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安徽省2019-2020学年高一下学期春季联赛数学(理)试题 Word版含解析

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安徽省2020年春季联赛(高一)数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第2页,第II卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第II卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别化简集合,再求.【详解】或,,则.故选:B.【点睛】本题考查了对集合描述法的理解与化简,函数定义域的求法,集合的交集运算,属于基础题.-20- 2.已知,,且,则的最小值为()A.8B.9C.12D.6【答案】B【解析】【分析】由,则,化简用均值不等式求最值.【详解】由题意可得,则,当且仅当,时等号成立,故的最小值为9.故选:B.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时,注意“一正、二定、三相等,”,应用了“1”的变形,属于基础题.3.定义在上的函数同时满足:①对任意的都有;②当时,.若函数恰有3个零点,则的最大值是().A.5B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据时,,画出图象,再由函数周期,画出函数在的图象,由函数恰有3个零点,则与有3个交点,数形结合,列出式子,求得的最大值.【详解】画出函数,的图象,如下图所示.-20- 由题意,要使两函数的图象有三个交点,则需满足,解得,所以实数最大值为3.故选:C.【点睛】本题考查了函数周期性的应用,已知函数零点的个数求参数值,考查了数形结合思想,转化思想,属于中档题.4.已知向量,,若与的夹角为钝角,则的取值范围是().A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知,且不共线,列式即可解出.【详解】依题可得,且不共线,即,解得且.故选:A.【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用,数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示,属于基础题.5.已知各项均为正数的等比数列的前3项和为7,且,则().A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】【分析】由条件列式求首项和公比,再求.-20- 【详解】设的公比为,由得,得,因为数列的各项均为正数,所以,又,所以,所以.故选:C【点睛】本题考查等比数列基本量求法,重点考查计算能力,属于基础题型.6.若,则().A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式可得,再根据二倍角的余弦公式即可求出.【详解】.故选:C.【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于基础题.7.已知锐角的内角,,的对边分别为,,,,,则的周长取最大值时面积为()A.B.C.D.4【答案】C【解析】-20- 【分析】由条件结合正弦定理可得,从而可得出,由正弦定理可得的周长为,则可得出答案.【详解】∵,∴,由,则,∴.∵为锐角三角形,∴.由正弦定理,得,∴,,∴的周长为,∴当,即为等边三角形时,周长取得最大值,此时面积为,故选:C.【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角的互化,求三角形的周长的最值,属于中档题.8.已知为的重心,为边上的中线,令,,过点的直线分别交,于,两点,且,,则()A.3B.4C.5D.【答案】A【解析】【分析】由为的重心可得,,结合已知可用表示,然后由共线可求.-20- 【详解】解:由为的重心可得,,∵,,,∵共线,,则,故选:A.【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用,属于中等试题.9.函数的图象大致为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】采用排除法,先判断函数的奇偶性,然后判断其单调性,再带特殊点求函数值得出结果.【详解】因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,当时,-20- ,所以函数在上单调递减,所以排除选项B,D;又当时,,所以排除选项A.故选:C.【点睛】本题考查函数的图象判断问题,难度一般.一般地,解决根据函数的解析式判断函数图象问题时,要仔细分析原函数的定义域、奇偶性、单调性等,采用排除法选出答案.10.若数列的首项,且满足,则的值为()A.1980B.2000C.2020D.2021【答案】A【解析】【分析】由条件可得,从而数列是首项为21,公差为1的等差数列,由,可得,得出的通项公式,进一步得出答案.【详解】∵,∴,∴,所以数列是首项为21,公差为1等差数列,∴,∴.,故选:A.【点睛】本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式,注意构造数列的方法,属于中档题.-20- 11.已知是函数的图像的一个最高点,,是与相邻的两个最低点.设,若,则的图像对称中心可以是()A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】根据点坐标及,求得的坐标,由,的中点都是的对称中心,且周期为6,得到答案.【详解】如图所示:取的中点,连接,则,,在中,由,得.所以,,,的中点都是的对称中心,且周期,即对称中心为,,当时,对称中心为故选:D.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质,属于中档题.12.已知函数为奇函数,与图像关于对称,若,则()A.2B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的对称关系结合图象可知的对称性,进而得到图象的对称性,再由-20- 可知点的对称,由此得出结论.【详解】解法一:函数为奇函数,故的图象关于原点对称,而函数的图象可由向左平移个单位,再保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍,故函数的图象关于对称,与图像关于对称,故函数图象关于对称,所以,而.解法二:(特例法)设,令,∴,,∴.∵与关于对称,,,∵,所以.故选:A【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式及图象的对称性问题,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.)13.在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是________.-20- 【答案】【解析】【分析】根据三角函数定义可求出,由同角基本函数关系及诱导公式即可求解.【详解】由三角函数定义知,,.∴,∴,∴,∴.故答案为:【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,诱导公式,二倍角公式,属于中档题.14.平行四边形中,,,,点在边上,则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】由,,,可求得,然后如图建立平面直角坐标系,设点,再利用坐标把表示出来,,求此二次函数在上的最小值即可.【详解】解:如图,∵,,,∴,-20- ∴,,∴.以点为原点,所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,则,设,则.令,,则在上单调递减,在上单调递增,所以.故答案为:,【点睛】此题考查平面向量的数量积运算,建立坐标系利用了坐标求解,考查了二次函数的性质,考查数形结合的思想和计算能力,属于中档题.15.在中,角,,所对的边分别为,,,若,,成等比数列,且,则的值是____________.【答案】【解析】【分析】由条件得,利用正弦定理边化角,将化弦,再由求出可得.【详解】∵,,成等比数列,∴,由正弦定理得,-20- ∴,∵,∴,∴.故答案为:【点睛】该题考查正弦定理,同角三角函数的基本关系,等比中项,三角式的恒等变形,属于中档题目.16.已知函数,若,则的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】画出的图象,对进行讨论:,,,,,结合单调性解不等式,即可得到所求范围.【详解】函数的图象如图所示:由于,-20- 当,即时,函数单调递减,显然合乎题意;当,即时,函数递增,显然不合乎题意;当,即,可得,解得,当,即有,由题意可得,解得,当,即时,函数单调递减,显然合乎题意;综上可得的范围是,故答案为:.【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式,考查了分类讨论思想以及学生的计算能力,有一定难度.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知全集为.函数的定义域为集合,集合.(1)求;(2)若,,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先求解集合,,再求交集;(2)先计算,再对分和讨论,最后综合即可.【详解】(1)由得,函数的定义域,-20- 又,得或,∴.(2)∵,①当时,满足要求,此时,得;②当时,要,则,解得;由①②得,,∴实数的取值范围.【点睛】本题考查集合的关系及运算,考查运算能力,是基础题.18.的内角,,的对边分别为,,,已知,,.(1)求角;(2)若点满足,求的外接圆半径.【答案】(1);(2)1.【解析】【分析】(1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得,可求,结合的范围可求结果;(2)先由正弦定理得,即,在中,由余弦定理可得,最后由正弦定理即可得结果.【详解】(1)由,由正弦定理可得,又∵,∴,∵,∴.又,所以.-20- (2)由正弦定理易知,解得.又,所以,即.在中,因为,,所以,所以在中,,,由余弦定理得,即,由可知的外接圆半径为1.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,通过三角恒等变换化简求值,属于中档题.19.已知公差不为零的等差数列,若,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和,证明.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为,由已知列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列的通项公式得答案;(2)由(1)可得,再利用裂项相消法求和即可证明;【详解】(1)设数列的公差为,依题意,,解得,,∴数列的通项公式为.(2),-20- ∴.因为,所以,所以,所以【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质,考查裂项相消法求数列的前项和,属于中档题.20.已知的面积为,且内角是,的等差中项.(1)若,求边的长;(2)当边上中线取最小值时,试判断的形状.【答案】(1);(2)为等边三角形.【解析】【分析】(1)由条件可得,由,得到,由结合正弦定理,得,可求出,再由余弦定理可求出答案.(2)由,平方可得,根据取等条件可得出答案.【详解】∵三个内角、、依次成等差数列,∴,设、、所对的边分别为、、,由的面积,可得.(1)∵,由正弦定理知,∴,.在中,由余弦定理可得,∴,即的长为.(2)∵是边上的中线,,-20- 当且仅当时取“=”,,即长的最小值为3,此时为等边三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理,余弦定理解三角形,中点公式的向量式的应用,三角形面积公式的应用,以及利用向量的数量积以及基本不等式求最值,意在考查学生的数学运算能力和转化能力,属于中档题.21.已知函数,的所有正数的零点构成递增数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)令可得出,根据题意确定数列的首项和公差,即可求得数列的通项公式;(2)求出,然后利用错位相减法可求得.【详解】(1),这就是函数的全部零点,已知函数的全部正数的零点构成等差数列,则其首项等于,公差等于1,的通项公式就是.(2),则,①-20- ,②①②:,所以,,因此,数列的前项和为.【点睛】本题考查数列通项公式的求解,同时也考查了错位相减法求和,涉及三角函数零点的求解,考查计算能力,属于中等题.22.已知,定义函数表示不超过的最大整数,例如:,,.(1)若,写出实数的取值范围;(2)若,且,求实数的取值范围;(3)设,,若对于任意,都有,求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)由表示不超过的最大整数,可得的取值范围为;(2)由指数函数的单调性,可得,则,即有,考虑,解不等式即可得到所求范围;(3)化简得在单调递减,在单调递增,求得的最值,可得所以在恒成立,讨论当时,当时,由新定义和二次函数的最值求法,即可得到所求的范围.-20- 【详解】(1)若,则表示不超过的最大整数,所以,故的取值范围为;(2)若,可得,,则,,当时,,不符合;当时,,不符合;则时,,不符合;当时,,所以,解得;所以实数的取值范围为.(3)∵,∴单调递减,在单调递增.可得,,则,所以在恒成立,即,整理得在恒成立,当时,在恒成立,即,当时,在恒成立,即,综上可得:实数的取值范围为.【点睛】本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.-20- -20-

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2021-10-08 09:49:51 页数:20
价格:¥5 大小:1.74 MB
文章作者:fenxiang

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