2022版高考数学 3-2-1精品系列 专题07 直线与圆的方程

2022版高考数学3-2-1精品系列专题07直线与圆的方程（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.②会推导空间两点间的距离公式.考纲解读：直线问题难度不大，单独命题可能性不大，常与圆、圆锥曲线相结合，要注意数形结合、分类讨论思想的应用；直线的平行与垂直常与充要条件的判断相结合；直线方程要注意适用的条件，特别是点斜式与斜截式应用较多，要注意分类讨论.直线与圆的位置关系一直是命题的热点，多在选择、填空题中出现；会用待定系数法求圆的方程；注意利用圆的性质解题（相切、弦长、位置关系等）近几年考点分布直线与圆的方程考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。直线与圆的方程所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。【考点pk】名师考点透析考点一、直线的方程例1.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.\n(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则。2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.考点二、两直线的位置关系例2.求过两直线l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0的交点，且与直线3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.∴=，故直线l2也是符合条件的一解.综上所述，所求直线方程为x+5y+5=0或5x-y-1=0.【名师点睛】1.直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2k1=k2；②l1l2k1k2=－1。（2）若若A1、A2、B1、B2都不为零。①l1//l2；②l1l2A1A2+B1B2=0；③\nl1与l2相交；④l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.2.夹角与到角：l1到l2的角：直线l1绕交点依逆时针旋转到l2所转的角θ∈有tanθ=（k1·k2≠-1）。l1与l2的夹角θ，θ∈有tanθ=||（k1·k2≠-1）。2．3.距离考点三、曲线与方程例3、已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|.化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.【名师点睛】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题——直接法＋待定系数法；（2）双动点的轨迹问题——代入法；（3）多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法。求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置上），这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。考点四、圆的方程例4.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解(1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.\n又∵动圆过点(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组可得或故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=.当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.【名师点睛】（1）圆方程的三种形式　　参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是（其中θ为参数）．　　以（a，b）为圆心、r为半径的圆的参数方程为（θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于y轴的直线与圆的右交点A与圆心C的连线为始边、以C与动点P的连线为终边的旋转角，如图所示．　　三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：　　　　2．二元二次方程是圆方程的充要条件　　“A=C≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条件．　　二元二次方程表示圆的充要条件为“A=C≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．　　3．参数方程与普通方程　　我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．　　要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，考点五、直线、圆的位置关系例5.从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解方法一如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，\n反射光线的斜率k反=.方法三设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴消去b得=1.即12k2+25k+12=0,∴k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.【名师点睛】1.直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d<rΔ>0；相离d>rΔ<0。2.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。；\n；；；；外离外切相交内切内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决【三年高考】10、11、12高考试题及其解析2022年高考试题及解析一、选择题．（2022年高考（陕西理））已知圆,过点的直线,则（　　）A．与相交B．与相切C．与相离D．以上三个选项均有可能．（2022年高考（天津理））设,,若直线与圆相切,则的取值范围是（　　）A．B．C．D．【解析】∵直线与圆相切,∴圆心\n到直线的距离为,所以,设,则,解得.．（2022年高考（重庆文））设A,B为直线与圆的两个交点,则（　　）A．1B．C．D．2．（2022年高考（山东文））圆与圆的位置关系为（　　）A．内切B．相交C．外切D．相离【解析】两圆心之间的距离为,两圆的半径分别为,则,故两圆相交.答案应选B.．（2022年高考（辽宁文））将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是（　　）A．x+y-1=0B．x+y+3=0C．x-y+1=0D．x-y+3=0【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选C【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中.．（2022年高考（湖北文））过点的直线,将圆形区域分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（　　）A．B．C．D．【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线垂直即可.又已知点,则,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点,故由点斜式得,所求直线的方程为,即.故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线垂直,利用这一条件求出斜率,进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.．（2022年高考（广东文））在平面直角坐标系中,直线与圆相交于、两点,则弦的长等于（　　）\nA．B．C．D．1【解析】圆心到直线的距离为,所以弦的长等于．（2022年高考（福建文））直线与圆相交于两点,则弦的长度等于A．B．.C．D．1．（2022年高考（大纲文））正方形的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为（　　）A．8B．6C．4D．3【解析】结合已知中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞8次即可.．（2022年高考（安徽文））若直线与圆有公共点,则实数取值范围是A．B．C．D．．（2022年高考（重庆理））对任意的实数k,直线y=kx+1与圆的位置关系一定是A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】圆心到直线的距离为,且圆心不在该直线上.法二:直线恒过定点,而该点在圆内,且圆心不在该直线上,故选C.\n【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用与的大小为判断.当时,直线与圆相交,当时,直线与圆相切,当时,直线与圆相离.二、填空题．（2022年高考（浙江文））定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______.．（2022年高考（天津文））设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值为_________.【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离满足,所以,即圆心到直线的距离,所以.三角形的面积为,又,当且仅当时取等号,所以最小值为.．（2022年高考（上海文））若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示).【解析】,所以的倾斜角的大小为.．（2022年高考（山东文））如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为____.【解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P旋转CD了弧度,此时点的坐标为\n.另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为,且,则点P的坐标为,即.．（2022年高考（江西文））过直线上点作圆的两条切线，若两条切线的夹角是,则点的坐标是__________。．（2022年高考（北京文））直线被圆截得的弦长为_____________【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为,圆心到直线的距离,以及圆半径构成了一个直角三角形,因此.【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识,由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆,对于二生来说,可能能些陌生,直线与圆相交求弦长,利用直角三角形解题,也并非难题.．（2022年高考（天津理））如图,已知和是圆的两条弦.过点作圆的切线与的延长线相交于点,过点作的平行线与圆相交于点,与相交于点,,,,则线段的长为______________.【解析】∵,,,由相交弦定理得,所以,又∵BD∥CE,∴,=,设\n,则,再由切割线定理得,即,解得,故.．（2022年高考（浙江理））定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=．（2022年高考（江苏））在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是____.【解析】∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1.∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点;∴存在,使得成立,即.∵即为点到直线的距离,∴,解得.∴的最大值是.11年高考试题及解析1、（江苏14）、设集合,,若则实数m的取值范围是______\n解析：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有.又因为2、（四川文3）.圆的圆心坐标是（）(A)(-2，3)(B)(-2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，-3)解析：把圆化为标准方程为，故圆的圆心坐标为.本题也可以利用，计算可得.答案：D3、（全国文11).设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=(A)4(B)(C)8(D)4、（浙江文12).若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______【解析】：，即5、（湖南文15）．已知圆直线（1）圆的圆心到直线的距离为．(2)圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为．解析：（1）由点到直线的距离公式可得；\n（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.6、（湖北文14）.过点(－1,－2)的直线被圆截得的弦长为,则直线的斜率为7、（辽宁文13）已知圆C经过A（5.1），B（1.3）两点，圆心在X轴上，则C的方程为___________。答案：解析：直线AB的斜率是kAB=，中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程，由得圆心坐标C（2,0），r=|AC|=,故圆的方程为。8、（安徽文4).若直线过圆的圆心,则a的值为（A）1(B)1(C)3(D)3[【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（－1,2），代入直线得.9、（重庆文13）．过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为10、（重庆理8）.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）（B）（C）（D）解析：由题意，AC为直径，设圆心为F，则,圆的标准方程为\n，故，由此，易得：，又，所以直线BD的方程为，F到BD的距离为，由此得，所以四边形ABCD的面积为选B11、（重庆理15）.设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为解析：。为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：12、（上海文5）.直线过点，且是它的一个法向量，则的方程为【解析】：则的方程为即13、（安徽文17）.设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆上.而\n所以与的交点p的（x,y）在椭圆上（方法二）与的交点p的（x,y）满足：，，从而，代入得，整理得2022年高考试题及解析一、选择题1（2022江西理数）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A2（2022安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是\n（A）x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D）x+2y-1=0【解析】设直线方程为，又经过，故，所求方程为.【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.3（2022重庆文数）（8）若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）4（2022重庆理数）(8)直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为A.B.C.D.解析：数形结合由圆的性质可知故5（2022广东文数）若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线\n相切，则圆的方程是A．B．C．D．【解析】由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C，在，，故，选D.6（2022全国卷1理数）（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A)(B)(C)(D)【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，===，令，则，即，由是实数，所以，，解得或.故.此时.7（2022安徽理数）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、B、C、D、和\n单调递增区间.二、填空题1（2022上海文数）7.圆的圆心到直线的距离。解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线距离为2（2022湖南文数）14.若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为-1,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为3（2022全国卷2理数）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离．4（2022山东文数）（16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为.答案：5（2022四川理数）（14）直线与圆相交于A、B两点，则\n.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2圆心到直线的距离为d＝故得|AB|＝2答案：26（2022天津文数）（14）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为。【答案】本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。7（2022广东理数）12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是12．．设圆心为，则，解得．8（2022四川文数）(14)直线与圆相交于A、B两点，则.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2圆心到直线的距离为d＝故得|AB|＝2答案：29（2022山东理数）\n【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。10（2022江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[解析]考查圆与直线的位置关系。圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。【两年模拟】2022年名校模拟题及其答案【江西省上饶县中学2022届高三上学期第三次半月考】设点,,如果直线与线段有一个公共点,那么()A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为【答案】A【四川省宜宾市高中2022届高三调研理】过点且垂直于直线的直线方程为(A)(B)(C)(D)【答案】A【陕西省长安一中2022届高三开学第一次考试理】已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（）A．B．1C．2D．4【答案】C【山东聊城市五校2022届高三上学期期末联考】如果函数的图象在\n处的切线l过点（），并且l与圆C：则点（a,b）与圆C的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不能确定【答案】D【2022湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】设直线的倾斜角为α，且，则a、b满足（）A．a+b=1B．a-b=1C．a+b=0D．a-b=0【答案】D【哈尔滨市六中2022学年度上学期期末】已知直线与直线平行，则的值为（）A.0或3或B.0或3C.3或D.0或【答案】D【2022大庆铁人中学第一学期高三期末】将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是A.（4，－2）B．（4，－3）C．（3，）D．（3，－1）【答案】A【安徽省六校教育研究会2022届高三联考】直线和把圆分成四个部分，则与满足的关系为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【福建省南安一中2022届高三上期末】已知直线与圆相交于两点，且则的值是（）A．B．C．D．0【答案】A【北京市东城区2022高三第一学期期末】在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为[来（A）（B）（C）（D）【答案】D【浙江省杭州第十四中学2022届高三12月月考】若存在直线l平行于直线\n，且与直线垂直，则实数k＝．【答案】0【黑龙江省绥棱一中2022届高三理科期末】圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为【答案】【哈尔滨市六中2022学年度上学期期末】设圆的一条切线与轴，轴分别交于点，则的最小值为.【答案】4【河南省郑州市2022届高三第一次质量预测】若直线平行，则实数的值为【答案】2或【广东省江门市2022年普通高中高三调研测试】已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是．【答案】8【临川十中2022学年度上学期期末】已知半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则的值是。【答案】【广东省执信中学2022第一学期期末】垂直于直线且与曲线相切的直线方程是．【答案】【甘肃省天水一中2022第一学期高三第四阶段考】过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P、Q,则直线PQ的方程是【答案】【北京市朝阳区2022届高三上学期期末考试】设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是.【答案】【哈尔滨市六中2022学年度上学期期末】设圆的一条切线与轴，\n轴分别交于点，则的最小值为.【答案】4【河南省郑州市2022届高三第一次质量预测】若直线平行，则实数的值为【答案】2或【广东省江门市2022年普通高中高三调研测试】已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是．【答案】8临川十中2022学年度上学期期末】已知半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则的值是。【答案】【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】直线与圆相交于，两点，,则k的取值范围是（）【答案】A【江苏省南京师大附中2022届高三12月检试题】过点（—1,—2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为．【答案】1或【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】经过点（－2，3），且与直线平行的直线方程为【答案】【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】过点A（2，-3），且法向量是的直线的点方向式方程是。【答案】【株洲市2022届高三质量统一检测】在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切。（1）求圆的方程；（2）若圆上有两点关于直线对称，且,求直线MN的方程；（3）圆与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。\n或…7分（3）不妨设．由得．设，由成等比数列，得，即…9分∴=由于点在圆内，故由此得．11分所以的取值范围为………12分2022年名校模拟题及其答案一、选择题：1．(福建省古田县2022年高中毕业班高考适应性测试文科)直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值是（C）A．B．C．D．2（北京龙门育才学校2022届高三上学期第三次月考）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交D．相离答案B.3(福建省三明市2022年高三三校联考文科)已知直线经过坐标原点，且与圆相切，切点在第四象限，则直线的方程为(C)A．B．C．D．4（北京五中2022届高三上学期期中考试试题理）若过定点且斜率为\n的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是()答案A.5（福建省三明一中2022届高三上学期第三次月考理）两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为A．B．C．D．答案C.6（福建省厦门双十中学2022届高三12月月考题理）已知点是曲线C:上的一点，过点与此曲线相切的直线平行于直线，则切线的方程是（）A．B．y=C．D．或答案A.7（福建省厦门外国语学校2022届高三11月月考理）已知圆与抛物线的准线相切，则p＝（▲）A、1B、2C、3D、4答案B.8（甘肃省天水一中2022届高三上学期第三次月考试题理）过点圆的切线,则切线方程为（）A．B．C．D．答案C.9（甘肃省天水一中2022届高三上学期第三次月考试题理）已知圆关于直线的最小值是（）A．4B．6C．8D．9答案D.\n10（广东省惠州三中2022届高三上学期第三次考试理）已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是（）（A）2（B）（C）或（D）2或答案D.11（广东省清远市清城区2022届高三第一次模拟考试理）曲线处的切线方程为A．B．C．D．答案C.12（贵州省遵义四中2022届高三第四次月考理）若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（   ）A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－8答案A13（黑龙江大庆实验中学2022届高三上学期期中考试理）若直线是曲线的切线，则=（）或14．（重庆市南开中学2022届高三12月月考文）已知圆C与直线都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）A．B．C．D．答案B.二、填空题：1（湖北省南漳县一中2022年高三第四次月考文）已知两点，则直线与轴的交点分有向线段的比为　　．答案2.2（甘肃省天水一中2022届高三上学期第三次月考试题理）设直线与圆\n相交于、两点，且弦的长为，则　　　　答案0.3（黑龙江省哈尔滨市第162中学2022届高三第三次模拟理）已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求=_____________。答案0.54（湖北省武汉中学2022届高三12月月考）设圆为常数）被轴所截得弦为AB，若弦AB所对圆心角为，则实数。答案6(福建省厦门市2022年高三质量检查理科)已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则m的值是-2。三、解答题：1(福建省福州市2022年3月高中毕业班质量检查理科)（本小题满分13分）已知点M(k,l)、P(m,n),(klmn≠0)是曲线C上的两点，点M、N关于轴对称，直线MP、NP分别交轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示和;（Ⅱ）当曲线C的方程分别为：、时，探究的值是否与点M、N、P的位置相关；（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为时，探究与经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论，无须证明).∴的值是与点M、N、P位置无关.…8分同理∵M,P在椭圆C：上,\n,(定值).∴的值是与点M、N、P位置无关.………11分（Ⅲ）一个探究结论是：．………13分证明如下：依题意,,.∵M,P在抛物线C：y2=2px(p>0)上,∴n2=2pm,l2=2pk..∴为定值.2（河北省唐山一中2022届高三理）已知过点（1,1）且斜率为（）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值.3(福建省三明市2022年高三三校联考文科)（本小题满分12分）已知可行域的外接圆与轴交于点、，椭圆以线段为长轴，离心率（1）求圆及椭圆的方程（2）设椭圆的右焦点为，点为圆上异于、的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。\n解：（1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形…………1分因为∴为直角三角形∴外接圆是以原点O为圆心，线段＝为直径的圆故其方程为…3分设椭圆的方程为∵∴又∴，可得故椭圆的方程为…5分所以直线的方程为，因此点的坐标为（2,…9分∵……10分∴当，∴当，∴综上，当时，，故直线始终与圆相切……12分\n【一年原创】原创试题及其解析1、直线y＝－x.与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是(　　)A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离D．直线过圆心解析：圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3.又圆心(2,0)到直线y＝－x的距离d＝＝＝r，∴直线与圆相切．答案：A2、直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　　)A．(0，－1)B．(－1，＋1)C．(－－1，＋1)D．(0，＋1)解析：圆心(0，a)，半径r＝a.∴>a，∴0<a<－1.答案：A3、若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB中点，则直线AB的方程是(　　)A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝0答案：A4、圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆的圆心(－1，－2)，半径R＝2，而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为.答案：C5、若直线2x－y＋C＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则C的值为(　　)A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－8答案：A6、若直线与曲线，（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为解析：选D如图所示，直线与圆相切之间的情形符合题意，计算圆心（2，0）到直线的距离等于圆半径1，即，解得，所以.7、过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)．则圆C的方程为.\n【答案】8、过点（2,3）作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为________．9、若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为。1610、一直线经过点P(－3，－)被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k的取值范围是[－，]．(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝.由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．12、已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB＝90°\n，求直线l的方程．【考点预测】2022高考预测（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；复习建议抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论；（4）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终【母题特供】母题一：金题引路：已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，（1）求k、b的值；（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数.\n母题二：金题引路：已知圆C经过P（4，–2），Q（–1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程．（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．解：(1)PQ为，C在PQ的中垂线∴所求圆的方程为(2)设l为由，得设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵，∴∴∴∴m=3或–4（均满足）∴l为母题三：\n金题引路：已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，的面积为．（1）试将表示成的函数，并求出其定义域；（2）求的最大值，并求取得最大时的值．（2）当且仅当时取等号，此时母题四：金题引路：已知圆O：，点O为坐标原点,一条直线：与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B（1）设,求的表达式；（2）若，求直线的方程；（3）若，求三角形OAB面积的取值范围.\n则由,所以所8分所以.…………9分（3）由（2）知：所以…………12分由弦长公式得所以解得…14分母题五：金题引路：如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．\n