福建名校联盟优质校2022届高三数学上学期第一次调研试题（带答案）

2022届福建名校联盟优质校高三第一次调研数学一、单项选择题1.令，，若，则实数的值是（）A.B.C.2D.12.抛物线的准线方程是（）AB.C.D.3.设、，，则的最小值是（）A.B.C.D.4.甲和乙是同班同学，该班级共52名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（）A.5B.6C.7D.85.对任意2022个锐角（，2，…2022）满足，均有，则的最小值是（）A.2019B.2020C.2021D.20226.要在每个班级抽取一名学生参加晚读小测．具体的抽取方法是：计算两名数学课代表的座位号之和与两名英语课代表座位号之和的差的绝对值，则最后的结果就是被抽中学生的座号．（每个班的数学课代表和英语课代表至少各一名，至多各两名，若只有一名或某名同学同时担任数学课代表和英语课代表，则在上述计算中重复代入这名同学的座号；若计算结果不是任何一名学生的座号，则在这个班不抽取，假设每个班的数学课代表和英语课代表的座号是等可能分布的）．已知某班级共有50名学生，则某名学生被抽中的概率的最大值是（） A.B.C.D.7.在方格表每个小方格中填入中的一个数，要求，第行和第列各自的三个数之和均要不小于，则所有可能的填法总数是（）A.1335B.2147C.685D.7168.记行列的数阵中第行列的数为，数阵内所有数之和为．若，，，，，则定义．根据以上定义，计算（）AB.C.D.二、多项选择题9.两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（）A.两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同B.对三个无限集合、、，若，，则C.正整数集与正实数集等势D.在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则10.设整数，是正实数，是非零实数．数列满足：，．下列说法中正确的是（）A.当且为偶数时，有界的充要条件是B.当且为偶数时，有界的充要条件是 C.当且为奇数或时，有界的充要条件是D.当且为奇数或时，有界的充要条件是11.设四面体的六条棱长分别为，，…，，体积为，四个面的面积分别为，，，，面与面所成的内二面角为，，，，为任意四个正实数，为空间里任意一点．下列不等式对任意满足均为锐角的四面体恒成立的是（）A.B.C.D.12.我们称某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条曲线都有至少一点相切的一条曲线．（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系）下列关于包络线的说法正确的是（）A.设是以原点为圆心，半径为2的圆上的一个动点，过引椭圆：的两条切线，切点分别为，．当运动时，直线族的包络线所围成的封闭图形的面积是B.给定正实数，线段族（，，）的包络线与两坐标轴围成图形的面积为C.设内接于椭圆：，且直线、直线均与圆：相切，则直线的包络线为圆 D.设半径相等的圆和圆相交，圆心分别是和．和分别是圆和圆上的两个动点．开始时和分别位于构成两圆重叠部分的两段弧上（不含两段弧的交点）且．现使和以相同的角速度绕各自的圆心作逆时针匀速圆周运动，则直线的包络线是椭圆．三、填空题13.对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．14.设，为正整数，空间中一物体由个完全相同的的表面涂满红色的小立方体构成，且其三视图均为全部涂满红色的的方格表（允许小立方体悬空），则的最小值______；当时，规定若主视方向不同但经过旋转或轴反射后能完全重合的属于不同的情形，则能够达到的情形数为______．15.给定，，设、、、且，则对每个固定，______．16.设12元实数集合满足：可将其划分为两个6元子集和，使得对每个，均有，则这样的可以是______．（写出一个即可）四、解答题17.在中，，，是内心，，，分别交对边于，，．（1）直接写出图中的一对相似三角形．（2）求．18.记函数，，其导函数为．（1）讨论的单调性．（2）当时，设，，．点在线段 上（不含端点）且．证明：．19.班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．（1）求班级里朋友圈个数的最大值．（2）求班级里朋友圈个数的最小值．20.数列满足：，．（1）当时，求的通项公式（2）记为正有理数集（）的一个子集，，其中和是互素的正整数．现定义性质为：，，均有为定值．是否存在满足以下两个要求：1°，满足性质；2°，不满足性质．证明你的结论．21.等轴双曲线是离心率为的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．（1）在等轴双曲线上有三点，，，其横坐标依次是，，．设，，分别为，，中点，试求的外接圆圆心的横坐标．（2）双曲线的渐近线为和，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于，，，过，，分别作直线、直线、直线的垂线，，．（i）当为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．（ii）当不为等轴双曲线时，记，，分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义，，．证明：．22. 空间中由若干平面多边形所圈成的封闭的立体叫做多面体，这些平面多边形称为多面体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点．我们称一个多面体为凸多面体，当且仅当该多面体全部位于其每一面所决定的平面的同一侧．例如：四面体平行六面体、棱锥、棱柱、棱台都是凸多面体．设多面体恰有100条棱．（1）当为凸多面体时，求最大整数，使得存在某个平面恰与的条棱相交．（2）当为非凸多面体时，证明：（i）存在和平面使得恰与的98条棱相交．（ii）不存在和平面使得与的100条棱均相交．2022届福建名校联盟优质校高三第一次调研数学答案版一、单项选择题1.令，，若，则实数的值是（）A.B.C.2D.1【答案】C2.抛物线的准线方程是（）AB.C.D.【答案】D3.设、，，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B4.甲和乙是同班同学，该班级共52名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（）A.5B.6C.7D.8【答案】A5.对任意2022个锐角（，2，…2022）满足，均有 ，则的最小值是（）A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】C6.要在每个班级抽取一名学生参加晚读小测．具体的抽取方法是：计算两名数学课代表的座位号之和与两名英语课代表座位号之和的差的绝对值，则最后的结果就是被抽中学生的座号．（每个班的数学课代表和英语课代表至少各一名，至多各两名，若只有一名或某名同学同时担任数学课代表和英语课代表，则在上述计算中重复代入这名同学的座号；若计算结果不是任何一名学生的座号，则在这个班不抽取，假设每个班的数学课代表和英语课代表的座号是等可能分布的）．已知某班级共有50名学生，则某名学生被抽中的概率的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A7.在方格表每个小方格中填入中的一个数，要求，第行和第列各自的三个数之和均要不小于，则所有可能的填法总数是（）A.1335B.2147C.685D.716【答案】B8.记行列的数阵中第行列的数为，数阵内所有数之和为．若，，，，，则定义．根据以上定义，计算（）AB.C.D.【答案】A二、多项选择题9.两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（） A.两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同B.对三个无限集合、、，若，，则C.正整数集与正实数集等势D.在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则【答案】ABD10.设整数，是正实数，是非零实数．数列满足：，．下列说法中正确的是（）A.当且为偶数时，有界的充要条件是B.当且为偶数时，有界的充要条件是C.当且为奇数或时，有界的充要条件是D.当且为奇数或时，有界的充要条件是【答案】AC11.设四面体的六条棱长分别为，，…，，体积为，四个面的面积分别为，，，，面与面所成的内二面角为，，，，为任意四个正实数，为空间里任意一点．下列不等式对任意满足均为锐角的四面体恒成立的是（）A.B.C.D. 【答案】AC12.我们称某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条曲线都有至少一点相切的一条曲线．（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系）下列关于包络线的说法正确的是（）A.设是以原点为圆心，半径为2的圆上的一个动点，过引椭圆：的两条切线，切点分别为，．当运动时，直线族的包络线所围成的封闭图形的面积是B.给定正实数，线段族（，，）的包络线与两坐标轴围成图形的面积为C.设内接于椭圆：，且直线、直线均与圆：相切，则直线的包络线为圆D.设半径相等的圆和圆相交，圆心分别是和．和分别是圆和圆上的两个动点．开始时和分别位于构成两圆重叠部分的两段弧上（不含两段弧的交点）且．现使和以相同的角速度绕各自的圆心作逆时针匀速圆周运动，则直线的包络线是椭圆．【答案】A三、填空题13.对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．【答案】1014.设，为正整数，空间中一物体由个完全相同的的表面涂满红色的小立方体构成，且其三视图均为全部涂满红色的的方格表（允许小立方体悬空），则的最小值______；当时，规定若主视方向不同但经过旋转或轴反射后能完全重合的属于不同的情形，则能够达到的情形数为______．【答案】①.②. 15.给定，，设、、、且，则对每个固定，______．【答案】16.设12元实数集合满足：可将其划分为两个6元子集和，使得对每个，均有，则这样的可以是______．（写出一个即可）【答案】四、解答题17.在中，，，是内心，，，分别交对边于，，．（1）直接写出图中的一对相似三角形．（2）求．【答案】18.记函数，，其导函数为．（1）讨论的单调性．（2）当时，设，，．点在线段上（不含端点）且．证明：．【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在和单调递减，在时单调递增，且满足.（2）证明见解析.19.班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”． （1）求班级里朋友圈个数的最大值．（2）求班级里朋友圈个数的最小值．【答案】（1）；（2）20.数列满足：，．（1）当时，求的通项公式（2）记为正有理数集（）的一个子集，，其中和是互素的正整数．现定义性质为：，，均有为定值．是否存在满足以下两个要求：1°，满足性质；2°，不满足性质．证明你的结论．【答案】（1）；（2）略21.等轴双曲线是离心率为的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．（1）在等轴双曲线上有三点，，，其横坐标依次是，，．设，，分别为，，中点，试求的外接圆圆心的横坐标．（2）双曲线的渐近线为和，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于，，，过，，分别作直线、直线、直线的垂线，，．（i）当为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．（ii）当不为等轴双曲线时，记，，分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义，，．证明：．【答案】略 22.空间中由若干平面多边形所圈成的封闭的立体叫做多面体，这些平面多边形称为多面体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点．我们称一个多面体为凸多面体，当且仅当该多面体全部位于其每一面所决定的平面的同一侧．例如：四面体平行六面体、棱锥、棱柱、棱台都是凸多面体．设多面体恰有100条棱．（1）当为凸多面体时，求最大整数，使得存在某个平面恰与的条棱相交．（2）当为非凸多面体时，证明：（i）存在和平面使得恰与的98条棱相交．（ii）不存在和平面使得与的100条棱均相交．【答案】略