四川省成都市2020届高三上学期第一次诊断性检测12月数学（理）试题 含解析

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.若复数为纯虚数，则实数A.B.C.1D.22.已知全集，集合，，则如图所示阴影部分所表示的集合为A.B.或C.D.3.根据下面的算法语句，当输入x为60时，输出y的值为A.25B.30C.31D.604.已知直线与圆O：相交于A，B两点，且，则在上的投影为A.B.C.D.05.已知a，b，c，d为实数，则“且”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是A. 且B.且C.且D.且7.函数的图象大致为A.B.C.D.8.已知等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是A.B.C.D.9.如图，在正方体ABC的中，点P是线段上的动点，则三棱锥的俯视图与正视图面积之比的最大值为A.1B.C.,D.21.将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有A.12种B.16种C.18种D.36种2.若函数的图象关于直线轴对称，则函数的最小值为A.B.C.0D.3.已知，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题）4.在数列中，，，则等于______．5.如果的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是______．6.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过点P向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若为等边三角形，则______．7.在平面四边形ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形，以AC为折痕把折起，当时，四面体的外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题）8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若点D为边AB上一点，且满足，，，求的面积．9.如图，在四棱锥中，ABCD为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面ABCD．Ⅰ证明：平面平面PBC；Ⅱ为直线PC的中点，且，求二面角的正弦值．10.已知椭圆C：经过点离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若，求直线l的方程．,1.微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，很多手机用户加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，运动的积极性明显增强．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：万步人5205018331Ⅰ根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；Ⅱ若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取3人，求至少2人步数多于万步的概率；Ⅲ若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取2人，其中每日走路不超过万步的有X人，超过万步的有Y人，设，求的分布列及数学期望．2.函数．Ⅰ若函数在点处的切线过点，求a的值；Ⅱ若不等式在定义域上恒成立，求a的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy中，的参数方程为为参数，过点且倾斜角为的直线l与交于A，B两点．求的取值范围；,求AB中点P的轨迹的参数方程．1.已知函数．Ⅰ若函数的最小值为2，求a的值．Ⅱ若时，不等式成立，求a的取值范围．,答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0得出答案．【解答】解：复数，由于复数为纯虚数，，且，，故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，二次不等式的解法，属基础题．阴影部分所表示的集合为，解不等式求出集合A，可得答案．【解答】解：阴影部分所表示的集合为，，或，，，又，，故选D．3.【答案】C【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值；当时，．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序知：该程序的作用是计算并输出分段函数y的函数值．本题考查了条件语句的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，圆O：的圆心为，半径，又由，则，则在上的投影为；故选：A．根据题意，由余弦定理求出的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及余弦定理的应用，属于基础题．5.【答案】A,【解析】【分析】本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．因为，所以，由，得，利用同向不等式相乘得到；反之，由，移向后因式分解得到，而，所以可得，从而得到要选的结论．【解答】解：因为，所以，由，则得：，即，则．若，则，即，所以且，或且不一定是且．则“且”是“”的充分不必要条件．故选：A．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，是基础题．在A中，m与平行或；在B中，m与平行、相交或；在C中，m与平行、相交或；在D中，由线面垂直的判定定理得．【解答】解：由m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，知：在A中， 且，则m与平行或，故A错误；在B中，且，则m与平行、相交或，故B错误；在C中，且，则m与平行、相交或，故C错误；在D中，且，由线面垂直的判定定理得，故D正确．故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题．先判断函数奇函数，再求出即可判断．【解答】解：，则函数为奇函数，故排除AD，当时，，故排除B，故选：C．8.【答案】D,【解析】解：等比数列中，当公比时，；当公比时，．．故选：D．首先由等比数列的通项入手表示出即q的代数式，然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出的范围．本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．9.【答案】D【解析】解：设棱长为1，则三棱锥的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为：；三棱锥的俯视图取最大面积时，P在处，俯视图面积为：1；故三棱锥的俯视图与正视图面积之比的最大值为2，故选：D．分析三棱锥的正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案．本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出三棱锥的正视图与侧视图的形状，是解答的关键．10.【答案】C【解析】解：先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，有3种不同的选法，再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有种放法，余下放入最后一个盒子，共有种．故选C．根据题意，分3步分析：首先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，再从剩下的4个小球中选两个放一个盒子，余下的2个放入最后一个盒子，由组合数公式计算每一步的情况数目，进而由分步计数原理得到结果．本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个小球中选两个放到一个盒子中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．11.【答案】D【解析】解：，，函数的图象关于直线轴对称，，，，，，结合二次函数的单调性可知，当时，，故选：D．先把化为的形式，再结合对称性确定a，之后把代入y利用二倍角余弦形成二次函数即可得解．此题考查了三角函数的变形，对称性，倍角公式，换元法等，难度适中．,12.【答案】C【解析】解：有两个零点等价于的图象与直线有两个交点，当时，过点的直线与切于点，又，即切线方程为：，又此切线过点，所以解得：，即，即，当时，设直线与曲线，相切，得，由得，由图知，结合图象可知：当的图象与直线有两个交点时，实数m的取值范围是：，故选：C．由函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系得：有两个零点等价于的图象与直线有两个交点，由利用导数研究曲线的切线问题得：当时，过点的直线与切于点，解得：，即，即，当时，设直线与曲线，相切，解得，结合图象可知：实数m的取值范围是：，得解本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系及利用导数研究曲线的切线问题，属难度较大的题型13.【答案】【解析】解：在数列中，，，所以，，，，故答案为：．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基本知识的考查，基础题．14.【答案】5【解析】解：．令，可得．的展开式中含有常数项，正整数n的最小值是5．故答案为：5．令，可得即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：抛物线C：，焦点为，准线为l：，是抛物线上一点，则，由题意可得，,由于为等边三角形，则有，即有：，可得．故答案为：．求出抛物线的焦点坐标，推出PQ坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的定义，得到的方程，可得p的值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查等边三角形的概念和两点距离公式的运用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：在四面体中，由已知条件可知，，，，则≌，所以，，所以，和是公共斜边的直角三角形，则BD是四面体外接球的一条直径，易知，，且，设四面体的外接球的半径为R，则，因此，四面体的外接球的体积为．故答案为：．证明和全等，得到和都是直角，于是得出BD是两个直角三角形和的公共斜边，于是得出BD为四面体的外接球的直径，求出BD的长度，可得出外接球的半径，即可求出外接球的体积．本题考查球的表面积与题意，解本题的关键在于找出四面体外接球的直径，考查计算能力与推理能力，属于中等题．17.【答案】解：Ⅰ向量，，且，，由正弦定理可得，，，，，，，Ⅱ，，，，，两边平方得，，，，由，可得，．【解析】Ⅰ利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosC的值，Ⅱ利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式是解本题的关键．18.【答案】Ⅰ证明：为矩形，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，则，又，，,平面PAD，而平面PBC，平面平面PBC；Ⅱ取AB中点O，分别以OP，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，由，是以为直角的等腰直角三角形，得：，，，，，，．设平面MAD的一个法向量为，由，取，得；设平面MBD的一个法向量为，由，取，得．．二面角的正弦值为．【解析】Ⅰ由ABCD为矩形，得，再由面面垂直的性质可得平面PAB，则，结合，由线面垂直的判定可得平面PAD，进一步得到平面平面PBC；Ⅱ取AB中点O，分别以OP，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MAD与平面MBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方关系求得二面角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ设椭圆C的焦距为，则，，，所以，椭圆C的方程为，将点的坐标代入椭圆C的方程得，解得，则，，因此，椭圆C的方程为；Ⅱ设直线l的方程为，设点、，将直线l的方程代入椭圆的方程，并化简得，，解得或．由韦达定理可得，，，同理可得，所以，，解得，合乎题意因此，直线l的方程为或．【解析】Ⅰ由题中已知条件可得，，代入椭圆C的方程，将点的坐标代入椭圆方程可求出c的值，进而得出a、b的值，于是可得到椭圆C的方程；Ⅱ设直线l的方程为，设点、，将直线l的方程代入椭圆C的方程，列出韦达定理，由等式结合韦达定理可求出m的值，即可求出直线l的方程．本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题．20.【答案】解：Ⅰ根据题意，补充下表，万步人5205018331频率  ,根据表中数据，作出频率分布直方图如下：Ⅱ这100人中只有25人步数多于万步，在这100人中随机抽取3人，至少2人步数多于万步的概率为．Ⅲ由题知微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过万步的概率为，超过万步的概率为，且当或时，，，当，或，时，，，当，或，时，，，的分布列为：  0 1 2 P．【解析】Ⅰ根据题意，完成频率分布表，由此能作出频率分布直方图．Ⅱ这100人中只有25人步数多于万步，在这100人中随机抽取3人，利用互斥事件概率加法公式能求出至少2人步数多于万步的概率．Ⅲ由题知微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过万步的概率为，超过万步的概率为，且当或时，，当，或，时，，当，或，时，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．21.【答案】解：Ⅰ，，，，整理可得，解得，Ⅱ由题意知，，，设，，故在递增，故时，，当时，，故在上有唯一实数根，当时，，当时，，,故时，取最小值，由，得，故，，解得：，故a的范围是．【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算k的值，得到关于a的方程，解出即可；Ⅱ求出函数的导数，得到导函数的单调性，根据，故，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：的参数方程为为参数，的普通方程为，圆心为，半径，当时，过点且倾斜角为的直线l的方程为，成立；当时，过点且倾斜角为的直线l的方程为，倾斜角为的直线l与交于A，B两点，圆心到直线l的距离，，或，或，综上的取值范围是．由知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，设，，，联立，得，则，，，中点P的轨迹的参数方程为为参数，．【解析】本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．的普通方程为，圆心为，半径，当时，直线l的方程为，成立；当时，过点且倾斜角为的直线l的方程为，从而圆心到直线l的距离，进而求出或，由此能求出的取值范围．设直线l的方程为，联立，得，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．23.【答案】解：Ⅰ函数，当且仅当“”成立；若函数的最小值为2，则，解得或；Ⅱ若时，不等式成立，化为成立，即成立；所以，即；,由在时单调递减，可得，即且，所以a的取值范围是．【解析】Ⅰ由绝对值不等式的性质可得的最小值，解方程求得a的值；Ⅱ由题意可得成立，得出，求出a的取值范围即可．本题考查了绝对值不等式的性质和应用问题，也考查了不等式恒成立问题，注意运用转化思想和参数分离，是中档题．