河北省邯郸市2022届高三上学期开学摸底考试数学试题全解全析

邯郸市2022届高三年级摸底考试试卷数学全解全析【命题双向细目表】试题难度题型题号分值考查的主要知识预期得分率易中难选择题15√复数的概念、计算0.9选择题25√集合交集的定义0.8选择题35√三角函数二倍角计算0.8选择题45√柱体体积问题0.7选择题55√排列组合的应用0.7选择题65√平面向量的运算0.65选择题75√双曲线的实轴,涉及双曲线的渐近线以及离心率0.65选择题85√直线与平面所成角的计算0.65选择题95√正弦函数图象的对称性,单调性0.6选择题105√二项式展开式中的系数0.6求直线被圆截得的弦长、圆上的点到直线距离的选择题115√0.55最值选择题125√抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题0.45填空题135√导数几何意义的应用0.8填空题145√函数的周期性,对数和指数的运算0.7填空题155√数列的递推公式及周期数列0.65填空题165√圆柱体积公式和不规则几何体体积0.5解答题1710√等差等比数列的定义、通项公式、求和0.75解答题1812√求概率分布列,求数学期望0.75解答题1912√正弦定理、余弦定理应用0.65椭圆定义轨迹的方程;直线与曲线的方程联立,根解答题2012√0.6与系数的关系的应用解答题2112√线面垂直,已知几何体体积求二面角的平面角0.55函数的导数,判断其符号可得函数的单调区间;构解答题2212√0.55建新函数,利用导数求最值1.【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.222A由z=a+i-1-ai=a-1+1+ai为纯虚数,得到a-1=0,1+a≠0,解得a=1.【命题意图】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.-1- 2.【分析】根据交集和补集定义,即可求得答案.1D因为M=x>0=xx>1,所以RM=-∞,1,x-1因为N=xx+3>0,所以N=xx>-3=-3,+∞,所以(RM)∩N=-∞,1∩-3,+∞=-3,1.【命题意图】本题主要考查了集合运算,解题关键是掌握集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.23.B由sinπ-2α=-4,得cos2α=-4,则cos4α=2cos22α-1=2×-4-1=7.2555254.A由题意得池底面积S=4375=1250m2,则蓄水量至少为1250×1.8=2250(m3).3.5【命题意图】本题主要考查柱体体积公式.5.B把2,3,4捆绑在一起,作为一个元素排列,当1排在第一位时,有A3·A3种排法;当1排在第二位时,2,3,433=36作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位,故共有A3·C1·A2种排法.由分类加法计数原理得,322=24共有60种排法.【命题意图】本题考查排列组合的应用.排列组合中如果有元素相邻,则可用捆绑法,即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列,当然它们之间也要全排列,特殊元素可优先考虑.注意分类与分步结合,不重不漏.6.【分析】根据题意,对|a+2b|=2a-2b平方,结合|a|=3|b|,求出向量a,b的夹角的余弦值.B因为|a+2b|=2a-2b,所以a2+4a·b+4b2=4a2-4a·b+4b2,即20a·b=3a2+12b2,所以cos<a,b>=2223a+12b,因为|a|=3|b|,所以cos<a,b>=39b=13,所以a与b的夹角的余弦值为13.20×|a||b|20×3|b||b|2020【命题意图】本题考查了利用平面向量的数量积求向量的夹角问题,是中档题.7.【分析】利用点到直线的距离公式计算出|FP|=b,从而得到|OP|=a,再根据周长为12,得到a+b+c=12,最后结合离心率求得a=4,即可得出结果.22xybA因为双曲线2-2=1a>0,b>0的渐近线方程为y=±x,右焦点为Fc,0,abab不妨令点P位于第一象限,则PF的长度为点Fc,0到直线y=x的距离,a即PF=bc-0=b,所以OP=OF2-PF2=a,22a+b又△OPF的周长为12,所以得到a+b+c=12,因为该双曲线的离心率为5,即c=5,得9a+b=12,4a44又c2=a2+b2,即b2=9a2,解得a=4,即双曲线的实轴长为8.16【命题意图】本题主要考查求双曲线的实轴,涉及双曲线的渐近线以及离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于中档题.8.B设正方体的棱长为a,如图,取AD的中点G,连接EG,过G作GH∥DD1,与A1D1交于点22126H,则点F∈GH,当EF长度最大时,点F与点H重合,EG=a,EH=a+a=a,2222a23得cos∠HEG==.63a29.【分析】先利用图象变换规律求出函数fx,再结合正弦函数的图象和性质进行分析,得出结论.BD将函数y=3sinx-2图象上的各点的横坐标缩短到原来的1,纵坐标不变,可得到函数y=3sin2x-2的图2ππ象,再向左平移个单位,可得到函数f(x)=3sin2x+-2的图象,84对于选项A,令x=π,求得f(x)=32-2,故A不正确;42ππππ对于选项B,f(x)=3sin2x+-2=3cos2x+--2=3cos2x--2=g(x),即函数f(x)的图象与4424-2- 函数g(x)的图象相同,故B正确;对于选项C,若x∈0,π,则2x+π∈π,π,故f(x)=3sin2x+π-2在0,π上单调递增,故C不正确;844248ππππ对于选项D,当x=时,f(x)=3sin2×+-2=1,取得最大值,故直线x=是函数f(x)图象的一条对称8848轴,故D正确.【命题意图】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象变换规律,考查正弦函数的图象和性质的应用,属于基础题.10.【分析】先根据二项式系数之和求出n的值,再令x=1可求系数和,根据展开式的总项数可得二项式系数最大项,利用展开式的通项公式求第5项.n3的二项式系数之和为2nABD由5x-x=64,得n=6,得2,6,10成等差数列,A正确;6633令x=1,5x-6的各项系数之和为64,B正确;x=2=64,则5x-x635x-的展开式共有7项,则二项式系数最大的项是第4项,C不正确;x643的展开式中的第5项为C4(5x)235x-6-=15×25×81为常数项,D正确.xx【命题意图】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质,属于中档题.11.BD将直线l的方程整理为m(2x+y-3)+(-x-y+1)=0,-x-y+1=0,x=2,由解得则无论m为何值,直线l恒过定点(2,-1),故A不正确;2x+y-3=0,y=-1.令x=0,则(y-1)2=15,解得y=1±15,故圆C被y轴截得的弦长为215,故B正确;无论m为何值,直线l不过圆心(1,1),即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值,故C错误;当截得的弦长最短时,此时直线l垂直于圆心与定点的连线,则直线l的斜率为1,此时直线l的方程为y+1=1(x-2),即x-2y-4=0,故D正确.22y=k(x-1)12.ABC设Ax1,y1,Bx2,y2,联立直线与抛物线,得k2x2-2y=4x22k2+4x+k2=0,所以x1+x2=2k+4,x1x2=1,所以1+1=2FAFBk11x1+x2+2+==1,故AB=FA·FB,A正确;x1+1x2+1x1x2+x1+x2+1若k=2,则x1+x2=10,AB=x1+x2+2=12,故FA·FB=AB=212,B正确;由题意及抛物线定义得AA1=AF,BB1=BF,因为AA1·BB1=12,所以FA·FB=12,则AB=x1+x2+2=12,得x1+x2=22k+4=10,则k=±2,由k>0,得k=2,C正确;222k180°-∠B1BF180°-∠A1AF因为∠BB1F=∠B1FB,∠AA1F=∠A1FA,所以∠B1FB+∠A1FA=+=90°,所以22∠A1FB1=90°,故D不正确.2213.【分析】先对y=x+alnx求导,然后求出曲线y=x+alnx在点1,1处切线的斜率k=y'x=1,再根据条件得到关于a的方程,进一步求出a的值.【解析】由y=x2+alnx,得y'=2x+a,则曲线y=x2+alnx在点1,1处切线的斜率k=y'x=1=2+a,因为曲x13线在点1,1处的切线与直线x-2y+2=0平行,所以=2+a,所以a=-.223答案:-2【命题意图】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程和直线的位置关系,考查了方程思想,属于基础题.-3- 14.【分析】根据函数f(x)满足:f(x+2)=-1,求出函数的周期,利用x∈(0,2]时,f(x)=2x即可得到结果.f(x)【解析】函数f(x)满足:f(x+2)=-1,可得:f(x+4)=-1=fx,所以函数的周期T=4,所以f(x)fx+2111=-1,flog3=f(loglog43+12log23log232f0=-443-3)=f(log43+1)=2=2×2=2×2=23.f24641答案:-234【命题意图】本题考查了函数周期性的应用,对数和指数的运算,属于中档题.15.【分析】根据递推公式求出数列前6项,观察可得数列an是以3为周期的数列,则S2022=674a1+a2+a3,代入相应值计算即可.【解析】根据题意,2an+1=4+anan+1,a3=1,得2a3=4+a2a3,即2=4+a2,得a2=-2,又2a2=4+a1a2,得a1=4,类似地,可得a4=4,a5=-2,a6=1,…,可知数列an是以3为周期的数列,所以S2022=a1+a2+a3+(a4+a5+a6)+…+(a2020+a2021+a2022)=674a1+a2+a3=3×674=2022.答案:2022【命题意图】本题考查数列的递推公式、数列的周期性的应用,属于中档题.16.【分析】过最短母线的端点向最长母线作垂线AB,利用勾股定理计算最长母线的长度,将两个相同的该几何体拼成一个圆柱体计算体积.【解析】若截面椭圆的长轴长为10cm,离心率为3,得焦距为2c=10×3=6(cm),短轴长2b=55221062-=8(cm),即原圆柱的直径为8cm,过最短母线的端点向最长母线作垂线AB,22设最长母线的顶端为C,连接AC,则AB=8cm,AC=10cm,所以BC=AC2222-AB=10-8=6(cm),故两个相同的该几何体可以拼接成一个底面直径为8cm,高为14cm的圆柱.所以所求几何体的体积V=1×π×42×14=112π(cm3).2答案:112π【命题意图】本题考查圆柱体积公式和不规则几何体体积的求解,把所求的不规则几何体通过拼接方式转化为半个新圆柱的体积是求解本题的关键,属于难题.17.【分析】(1)由递推公式及等差数列定义求解即可;(2)由(1)求出an的通项公式,代入bn=2an+2-2n,即可求出bn的通项公式及前n项和Sn.【解析】(1)an+1-2n+1-an-2n=an+1-an-2n=2(与n无关),……………………………………………3分故数列annn-2为等差数列,且公差d=2.可知,an-2=a1-2+n-1d=2n-2;……………………5分(2)由(1)得an=2n+2n-2,…………………………………………………………………………………………7分所以bn=2an+2-2n=2n+1,……………………………………………………………………………………8分nn所以{b}为首项是4,公比q=2的等比数列,则Sb11-q41-2n+2nn===2-4.……………………10分1-q1-2【命题意图】本题考查递推公式求通项,以及等差数列的证明,属于基础题.2的观测值k,结合参考数据即可判断;18.【分析】(1)根据题意,结合已知数据,即可补充列联表;再计算K(2)利用分层抽样等比例抽取的性质,求得抽取的9人中男生和女生的人数,再求分布列和数学期望即可.【解析】(1)体育不合格体育合格合计男10060160女11030140合计21090300…………………………………………………………………………………………………………………………2分2K2的观测值k=300×(100×30-110×60)≈9.2<10.828,210×90×140×160所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关;…………………………………4分-4- (2)易知,所抽取的9名学生中,男生为9×60=6名,女生为3名.90312X可取0,1,2,3,且P(X=0)=C3=1,P(X=1)=C6C3=3,…………………………………………………6分384314C9C9213P(X=2)=C6C3=15,P(X=3)=C6=5.………………………………………………………………………8分328321C9C9所以X的分布列为:X012313155P84142821…………………………………………………………………………………………………………………………10分13155所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.………………………………………………………………12分84142821【命题意图】本题考查列联表的补全、K2的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望,属于中档题.19.【分析】(1)由条件结合余弦定理,利用基本不等式可得ac的最大值,从而得出△ABC的面积的最大值.(2)由正弦定理将条件转化为sinCsinπ-A=2sinAsinC,再化简可得2sinπ-A=sinA,由二倍角公式可得2222cosA=2sinA·cosA,从而得出角A,进一步求出边a,c,得出答案.222【解析】(1)因为B=60°,所以cosB=1,sinB=3,由余弦定理知:b2=a2+c2-2accosB,22即100=a22+c-ac≥2ac-ac,即ac≤100,…………………………………………………………………………3分113当且仅当a=c时取等号.所以△ABC的面积S=acsinB≤×100×=253,所以△ABC的面积的最大值222为253;………………………………………………………………………………………………………………5分(2)由正弦定理得sinC·sinπ-A=2sinA·sinC,22因为sinC≠0,所以2sinπ-A=sinA.即2cosA=2sinA·cosA,…………………………………………7分2222因为cosA≠0,故sinA=2,由于0<A<π,所以A=90°,……………………………………………………9分222因为sinB=3=b,所以a=203,所以c=a·cosB=103,………………………………………………11分2a33203103所以周长为a+b+c=+10+=10+103.……………………………………………………………12分3320.【分析】(1)根据题意椭圆过点3,1,结合2c=23,求出a,b即可得结果;(2)联立直线与椭圆的方程,结合根与2系数的关系及中点坐标公式化简,进而用k表示出中点M的坐标,进而表示出AB的中垂线方程即可得结果.【解析】(1)椭圆过点3,1,即3+1=1,……………………………………………………………………2分222a4b2又2c=23,得a2=b2+3,所以a2=4,b2=1,即椭圆方程为x+y2=1;…………………………………………4分42x2+y=1(2)由4,得1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0,…………………………………………………………6分y=kx+m设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km,设AB的中点M为x0,y0,得x0=-4km=1,2221+4k1+4k即1+4k2=-8km,211+4k1所以y0=kx0+m=k-=-.…………………………………………………………………………8分28k8k-5- 所以AB的中垂线方程为y+1=-1x-1,即y=-1x-3,故AB的中垂线恒过点N3,0.8kk2k88…………………………………………………………………………………………………………………………12分【命题意图】本题主要考查了椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线相交、根与系数关系的应用以及直线过定点问题,属于中档题.21.【分析】(1)由三棱锥P-ABE的体积,得BC=1,AE=BE=2,可得AE⊥BE,利用平面PEB⊥平面ABED,可得AE⊥平面PEB,则AE⊥PB,由折叠知PB⊥PE,进而得证;(2)以BE的中点O为坐标原点,以OP的方向为z轴正方向,过点O分别作AB和AD的平行线,分别为x轴和y轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面ADP的法向量和平面ABP的法向量,进而利用数量积求解即可.【解析】(1)由CB=CE,设BE的中点为O,连接PO,则PO⊥BE,又二面角P-EB-C为2直二面角,故PO⊥平面ABCD,设BC=a,则PO=a,又AB=2,得三棱锥P-ABE的2体积V=1PO×1AB·BC=2,即1×2a×1×2×a=2,得BC=a=1,3263226……………………………………………………………………………………3分于是由AE=BE=2,所以AB2=AE2+BE2,所以AE⊥BE,又平面PEB⊥平面ABED,得AE⊥平面PEB,则AE⊥PB,又PB⊥PE,且AE∩PE=E,所以PB⊥平面PEA,由PB⊂平面PAB,故平面PAB⊥平面PAE;…5分(2)以BE的中点O为坐标原点,以OP的方向为z轴正方向,过点O分别作AB和AD的平行线,分别为x轴和y轴,建立如图所示空间直角坐标系,则313111→A,,0,D,-,0,B-,,0,P0,0,2,AD=(0,-1,0),2222222→→AP=-3,-1,2,AB=(-2,0,0),……………………………………7分222→n·AD=0设n=x1,y1,z1为平面ADP的法向量,则有→,n·AP=0-y1=0,即312可取n=2,0,1,………………………………………………………………9分-x1-y1+z1=0,3222→-2x2=0m·AB=0设m=x2,y2,z2为平面ABP的法向量,则有→,即312,可取m=0,2,2,m·AP=0-2x2-2y2+2z2=0…………………………………………………………………………………………………………………………11分所以cos<n,m>=n·m=33,由图形知二面角B-PA-D为钝角,其余弦值为-33.…………………12分nm1111【命题意图】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力.22.【分析】(1)求出导函数f'(x),令g(x)=f'(x),再求导,求得g(x)的最小值可证;(2)先证对任意x∈[0,+∞),ex≥x2+1,然后利用不等式的性质证明a>1时,不等式成立.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2ex-x2,f'(x)=2ex-2x,设g(x)=f'(x)=2exx-2x,则g'(x)=2e-2,令g'(x)=0,得x=0,……………………………………………2分所以g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=2-0=2,即f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,所以函数f(x)为增函数;…………………4分(2)先证对任意x∈[0,+∞),ex≥x2+1.令p(x)=ex2xx-x-1,p'(x)=e-2x=m(x),m'(x)=e-2.……………………………………………………6分令m'(x)=0,得x=ln2,所以m(x)在区间(-∞,ln2)上单调递减,在区间(ln2,+∞)上单调递增,所以m(x)≥m(ln2)>0,……………………………………………………………………………………………8分所以p'(x)>0,所以p(x)在[0,+∞)上单调递增,所以p(x)≥p(0)=0,所以ex2≥x+1,x∈[0,+∞).…10分当a>1时,f(x)-cosx=aex2x222-x-cosx>e-x-cosx≥x+1-x-cosx=1-cosx≥0,即f(x)>cosx对于任意的x∈[0,+∞)恒成立.………………………………………………………………12分-6-