江西省莲塘一中、临川二中2021届高三1月联考理科数学试题 Word版含答案
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____________________________________________________________________________________________莲塘一中临川二中2021届高三上学期联考理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.已知,,则的元素个数为()A.1B.2C.3D.42.已知平面,直线,满足,且互为异面直线,则“且”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知偶函数在上单调递减,且,则不等式的解集为()A.B.C.D.4.如图所示是一个正方体的表面展开图,,,均为棱的中点,是顶点,则在正方体中异面直线和所成角的余弦值为()A.B.C.D.5.已知1,a,x,b,16这五个实数成等比数列,则x的值为()A.4B.-4C.±4D.不确定6.已知正方体中,,分别是它们所在线段的中点,则满足平面的图形个数为()A.0B.1C.2D.37.若,,则()A.或0B.C.D.0
____________________________________________________________________________________________8.定义:,用表示不超过的最大整数,则称为取整函数,例如:,,已知函数,则的值域是()A.B.C.D.9.已知直三棱柱的底面是正三角形,,是侧面的中心,球与该三棱柱的所有面均相切,则直线被球截得的弦长为()A.B.C.D.10.已知函数,若的零点都在区间内,当取最小值时,则等于()A.3B.4C.5D.611.在凸四边形中,,且为等边三角形,若点在四边形上运动,则的最小值是()A.B.C.D.12.已知函数,现将函数的图像向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图像。当时,记方程的根从小到大依次为,,,则等于( ).A.B.C.D.二.填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.)13.复数的共轭复数为,则的虚部为.14.如右图,在等腰直角三角形中,斜边.过点作的垂线,垂足为,过点作的垂线,垂足为;过点作
____________________________________________________________________________________________的垂线,垂足为;…,以此类推,设,,,…,,则_______.15.若实数,满足不等式组,且使取得最大值的最优解有无穷多个,则实数的值为__________.16.如上图,水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽,水面高度恰为正方体棱长的一半,在该正方体侧面上有一个小孔,小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米,现将该正方体水槽绕倾斜(始终在桌面上),则当水恰好流出时,则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为_______平方米.三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知.(1)求不等式的解集;(2)记集合,若,求实数的取值范围.18.已知等差数列及各项为正的等比数列,记数列的前项和为,满足,,__________.在①;②这两个条件中任选其中一个,补充在横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件解答,则以选择第一个解答记分).(1)求数列和的通项公式;(2)若,求数列的前项和.19.已知函数.(1)当时,求出函数的最大值,并写出对应的的集合;(2)在中,角、、的对边分别为、、,若,,求的最小值.
____________________________________________________________________________________________20.如图,在四棱锥中,面ABCD,,且,,,,,N为PD的中点(1)求证:平面PBC.(2)若点M为线段PD上三等份点且靠近点P,求直线CM与平面PBC所成角的余弦值.21.设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若且方程,在上有两个不相等的实数根,,求证:.22.已知函数(其中e为自然对数的底数).(1)若对任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围;(2)设n∈N*,证明:.莲塘一中临川二中2021届高三上学期联考理科数学答案1~12CCABABDCDCBB13.14.15.216.8.【详解】函数的值域是.9.【详解】因为球与直三棱柱的所有面均相切,且直三棱柱的底面是正三角形,所以球心为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点,如图所示,设底面三角形的重心为,连接,则底面,连接,易知点在上,连接、,因为是侧面的中心,所以四边形为正方形,设球的半径为,则由,可得,易得
____________________________________________________________________________________________,连接,可得,∴,故所求弦长为,10.【详解】依题意,当时,根据等比数列求和公式,有,故函数在上为增函数.,故函数零点在区间内,所以零点在内,即:11.【详解】如图所示,四边形关于直线对称,故点在四边形上运动时,只需考虑点在边上的运动情况即可,易知,则,①当点在边上运动时,设,则,∴,当时,的最小值为;②当点在边上运动时,设,则,∴,当时,的最小值为;综上,的最小值为;12.【详解】由方程,即,即,因为,可得,设,其中,即,结合正弦函数的图象,可得方程在区间有5个解,即,其中,即解得
____________________________________________________________________________________________所以.16.【详解】投影为:正方形和正方形在桌面上的投影,先考虑平面和平面分别与桌面所成角,所以投影面积为17.【详解】(1)依题意,;当时,,则,故;当时,,则,无解;当时,,则,故;故或;…………………………5分(2),可知,即的值域为,因为,所以,故实数的取值范围为…………………………5分18.【详解】(1)选①解:设等差数列的公差为,因为,,所以,解得,,故,由题意可知,,,当时,,解得,,当时,,即,则是一个首项为、公比为的等比数列,,…………………5分选②解:设等差数列的公差为,因为,,所以,解得,,故,,设等比数列的公比为,因为,所以,
____________________________________________________________________________________________因为,,所以,解得或(舍去),故,………………………5分(2)①②①-②得:故.…………………………7分19.【详解】(1),,所以,,当或时,即当时,函数取最大值;…………………………5分(2)由题意,化简得,,,,解得.在中,根据余弦定理,得.由,知,即.当时,取最小值为.…………………………7分20.【详解】(1)证明:过作,垂足为,则,如图,以为坐标原点,分別以,,为轴建立空间直角坐标系,则,,, ,,,为的中点,,则,设平面的一个法向量为,,
____________________________________________________________________________________________,则,令,解得:.,即,又平面,所以平面.…………………………4分(2)由题意知.则又平面的一个法向量,所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值为:,即:直线CM与平面PBC所成角的余弦值为:……………………8分21.【详解】(1)当时,恒成立,在上单调递增当时,令得,令得在上单调递增,在上单调递减综上:当时,在上单调递增当时,在上单调递增,在上单调递减.………………4分(2)方程即在上有两个不等实根和不妨设则①②①-②得欲证只需证因为,所以,则即需证:
____________________________________________________________________________________________整理得:,即证令,,显然在上单增.所以,故原命题得证.…………………………8分22.【详解】(1)若对任意,不等式恒成立,即:恒成立当时,恒成立.令g(x)=-1,则g′(x)=.令g′(x)>0,,g′(x)<0,,0<x<1,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增.∴x=1时,g(x)取最小值e-1.所以.当时,若,恒成立;若,取,则显然不成立,所以综上,…………………………6分(2)证明:在(1)中,令可知对任意实数x都有,当时,取”=”两边同量取对数得:,当时,取”=”故:(当时,取”=”),所以:则:即:………………………6分
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