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北京市朝阳区2021届高三下学期3月质量检测(一)(一模)数学试题 Word版含答案
北京市朝阳区2021届高三下学期3月质量检测(一)(一模)数学试题 Word版含答案
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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2021.3(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则()A.B.C.D.2.如果复数的实部与虚部相等,那么()A.B.1C.2D.43.已知等差数列的前n项和为,,则()A.0B.C.D.4.已知圆截直线所得弦的长度为,则实数()A.B.C.D.5.已知双曲线的离心率为2,则双曲线C的渐近线方程为() A.B.C.D.6.在中,若,则()A.B.C.D.7.某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥最长的棱长为()A.2B.C.D.8.在中,“”是“为钝角三角形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知抛物线的焦点为F,准线为l,点P是直线l上的动点.若点A在抛物线C上,且,则(O为坐标原点)的最小值为()A.8B.C.D.610.在棱长为1的正方体中,P是线段上的点,过的平面与直线垂直当P在线段上运动时,平面截正方体所得的截面面积的最小值是()A.1B.C.D. 第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.在的展开式中,的系数为_______.(用数字作答)12.已知函数则________;的值域为_______.13.已知向量,且,则向量的坐标可以是_______.(写出一个即可)14.李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单位:万元)符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多,则广告费用x应投入_______万元.15.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义,由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中,函数的周期点是一个关键概念,定义如下:设是定义在R上的函数,对于,令,若存在正整数k使得,且当时,,则称是的一个周期为k的周期点.给出下列四个结论:①若,则存在唯一一个周期为1的周期点;②若,则存在周期为2的周期点;③若则不存在周期为3的周期点;④若,则对任意正整数n,都不是的周期为n的周期点.其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(本小题13分)已知函数由下列四个条件中的三个来确定:①最小正周期为;②最大值为2;③;④.(Ⅰ)写出能确定的三个条件,并求的解析式;(Ⅱ)求的单调递增区间.17.(本小题13分)如图,在四棱锥中,O是边的中点,底面.在底面中,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(本小题14分)我国脱贫攻坚战取得全面胜利,现行标准下农村贫困人口全部脱贫,消除了绝对贫困.为了解脱贫家庭人均年纯收入情况,某扶贫工作组对A,B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样,共抽取500户家庭作为样本,获得数据如下表:A地区B地区2019年人均年纯收入超过10000元100户150户 2019年人均年纯收入未超过l0000元200户50户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.(Ⅰ)从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户,估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率;(Ⅱ)在样本中,分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户,记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户,发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元.根据这个结果,能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化?请说明理由.19.(本小题15分)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为,离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程及焦点的坐标;(Ⅱ)若点M为椭圆C上异于A,B的任意一点,过原点且与直线平行的直线与直线交于点P,直线与直线交于点Q,试判断以线段为直径的圈是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.20.(本小题15分)已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若直线与曲线相切,求证:.21.(本小题15分)设数列,若存在公比为q的等比数列:,使得,其中,则称数列为数列的“等比分割数列”. (Ⅰ)写出数列:3,6,12,24的一个“等比分割数列”;(Ⅱ)若数列的通项公式为,其“等比分割数列”的首项为1,求数列的公比q的取值范围;(Ⅲ)若数列的通项公式为,且数列存在“等比分割数列”,求m的最大值.北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学参考答案2021.3一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)(1)B(2)A(3)A(4)D(5)A(6)D(7)C(8)C(9)B(10)C二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11)(12)1;(13)(答案不唯一)(14)(15)①④三、解答题(共6小题,共85分)(16)(共13分)解:(Ⅰ)确定的三个条件是①,②,③.当且时,.若函数满足条件④,则,与矛盾,所以不能满足条件④.所以能确定的三个条件是①,②,③.由条件①,得,又,所以.由条件②,得,又,所以. 由条件③,得,又,所以.所以.经验证,符合题意.7分(Ⅱ)函数的单调递增区间为().由(),得().所以的单调递增区间为().13分(17)(共13分)解:(Ⅰ)在四边形中,因为,是的中点,则,.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面,平面,所以平面.5分(Ⅱ)连结.因为平面,所以.又因为点是的中点,且,所以.因为,所以四边形是正方形.所以.如图,建立空间直角坐标系,则,.所以.设是平面的一个法向量, 则即令,则.因为平面,所以是平面的一个法向量.所以.由图可知,二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.13分 (18)(共14分)解:(Ⅰ)设事件:从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户,该家庭2019年人均年纯收入超过10000元.从表格数据可知,A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户,因此可以估计为.3分(Ⅱ)设事件:从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户,该家庭2019年人均年纯收入超过10000元,则.设事件:从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户,该家庭2019年人均年纯收入超过10000元,则.由题可知的可能取值为0,1,2.;;.所以的分布列为所以的数学期望.10分(Ⅲ)设事件为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户,这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”.假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化,则由2019年的样本数据得.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下: 事件是随机事件,比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.14分(19)(共15分)解:(Ⅰ)由题意可设椭圆的方程为,则解得,.所以椭圆的方程为,焦点坐标为和.5分(Ⅱ)方法1:设点的坐标为(),则.过原点且与直线平行的直线方程为.令,得.直线的方程为,令,得.假设以线段为直径的圆过定点,由椭圆的对称性可设定点为.则.因为,所以.因为,所以.则或. 所以以线段为直径的圆过定点,且定点坐标为和.…………………….15分方法2:设点的坐标为(),则.过原点且与直线平行的直线方程为.令,得.直线的方程为,令,得.所以以为直径的圆的半径为.圆心的横坐标为.所以以线段为直径的圆的方程为.因为,所以.以线段为直径的圆过定点等价于对任意的点,方程恒成立.所以解得或所以以线段为直径的圆过定点,且定点坐标为和.…………………….15分(20)(共15分)解:(Ⅰ).令,得.当时,,在上单调递减; 当时,和在上的变化情况如下:极小值当时,和在上的变化情况如下:极大值综上,当时,在上单调递减,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.…………………….6分(Ⅱ)由题得.设直线与曲线相切于点,则由①-②得,即.若,则,,直线与曲线不相切,不符合题意,所以.所以.③令,则,所以单调递增.因为,,所以存在唯一使得.将③代入①得. 所以.易知在内单调递减,且,所以在内单调递增.因为,所以,所以.15分(21)(共15分)解:(Ⅰ).(答案不唯一)3分(Ⅱ)由,得,所以.令,则单调递减.所以()的最小值为.所以,即公比的取值范围是.8分(III)首先证明当时,数列不存在“等比分割数列”.假设当时,数列存在“等比分割数列”,则.易知.因为,且,所以.因为,所以.又因为,所以,与矛盾.所以当时,数列不存在“等比分割数列”.所以.当时,数列,存在首项为公比为的数列满足: .所以时,数列存在“等比分割数列”.所以的最大值为5.15分
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高中 - 数学
发布时间:2021-10-08 18:04:56
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