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湖南师范大学附属中学2022届高三上学期月考(一)数学试题(Word版有答案)
湖南师范大学附属中学2022届高三上学期月考(一)数学试题(Word版有答案)
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湖南师大附中2022届高三月考试卷(一)数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共10页.时量120分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则()A.B.C.D.2.某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购,也可以自己生产.其中外购的单价是每个1.2元,若自己生产,则每月需投资固定成本2000元,并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元.设该医院每月所需口罩个,则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是()A.B.C.D.3.如图,在矩形中,点E为边上一动点(不包括端点),将沿翻折成,使得平面平面.给出下列两个结论:①在平面内过点C有且只有一条直线与平面平行;②在边上存在点E使得.则下列判断正确的是()A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都正确D.①,②都错误4.函数的图象关于()A.点对称B.直线对称C.点对称D.直线对称5.宋代著名类书《太平御览》记载:“伏羲坐于方坛之上,听八风之气,乃画八卦.”乾为天,坤为地,震为雷,坎为水,艮为山,巽为风,离为火,兑为泽,象征八种自然现象,以类万 物之情.如图所示为太极八卦图,八卦分据八方,中绘太极古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成,其中“”为阳爻,“”为阴爻.现从八卦中任取两卦,已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻,则另一卦至少有两个阳爻的概率为()A.B.C.D.6.设,若,则的值为()A.63B.64C.65D.7.如图,函数在一个周期内的图象(不包括端点)与x轴,y轴的交点分别为A,B.与过点A的直线另相交于C,D两点,E为图象的最高点,O为坐标原点,则()A.B.C.D.8.已知点,若圆上存在两点A,B,使得,则r的取值范围是()A.B.C.D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2 分.9.已知实数a满足(i为虚数单位),设复数,则下列结论正确的是()A.z为纯虚数B.为虚数C.D.10.设等比数列的各项都为正数,其前n项和为,已知,且存在两项,使得,则下列结论正确的是()A.B.C.D.11.若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是()A.B.C.D.12.已知互不相等的三个实数a,b,c都大于1,且满足,则a,b,c的大小关系可能是()A.B.C.D.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,且,则向量与的夹角为________.14.已知,则的值为_________.15.设直线与双曲线相交于A,B两点,P为C上不同于A,B的一点,直线的斜率分别为,若C的离心率为2,则________.16.如图,三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,是边长为6的正三角形,二面角的大小为,则点O到平面的距离为_______,球O的表面积为_______. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)求角B的大小;(2)设,若,且A,C都为锐角,求m的取值范围.18.(本小题满分12分)设数列的前n项和为,已知当时,,且为的等比中项.(1)求数列的首项的值;(2)设,求数列的前n项和.19.(本小题满分12分)今年五月,某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标,从在本院体检的人群中随机抽取了100人,按其免疫力指标分成如下五组:,其频率分布直方图如图1所示.今年六月,某医药研究所研发了一种疫苗,对提高该免疫力有显著效果.经临床检测,将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组,各组分别按不同剂量注射疫苗后,其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系,样本数据的散点图如图2所示. (1)健管中心从自身免疫力指标在内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯,记X表示这3人中免疫力指标在内的人数,求X的分布列和数学期望;(2)由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用,医学部门设定:自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后,其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以健管中心抽取的100人作为普通人群的样本,据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位.附:对于一组样本数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为.20.(本小题满分12分)如图,直三棱柱的底边长和侧棱长都为2,点D在棱上运动(不包括端点).(1)若D为的中点,证明:;(2)设平面与平面所成的二面角大小为(为锐角),求的取值范围.21.(本小题满分12分)设抛物线的焦点为F,点M在抛物线C上,O为坐标原点,已知 ,.(1)求抛物线C的方程;(2)过焦点F作直线l交C于A,B两点,P为C上异于A,B的任意一点,直线分别与C的准线相交于D,E两点,证明:以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)若在内是减函数,求a的取值范围;(2)已知,若,求的零点个数.湖南师大附中2022届高三月考试卷(一)数学参考答案一、单项选择题:1.C【解析】由题设,,则,所以,选C.2.B【解析】由,得,即,选B.3.A【解析】①在上取点F,使,则四边形为平行四边形,得,从而平面,结论正确;②作,垂足为M,因为平面平面,则平面,所以P.假设,则平面,从而,这与为锐角矛盾,所以假设不成立,结论错误,选A.4.B【解析】因为,设,则.因为,则为偶函数,其图象关于y轴对称,所以的图象关于直线对称,选B.5.D 【解析】由八卦图可知,八卦中有1卦有三个阳爻,有3卦恰有一个阳爻,有3卦恰有两个阳爻,有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A,“另一卦至少有两个阳爻”为事件B.解法一:因为,所以,选D.解法二:因为,所以,选D.6.A【解析】因为,则,即,所以.在中,令,则.令,则,所以,选A.7.D【解析】设的最小正周期为T,由图知,,则,所以.因为,则,即,所以.由题设,点,则.因为的图象关于点A对称.则A为线段的中点,所以,选D.8.C【解析】取的中点D,则.因为,则,设,则,因为点,则 ,所以,得.因为,则,解得,选C.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.ACD【解析】由已知,,则,所以为纯虚数,为实数,因为,则,选ACD.10.ABC【解析】设等比数列的公比为,由已知,,整理得,解得或(舍去),所以.因为,则,即,所以,选ABC.11.BC【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和,则,即.因为,则,即.经检验,椭圆和满足要求,选BC.12.AB【解析】由已知,,即.则关于x的方程有正实根,所以.因为,则,所以. 设,则二次函数的图象关于直线对称,且,.若是的一个较小零点,则,即;若是的一个较大零点,则,即,选AB.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.【解析】设向量与的夹角为,因为,则.由已知,,则.又,所以.14.【解析】由已知,,则,所以.15.3【解析】据题意,点A,B关于原点对称,设点,则.两式相减,得,则.因为,所以.16.1,【解析】取的中点D,连接.设E为的外心,则点E在上,且.因为,则D为的外心.根据球的几何性质,有平面平面.因为二面角的大小为,平面平面,则二面角的大小为,所以. 因为是边长为6的正三角形,则,所以.在中,.在中,因为,则,所以球O的半径,表面积.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)由已知及正弦定理,得,即,即.(3分)由余弦定理,得.因为,所以.(5分)(2)因为,则,得.(6分)所以.(8分)因为A,C都为锐角,,则, 所以.(10分)18.【解析】(1)因为,则数列是公差为2的等差数列.(1分)则.(4分)由已知,,则,即,即.因为,则,所以.(6分)(2)因为数列是首项为1,公差为2的等差数列,则.(8分)由题设,.(10分)所以.(12分)19.【解析】(1)由直方图知,自身免疫力指标在内的人数为,在内的人数为,则X的可能取值为1,2,3.(1分)其中.(4分)所以X的分布列为X123 P.(6分)(2)由散点图知,5组样本数据分别为,且x与y具有线性相关关系.(7分)因为,则,,所以回归直线方程为.(10分)由直方图知,免疫力指标的平均值为.(11分)由,得,解得.据此估计,疫苗注射量不应超过80个单位.(12分)20.【解析】解法一:(1)取的中点M,连接.因为为正三角形,则.由已知,则平面,所以.①(2分)因为,则,所以,从而与互余,所以.②结合①②知,平面,所以.(5分) (2)分别延长相交于E,连接,则二面角的平面角为.作,垂足为F,连接,则,所以.(6分)设,在中,由余弦定理可得,由等面积法可得.因为,则.(9分)在中,.(10分)因为,则,所以.(12分)解法二:(1)分别取、的中点O、E,则直线两两互相垂直,以O为原点,直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.(1分)因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2,D为的中点,则点,.(3分)从而,则,所以.(5分) (2)设,则点.(6分)设为平面的法向量,由得取,则,所以.(9分)又平面的法向量,则.因为,则,所以.(12分)21.【解析】(1)设点,因为点M在抛物线C上,则得,即.因为,则.(3分)因为,则,即,所以,化简得,解得,所以抛物线C的方程是.(5分)(2)设直线l的方程为,代入,得. 设点,则.(6分)设点则k,直线的方程为.令,得,所以点.(8分)同理,点.(9分)设以线段为直径的圆与x轴的交点为,则.(10分)因为,则,即,则,得或.故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和.(12分)22.【解析】(1).因为在内是减函数,则当时,恒成立,即,即恒成立.(2分)设,则.(3分)由,得,即,所以在上单调递增,在上单调递减,从而. 因为恒成立,所以a的取值范围是.(5分)(2)由(1)知,在上单调递增,在上单调递减.又当时,;当时,,则函数的大致图象如图所示.(6分)因为,则直线与函数的图象有两个不同的交点,从而有两个变号零点,所以有两个不同的极值点.设的两个极值点为,且.则.(7分)当或时,因为,则,所以在,上单调递减;当时,因为,则,所以在上单调递增,从而的极小值点为,极大值点为.(9分)因为,则,所以在内有一个零点.(10分)因为,则当时,,所以在内有一个零点.(11分)因为,则当时,,所以在 内有一个零点.综上分析,有3个零点.(12分)
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高中 - 数学
发布时间:2021-09-26 16:47:31
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