湖北省荆门市龙泉中学2020届高三高考适应性考试(一)理科数学试题 Word版含答案
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龙泉中学2020届高考适应性考试(一)理科数学试题本试卷共2页,共23题(含选考题)满分150分,考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答:用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡上交.一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合,则()A.B.C.D.3.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.1B.2C.3D.44.函数在的图像大致为()A.B.C.D.5.已知,则()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b6.设点不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设奇函数在(0,+∞)上为增函数,且=0.则不等式的解集是()A.(-1,0)(1,+∞)B.(-1,0)(0,1)C.(-∞,-1)(1,+∞)D.(-∞,-1)(0,1)8.圆周率π是数学中一个非常重要的数,历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N人,让每人随机写出一对小于1的正实数a、b,再统计出a、b、1能构造锐角三角形的人数M,利用所学的有关知识,则可估计出π的值是()A.B.C.D.9.函数的零点个数是()A.0B.1C.2D.与a有关10.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为()A.72B.84C.96D.12011.已知数列满足,记表示不超过的最大整数,则的值为()A.2019B.2020C.4037D.403912.在菱形中,,分别是边的中点,现将沿着对角线翻折,则直线与平面所成角的正切值最大值为()A.B.C.D.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线在点处的切线方程为_______.14.已知,则__________.15.已知是双曲线的左、右焦点,关于双曲线的一条渐近线的对称点为,且点在抛物线上,则双曲线的离心率为______.16.设是定义在R上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当时,,,其中.若在区间上,关于x的方程有8个不同的实数根,则k的取值范围是___________三.解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(本小题满分12分)已知正项等比数列满足,,数列的前项和为,(Ⅰ)求与的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.第5页共5页
18.(本小题满分12分)如图所示,已知四边形是菱形,平面平面,,.(I)求证:平面平面.(II)若,求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)某企业生产一种液体化工产品,其年产量受气温影响,该液体化工产品中含有制造高精端仪器所需的稀有金属,且提取该稀有金属后,不影响液体化工产品的销售和用途.根据以往市场经验,制造的该液体化工产品和提取的稀有金属都能完全销售.在此之前,该企业无稀有金属提取设备,经企业研究决定安装,但由于条件限制,最多能安装6台.根据最近20年统计的生产资料数据,每年至少生产该液体化工产品40吨,且得到液体化工产品年产量X的数据如下表:液体化工产品年产量X(吨)年数31862(I)对于液体化工产品,如果年产量不低于100吨,则称该年度为“优质年”,每位职工发放一等年终奖金;如果年产量不足100吨,则称该年度为“均衡年”,每位职工发放二等年终奖金.其中一名工人在统计的20年中有5年在该企业工作,问该工人恰有三年得到一等年终奖金的概率是多少?(最后结果保留分数形式)(II)若液体化工产品年产量相互独立,且把液体化工产品年产量X在相应段的频率作为概率.(i)试求未来3年中,至少有一年液体化工产品年产量不低于100吨的概率;(最后结果保留分数形式)(ii)企业希望安装的稀有金属提取设备尽可能多地运行,但每年稀有金属提取设备运行的台数受液体化工产品年产量X的限制,并有如下关系:液体化工产品年产量X(吨)提取设备最多可运行台数3456对于每台提取设备,若正常运行,则可获年利润约50万元,否则年亏损10万元.问应安装多少台稀有金属提取设备,可使该企业在稀有金属提取项目中获得最大总利润?并说明理由.20.(本小题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为轴,直线交y轴于点,为椭圆上的动点,面积的最大值为1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点作两条直线与椭圆分别交于,且使轴,问:四边形的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若在上存在单调递增区间,求实数的取值范围;(Ⅱ)设,若,恒有成立,求的最小值.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)若射线与和分别交于点,求.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知.(Ⅰ)求不等式的解集;(Ⅱ)若的最小值为,且,求证:.第5页共5页
龙泉中学2020届高考适应性考试(一)理科数学参考答案一.选择题答案题号123456789101112答案CDBDBCBBABDD二.填空题13.;14.;15.;16..三.解答题17.(Ⅰ)由题意,设正项等比数列的公比为,由题意知,,则,解得或(舍去),则;…………(3分)当时,,…………………(5分)当时,,所以.…………………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当为奇数时,,当为偶数时,,则……(12分)18.(1)证明:菱形中,,又平面平面,平面平面,平面.又平面,平面平面.………………………………………………………………………………(4分)(2)设与交于点O,连接,因为,且,四边形是平行四边形,.,,又平面平面,平面平面,平面,平面.以O为坐标原点,以,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直………………(6分)角坐标系,如图所示.则,,,,,.设平面的法向量为,则,即,令,则,.………………(8分)又平面的法向量为.………(9分)设二面角的大小为,则为锐角.,……………………………(11分)二面角的余弦值为.……………………………………………………(12分)19.(1).………………………………………………………………………(2分)(2)(i),所以,所以年产量不低于100吨的概率为,低于100吨的概率为,记未来3年中该液体化工产品年产量不低于100吨的年数为Y,则,所以在未来3年中至少有一年年产量不低于100吨的概率.(5分)(ii)记该企业在稀有金属提取项目中所得总利润为(单位:万元).由题得,要使获得利润尽量大,应至少安装3台提取设备,①若安装3台提取设备,则在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.……(6分)②由题知,液体化工产品年产量的概率为,此时可运行3台设备,年产量的概率为,此时可运行4台.若安装4台提取设备,则3台运行,1台不运行的概率为,4台运行的概率为,所以离散型随机变量的分布列为(单位:万元)140200P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.………………(8分)③若安装5台提取设备,同理可得离散型随机变量的分布列为(单位:万元)130190250P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.……(10分)④若安装6台提取设备,同理可得离散型随机变量的分布列为(单位:万元)120180240300P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.第5页共5页
综上,当安装5台提取设备时,稀有金属提取项目所获总利润为205万元,大于其他情况,所以安装5台稀有金属提取设备能获得该项目的最大总利润.……………………………………………(12分)20.(1)∵轴,∴,∴∵是的中位线,且,∴,即,整理得①又由题知,当在椭圆的上顶点时,的面积最大,∴,整理得,∴②联立①②可得,变形得,解得,∴.∴椭圆的方程式为.…………(4分)(2)设,则由对称性可知,设直线与x轴交于点,则直线的方程为,联立,消去x得,∴,………………………………………(6分)由三点共线知,即,将代入整理得,∴∴,化简得,解得,………………(9分)∴直线的方程为,故直线过定点.………………(10分)同理可得过定点,∴直线与的交点是定点,定点坐标为.………………………(12分)21.(1)由,得,由在上存在单调递增区间,可得在上有解,即在上有解,则,∴,∴的取值范围为.…………………………………………………(4分)(2)设,,则.设,则,∴单调递增,即在上单调递增∴.…………(6分)当时,,在上单调递增,∴,不符合题意;当时,,在上单调递减,,符合题意;当时,由于为一个单调递增的函数,而,,则必存在一个零点,使得,从而在上单调递减,在上单调递增,因此只需,∴,∴,从而,综上,的取值范围为,………………………………………………(10分)因此.设,则,令,则,∴在上单调递减,在上单调递增,从而,∴的最小值为.………………………(12分)22.(1)由可得,由,消去参数,可得直线的普通方程为.(范围掉了扣一分)…(3分)由可得,将,代入上式,可得,所以曲线的直角坐标方程为.………………………………………(5分)(2)由(1)得,的普通方程为,将其化为极坐标方程可得,当时,,,所以.…………(10分)23.(1)当时,等价于,该不等式恒成立;当时,等价于,该不等式不成立;当时,等价于,解得,所以不等式的解集为.…………………………………………(5分)(2)因为,当时取等号,所以,,第5页共5页
由柯西不等式可得,当且仅当时等号成立,所以.………………………………(10分)第5页共5页
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