，，连接ME，MF，记，连接MN，取PC的中点Q，连接OQ，因为Q为PC的中点，所以，所以，（7分）由（1）可知，所以，所以，（8分）所以，（9分）因为O，Q分別是AC，PC的中点，所以，（10分），（11分）又平面，平面，∴平面．（12分）7