人教版数学七年级下册：5.3.1与平行线有关的辅助线问题教案

教学基本信息课题与平行线有关的辅助线问题学科数学学段：第三学段年级七年级教材书名：数学七年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2012年10月教学目标及教学重点、难点本节内容是在理解本章相关概念和定理的基础上，综合运用所学知识，解决有关几何问题，重点是掌握构造辅助线（平行线）的方法．提高学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝_____°．复习平行线的性质：　　复习平行线的性质，由课本习题引入本节课的内容．新课问题1如果去掉射线CD，那么∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系是否改变？　　提出问题，引入辅助线．6 例如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．答：∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°．证明如下：过点C作CD∥AB，∵AB∥EF，∴CD∥EF．∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°．∵CD∥EF，∴∠DCE＋∠CEF＝180°．∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°．小结：本题为什么需要添加这样的辅助线？添加辅助线是为了帮助我们使用平行线的性质——因为只有当满足两条直线被第三条直线所截这个条件时，才有同旁内角互补的数量关系．添加辅助线的一种思路：若已知条件与某条定理相关，但定理的使用条件不足，可考虑通过辅助线补充完整．问题2是否还有其它方法能够证明这三个角的数量关系？　　通过例题，明确添加辅助线的作用．6 方法二：借助三角形的内角和．证明：连接AE，∵AB∥EF，∴∠BAE＋∠AEF＝180°．∵∠CAE＋∠C＋∠AEC＝180°，∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°．方法三：借助四边形的内角和．小结：这三种方法都添加了辅助线．都是通过添加辅助线构造基本图形，从而借助它们的性质来解决的．　　在添加辅助线之前，应先观察图形，分析已知和未知，结合自己的学习经验，有目标的添加辅助线．练习如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．证明：如图，过点C作CD∥AB，∵AB∥EF，∴CD∥EF．　　通过一题多解，提高学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力．6 ∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD．同理∠DCE＝∠CEF．∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∴∠ACE＝∠BAC＋∠CEF．方法二：方法三：小结：不同的添加辅助线的方法有不同的解法，不同解法的繁简程度也是有区别的．　　巩固练习，掌握构造辅助线（平行线）的方法．6 总结1．添加辅助线的原因与作用：　　若已知条件与某条定理相关，但定理的使用条件不足，可考虑通过辅助线补充完整．2．添加辅助线的注意事项：（1）当题目中的几个条件相关联时，辅助线只能满足其中一个条件，其他结论都要通过证明获得；（2）在添加辅助线之前，应先观察图形、分析已知和未知，有一定的解题思路后，选择适当的方法添加辅助线；（3）添加的辅助线不同，解法也不同．　　梳理本节课所学内容．作业作业1如图，如果AB∥EF，用等式表示∠BAC，∠ACE，∠CEF之间的数量关系，并证明．作业2　　　　　这是课本25页14题，如果去掉这个图中的直线DE，你能用添加辅助线的方法，说明为什么三角形内角和是180°吗？　　巩固构造辅助线（平行线）的方法．6 6