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2022年高考真题--数学(天津卷)(Word版附解析)
2022年高考真题--数学(天津卷)(Word版附解析)
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2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)2022.06.一、选择题:本题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出,再根据交集的定义可求.【详解】,故,故选:A.2.“为整数”是“为整数”的()A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不允分也不必要【答案】A【解析】【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“为整数”与“为整数”的逻辑关系即可.【详解】由题意,若为整数,则为整数,故充分性成立;当时,为整数,但不为整数,故必要性不成立;所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选:A.3.函数的图像为()\nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为,且,函数为奇函数,A选项错误;又当时,,C选项错误;当时,函数单调递增,故B选项错误;故选:D4.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,将其按从左到右的顺序分别编\n号为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.8B.12C.16D.18【答案】B【解析】【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数,进而求出第三组的总人数,从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为=50,所以第三组人数为50×0.36=18,有疗效的人数为18-6=12.故选:B.5.已知,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为,故.故答案为:C.6.化简的值为()A.1B.2C.4D.6\n【答案】B【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式,故选:B7.已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点,与双曲线的渐近线交于点A,若,则双曲线的标准方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得出的值,求出点的坐标,分析可得,由此可得出关于、、的方程组,解出这三个量的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为,则,则、,不妨设点为第二象限内的点,联立,可得,即点,因为且,则为等腰直角三角形,且,即,可得,\n所以,,解得,因此,双曲线的标准方程为.故选:C.8.如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为()A.23B.24C.26D.27【答案】D【解析】【分析】作出几何体直观图,由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成,作于M,如图,因为,所以,因为重叠后的底面为正方形,所以,在直棱柱中,平面BHC,则,由可得平面,设重叠后的EG与交点为\n则则该几何体的体积为.故选:D.9.已知,关于该函数有下列四个说法:①的最小正周期为;②在上单调递增;③当时,的取值范围为;④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到.以上四个说法中,正确的个数为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质,以及变换法则即可判断各说法的真假.【详解】因为,所以最小正周期为,①不正确;\n令,而在上递增,所以在上单调递增,②正确;因为,,所以,③不正确;由于,所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,④不正确.故选:A.第II卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.已知是虚数单位,化简的结果为_______.【答案】##【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出.【详解】.故答案为:.11.的展开式中的常数项为______.【答案】【解析】【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为,令\n,代入即可得解.【详解】由题意的展开式的通项为,令即,则,所以展开式中的常数项为.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.12.若直线与圆相交所得的弦长为,则_____.【答案】【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离,利用勾股定理可得出关于的等式,即可解得的值.【详解】圆的圆心坐标为,半径为,圆心到直线距离为,由勾股定理可得,因为,解得.故答案为:.13.52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为____________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为____________【答案】①.②.【解析】【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率,再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下,第二次抽到A的概率.【详解】由题意,设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,\n则.故答案为:;.14.在中,,D是AC中点,,试用表示为___________,若,则的最大值为____________【答案】①.②.【解析】【分析】法一:根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出,以为基底,表示出,由可得,再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.法二:以点为原点建立平面直角坐标系,设,由可得点的轨迹为以为圆心,以为半径的圆,方程为,即可根据几何性质可知,当且仅当与相切时,最大,即求出.【详解】方法一:,,,当且仅当时取等号,而,所以.\n故答案为:;.方法二:如图所示,建立坐标系:,,,所以点的轨迹是以为圆心,以为半径的圆,当且仅当与相切时,最大,此时.故答案为:;.15.设,对任意实数x,记.若至少有3个零点,则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设,,分析可知函数至少有一个零点,可得出,求出的取值范围,然后对实数的取值范围进行分类讨论,根据题意可得出关于实数的不等式,综合可求得实数的取值范围.【详解】设,,由可得.要使得函数至少有个零点,则函数至少有一个零点,则,解得或.\n①当时,,作出函数、的图象如下图所示:此时函数只有两个零点,不合乎题意;②当时,设函数的两个零点分别为、,要使得函数至少有个零点,则,所以,,解得;③当时,,作出函数、的图象如下图所示:由图可知,函数的零点个数为,合乎题意;④当时,设函数的两个零点分别为、,要使得函数至少有个零点,则,可得,解得,此时.\n综上所述,实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)求的值;(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根据余弦定理以及解方程组即可求出;(2)由(1)可求出,再根据正弦定理即可解出;(3)先根据二倍角公式求出,再根据两角差的正弦公式即可求出.【小问1详解】因为,即,而,代入得,解得:.【小问2详解】\n由(1)可求出,而,所以,又,所以.【小问3详解】因为,所以,故,又,所以,,而,所以,故.17.直三棱柱中,,D为的中点,E为的中点,F为的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)\n【解析】【分析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可证得结论成立;(2)利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值;(3)利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明:在直三棱柱中,平面,且,则以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、、、、、,则,易知平面的一个法向量为,则,故,平面,故平面.【小问2详解】解:,,,设平面的法向量为,则,\n取,可得,.因此,直线与平面夹角的正弦值为.【小问3详解】解:,,设平面的法向量为,则,取,可得,则,因此,平面与平面夹角的余弦值为.18.设是等差数列,是等比数列,且.(1)求与的通项公式;(2)设的前n项和为,求证:;(3)求.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解;(2)由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证;(3)先求得,进而由并项求和可得,再结合错位相减法可得解.【小问1详解】设公差为d,公比为,则,\n由可得(舍去),所以;【小问2详解】证明:因为所以要证,即证,即证,即证,而显然成立,所以;【小问3详解】因为,所以,设所以,则,作差得,所以,所以.\n19.椭圆的右焦点为F、右顶点为A,上顶点为B,且满足.(1)求椭圆的离心率;(2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于N(N异于M).记O为坐标原点,若,且的面积为,求椭圆的标准方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据已知条件可得出关于、的等量关系,由此可求得该椭圆的离心率的值;(2)由(1)可知椭圆的方程为,设直线的方程为,将直线的方程与椭圆方程联立,由可得出,求出点的坐标,利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值,即可得出椭圆的方程.【小问1详解】解:,离心率为.【小问2详解】解:由(1)可知椭圆的方程为,易知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立得,由,①\n,,由可得,②由可得,③联立①②③可得,,,故椭圆的标准方程为.20.已知,函数(1)求函数在处的切线方程;(2)若和有公共点,(i)当时,求的取值范围;(ii)求证:.【答案】(1)(2)(i);(ii)证明见解析【解析】【分析】(1)求出可求切线方程;(2)(i)当时,曲线和有公共点即为在上有零点,求导后分类讨论结合零点存在定理可求.(ii)曲线和有公共点即,利用点到直线的距离得到,利用导数可证,从而可得不等式成立.【小问1详解】,故,而,曲线在点处的切线方程为即.【小问2详解】\n(i)当时,因为曲线和有公共点,故有解,设,故,故在上有解,设,故在上有零点,而,若,则恒成立,此时在上无零点,若,则在上恒成立,故在上为增函数,而,,故在上无零点,故,设,则,故在上为增函数,而,,故上存在唯一零点,且时,;时,;故时,;时,;所以在上为减函数,在上为增函数,故,因为在上有零点,故,故,而,故即,设,则,故在上为增函数,而,故.\n(ii)因为曲线和有公共点,所以有解,其中,若,则,该式不成立,故.故,考虑直线,表示原点与直线上的动点之间的距离,故,所以,下证:对任意,总有,证明:当时,有,故成立.当时,即证,设,则(不恒为零),故在上为减函数,故即成立.综上,成立.下证:当时,恒成立,,则,故在上为增函数,故即恒成立.下证:在上恒成立,即证:,即证:,即证:,而,故成立.故,即成立.【点睛】\n思路点睛:导数背景下零点问题,注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理,而多变量的不等式的成立问题,注意从几何意义取构建不等式关系,再利用分析法来证明目标不等式.
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高考 - 历年真题
发布时间:2022-08-26 11:00:03
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文章作者:随遇而安
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