22年高考数学复习一校五题选编

高考数学复习一校五题选编2022.5一、填空题1．（命题人：启东中学曹瑞彬，审题人：启东中学李俊，原创）若曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为．【解析】设，由，得，从而．点P的坐标为（1，0）．2．（命题人：启东中学曹瑞彬，审题人：启东中学李俊，原创）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，且，则角B的大小是．【解析】由余弦定理，得．则，即．所以B的大小是或．3．（命题人：启东中学李俊，审题人：启东中学曹瑞彬，原创）已知单位正方体ABCD－A1B1C1D1对棱BB1，DD1上有两个动点E、F，BE＝D1F，设EF与面AB1所成角为α，与面BC1所成角为β，则α＋β的最大值为．【解析】由对称性可知α＝β，又，所以α≤45°，α＋β≤90°．4．（命题人：启东中学俞向阳，审题人：启东中学李俊）设函数，集合M＝，P＝，若MP，则实数a的取值范围是．【解析】设函数，集合．若a>1时，M＝{x|1<x<a}；若a<1时，M＝{x|a<x<1}；a＝1时，M＝．27/27\n，∴＝>0．∴a>1时，P＝R，a<1时，P＝；已知，所以（1，＋∞）．5．（命题人：启东中学胡勇，审题人：启东中学李俊）已知命题P：．，不等式的解集为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围是．【解析】若和都正确，则由，有．由，有的解集为．用函数认识不等式，只需的最小值2此时．若和都不正确，则由，有．由，有其交集为空集，此时不存在．由题设知，，用补集思想，所求的取值范围为．6．（命题人：启东中学顾晏辉，审题人：启东中学李俊）己知：函数满足，又．则函数的解析式为．【解析】由已知，当时，原方程化为．由等式右边存在极限，处处可导．对原方程两边令，得．令，（为常数）．又，得．7．（命题人：如东中学何鹏，审题人：如东中学缪林，原创）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，俯视图主视图则它的体积的最大值与最小值之差为　　　　　　　．【解析】6．体积的最大值为16，体积最小值为10．8．（命题人：如东中学洪兵，审题人：如东中学何鹏，原创）27/27\n已知，，对任意，经过两点的直线与一定圆相切，则圆方程为　　　　　　　　　．【解析】经过两点的直线方程为．，．9．（命题人：如东中学唐勇，审题人：如东中学何鹏，由《中学数学教学参考》2022年第2期题目改编）打开“几何画板”软件进行如下操作：①用画图工具在工作区画一个大小适中的圆C；②用取点工具分别在圆C上和圆C外各取一个点A、B；③用构造菜单下对应命令作出线段AB的垂直平分线l；④作出直线AC．设直线AC与直线l相交于点P，当点A在圆C上运动时，点P的轨迹是____________．【解析】双曲线．由图可得，PC—PB＝PC—PA＝AC，或PB—PC＝PA—PC＝AC，从而点P到定点B、C的距离之差的绝对值是定长AC，由双曲线定义即可得．10．（命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华，改编）复数，满足，则与的大小关系是_________．【解析】因为，所以，．因为，所以，所以．11．（命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华，改编）已知的外接圆的圆心，，则的大小关系27/27\n为______．【解析】设的外接圆的半径为，，，．，．，．12．（命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华，改编）已知，则的值______【解析】∵，∴，∴，．∴＝＝．13．（命题人：海门中学黄卫平，审题人海门中学方伟）当x＝2时，下面这段程序输出的结果是___________．EndWhlie答案：13．14．（命题人：南通中学田宇龙，审题人：南通中学杨建楠，原创）极坐标系中，直线与曲线相交所得弦长为．【解析】直线，为过点且倾斜角为的直线，而曲线27/27\n表示的是一个椭圆；建立一个以椭圆的中心为原点的直角坐标系，则椭圆的标准方程为，直线的参数方程为，代入标准方程，得，弦长为．15．（命题人：南通中学田宇龙，审题人：南通中学杨建楠，原创）已知实数满足，，则的取值范围是．【解析】由柯西不等式，得，即．由条件，得．解得，当且仅当时等号成立．代入时，；时，．所以，的取值范围是．16．（命题人：南通中学赵栋，审题人：南通中学杨建楠，原创）f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf‘（x）－f（x）>0,对任意正数a、b，若a＜b，则的大小关系为．【解析】设，则，故为增函数，由a＜b，有．二、解答题17．（命题人：启东中学曹瑞彬，审题人：启东中学李俊，原创）在数列{an}中，已知，a1＝2，an＋1＋an＋1an－2an．对于任意正整数，（Ⅰ）求数列{an}的通项an的表达式；（Ⅱ）若（为常数，且为整数），求的最小值．27/27\n解：（Ⅰ）由题意，对于n∈N*，，且，即．由，得．则数列是首项为，公比为的等比数列．于是，即．（Ⅱ）由（Ⅰ），得．当时，因为，所以．又，故M的最小值为3．18．（命题人：启东中学李俊，审题人：启东中学曹瑞彬，原创）设顶点为的抛物线交轴正半轴于、两点，交轴正半轴于点，圆（圆心为）过、、三点，恰好与轴相切．求证：27/27\n．解：设、、三点的坐标为，，，圆的圆心坐标为，由韦达定理，知．原点到圆D的切线为，所以，即．故．点坐标为．由（1），．设交轴于，要证与圆相切，即证．如果，那么与相似，．所以只需证．而，，所以等价于，即只需要证．由，，所以与圆相切．19．（选题人：启东中学陈高峰，审题人：启东中学李俊）已知函数的图象x轴的交点至少有一个在原点右侧．（1）求实数m的取值范围；（2）令t＝－m＋2，求的值（其中[t]表示不大于t的最大整数）；（3）对（2）中的t，求函数的值域．【解析】若m＝0则符合题意．若m≠0，①m<0时，∵两根异号，∴必有一个负根．27/27\n②m>0时，由时，方程有两正根．综上得．（2）∵t＝－m＋2，∴．当t＝1时，，当t>1时，．（3）当t＝1时，；当t>1时，＝0，设[t]＝n，且t＝[t]＋a，则．于是．由函数时是增函数，及．设递减，∴．∴．递减，∴．于是t>1时，的值域为．综上的值域为．20．（选题人：启东中学陈兵，审题人：启东中学李俊）已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．（1）试证明的图象关于点成中心对称；（2）当时，求证：；27/27\n（3）对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．【解析】（1）∵，∴．由已知定理，得的图象关于点成中心对称．（2）先证明在上是增函数，只要证明在上是增函数．设，则，∴在上是增函数．再由在上是增函数，得当时，，即．（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意恒成立．∴方程无解，即方程无解或有唯一解．∴或由此得到．21．（选题人：启东中学徐建明，审题人：启东中学李俊）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）＝的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．（1）求证：M点的纵坐标为定值；（2）若Sn＝f（∈N*，且n≥2，求Sn．（3）已知an＝其中n∈N*．Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ（Sn＋1＋1）对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．27/27\n【解析】（1）证明：∵∴M是AB的中点．设M点的坐标为（x，y），由（x1＋x2）＝x＝，得x1＋x2＝1，则x1＝1－x2或x2＝1－x1．而y＝（y1＋y2）＝［f（x1）＋f（x2）］＝（＋log2＝（1＋log2＝（1＋log2＝（1＋log2∴M点的纵坐标为定值．（2）由（1），知x1＋x2＝1，f（x1）＋f（x2）＝y1＋y2＝1，Sn＝f（Sn＝f（，两式相加，得2Sn＝［f（）＋［f（）＋…＋［f（）＝，∴Sn＝（n≥2，n∈N*）．（3）当n≥2时，an＝Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝［（]＝（由Tn＜λ（Sn＋1＋1），得＜λ·∴λ＞27/27\n∵n＋≥4，当且仅当n＝2时等号成立，∴因此λ＞，即λ的取值范围是（＋∞）．22．（命题人：如东中学葛张勇，审题人：如东中学何鹏，由《中学数学教学参考》2022年第1期题目改编）有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任取2张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），共取3张卡片．（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率．【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．答：（略）．23．（命题人：如东中学何鹏，审题人：如东中学缪林，由2022年广东省韶关市高三摸底考试数学（理）第21题改编．）设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有．（Ⅰ）求，判断并证明函数的单调性；（Ⅱ）数列满足，且．①求通项公式．②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．27/27\n【解析】（Ⅰ）时，f（x）＞1．令x＝－1，y＝0，则f（－1）＝f（－1）f（0）．∵f（－1）＞1，∴f（0）＝1．若x＞0，则f（x－x）＝f（0）＝f（x）f（－x）．故，故x∈R，f（x）＞0．任取x1＜x2，，，故f（x）在R上减函数．（Ⅱ）①．由f（x）单调性，an＋1＝an＋2，故{an}等差数列，．②．∴是递增数列．当n≥2时，，，即．而a＞1，∴x＞1，故x的取值范围（1，＋∞）．24．（命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华．改编）已知数列满足，令，求证（1）数列是等比数列；（2）．解析：（1）27/27\n．∴＝，∵，∴．∴数列是等比数列．（2）∵数列是等比数列，∴．∵，∴，∴．∵＝＝，∴．25．（命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华．改编）已知圆O的方程为过直线上的任意一点P作圆O的切线PA、PB．四边形OABP的面积取得最小时的点P的坐标（m，n）设．（1）求证：当恒成立；（2）讨论关于的方程：根的个数．解析：（1）＝．当取得最小值时取得最小，过点O作垂直于直线，交点为，27/27\n易得，∴．∴．∴，∴在是单调增函数，∴对于恒成立．（2）方程，∴．∵，∴方程为．令，，当上为增函数；上为减函数，当时，，∴、在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当时，方程无解．②当时，方程有一个根．③当时，方程有两个根．26．（命题人：海门中学方伟，审题人：海门中学沈永飞）解不等式．解：（Ⅰ）当x<－2时，得－（2x－1）－（x＋2）<4，得，此不等式无解．（Ⅱ）当－2x<，得－（2x－1）＋（x＋2）<4，得x>－1，．（Ⅲ）当x时，得（2x－1）＋（x＋2）<4，得．综上，原不等式的解集为（－1，1）．27．（命题人：海门中学周裕冲，审题人：海门中学方伟）已知函数在点P处的切线方程为，又27/27\n．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值；（3）若函数在区间上的值域为，求应满足的条件．解：（1）由题设，知，，，解得，所以．（2）由，得．由，得．的单调增区间是，单调减区间为．当时，取得极大值0，当时，取得极小值．（3）由（2）知，在上是增函数，在上是减函数．因为，所以，所以．此时，由，得．所以．综上，．28．（命题人：海门中学陈达，审题人：海门中学方伟）结论：圆C：与x轴相交于M、N两点，设点P是圆C上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．（1）写出以上结论在椭圆中的推广，并加以证明；（2）将（1）的结论类比到双曲线，并加以证明．27/27\n解：（1）设椭圆与x轴交于M、N两点，设点P是椭圆上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．证明：由题意，设，则，所以，所以．是定值．（2）设双曲线与x轴交于M、N两点，设点P是双曲线上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．证明：由题意，设，则，所以，所以．是定值．29．（命题人：海门中学陈达，审题人：海门中学方伟）已知函数的定义域为R，对任意实数满足，且．（1）求；（2）试用表示；（3）用，的表达式来表示．答案：（1）利用赋值法易得．（2）令，由条件，得，所以．（3）设，由条件，得，27/27\n所以．30．（命题人：海门中学方伟，审题人：海门中学沈永飞）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金解：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以表示公司每年的收益额，则的分布列为－ap1－pp公司每年收益的期望值为：E＝x（1－p）＋（x－p）p＝x－ap，要使公司收益的期望值等于a的10%，只需E＝0.1a，即x－ap＝0.1a，x＝（0.1＋p）a，应交的保险金为（0.1＋p）a．31．（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行．根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响．若甲第n局赢、平、输的得分分别记为、、令．（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）若随机变量满足（表示局数），求的分布列和数学期望．解：（I），即前3局甲2胜1平．由已知，甲赢的概率为，平的概率为，输的概率为，∴．概率为（II）时，，且最后一局甲赢，；27/27\n的分布列为45∴32．（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，P，E的坐标为A（0，0，0），，，，，，从而设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为．（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为，则，由面PAC，可得∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为．33．（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示），求得重心G27/27\n（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程．xyOAB解析法一：∵直线AB的斜率显然存在，∴设直线AB的方程为.，依题意，得①∴，②　．③∵，∴，即．④由③、④，得，∴．∴设直线AB的方程为．∴①可化为，∴．⑤设的重心G为，则⑥⑦由⑥，⑦，得，即，这就是得重心的轨迹方程．法二：∵AO⊥BO，直线OA，OB的斜率显然存在，　　　∴设AO、BO的直线方程分别为，．设，，依题意，可得　　　由得由得．设的重心G为，则27/27\n　①　　②由①②，可得，即为所求的轨迹方程．法三：（I）设△AOB的重心为G（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则（1）∵OA⊥OB，∴，即．　（2）又点A，B在抛物线上，有．代入（2）化简，得．∴，∴所以重心为G的轨迹方程为．34．（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）如图，过点A（6，4）作曲线的切线l．（1）求切线l的方程；（2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．解：（1）∵，∴，∴切线l的方程为，即．（2）令＝0，则x＝2．令＝0，则x＝－2．∴A＝＝＝．35．（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）已知数列（1）求；（2）证明．解：（1）方法一用数学归纳法证明：27/27\n1°当n＝0时，∴，命题正确．2°假设n＝k时，有则而又∴时命题正确．由1°、2°知，对一切n∈N，有方法二：用数学归纳法证明：1°当n＝0时，∴．2°假设n＝k时，有成立，令，在[0，2]上单调递增，由假设，有即也即当n＝k＋1时，成立，所以对一切．36．（命题人：南通中学田宇龙，审题人：南通中学杨建楠，原创）已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足，.（1）函数；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的最值及相应的n．【解析】（1）设，则直线与图象的两个交点为（1，0），．27/27\n，．（2）．，．，．数列是首项为1，公比为的等比数列，．（3）．令，则．，的值分别为，…，经比较距最近，∴当时，有最小值是，当时，有最大值是0.37．（命题人：南通中学赵栋，审题人：南通中学杨建楠，原创）设定义在上的函数的图象为C，C的端点为点A、B，M是C上的任意一点，向量，，，若，记向量.现在定义“函数在上可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中k是一个人为确定的正数．（1）证明：；（2）请你给出一个标准k的范围，使得[0，1]上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似.【解析】（1）由题意，x1≤x≤x2，即x1≤x1+（1－）x2≤x2，∴x1－x2≤（x1－x2）≤0．∵x1－x2<0，∴0≤≤1．（2）由=+（1－），得=．所以B、N、A三点在一条直线上．又由（1）的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同．27/27\n对于[0，1]上的函数y=x2，A（0，0），B（1，1），则有||=x－x2=，故．对于[0，1]上的函数y=x3，则有=x－x3=g（x）．在（0，1）上，g′（x）=1－3x2，可知在（0，1）上y=g（x）只有一个极大值点x=，所以函数y=g（x）在（0，）上是增函数;在（，1）上是减函数．又g（）=，故[0，]．经过比较，<，所以取k[，），则有函数y=x2在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y=x3在[0，1]上不可在标准k下线性近似．38．（命题人：南通一中黄健，审题人：南通一中吴勇贫）已知数列的前n项的和Sn，满足．（1）写出数列的前3项．（2）写出数列的通项公式．（3）设，是否存在正整数k，使得当n≥3时，，如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．解析：（1）（2）n≥3时，由，得．相减，得，．是等比数列．，．（3），当k为偶数时，．当n为奇数且n≥3时，27/27\n．当n为偶数且n≥3时，，所以存在k=6．39．（命题人：南通一中吴勇贫，审题人：南通一中黄健）已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点.（Ⅰ）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦的长度.解：（Ⅰ）曲线：（）表示直线．曲线：，，所以，即．（Ⅱ）圆心（3，0）到直线的距离，，所以弦长=．40．（命题人：如东丰利中学宋浩，审题人：如东丰利中学袁峰）下面的一组图形为某一四棱锥S—ABCD的侧面与底面。（1）请画出四棱锥S—ABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；（2）若SA⊥面ABCD，点E为AB的中点，点G为SC的中点，求证EG∥面SAD.（3）在（2）的条件下，求证：平面SEC⊥平面SCD；SDACB【解析】（1）存在一条侧棱垂直于底面（如右图）证明：∵SA⊥AB，SA⊥AD，AB∩AD=A.27/27\n∴SA⊥面ABCD.（2）取SD的中点F，连接GF，AF，则GF∥EA.又∵GF=CD=AB=AE，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥EG．又∵EG面SAD，AF面SAD，∴EG∥面SAD.（3）∵△SAD为等腰三角形，F为SD的中点，∴AF⊥SD.∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥CD.又∵AD⊥CD，∴CD⊥面SAD.∵AF面SAD，∴CD⊥AF，∴AF⊥面SCD.由（2）知，AF∥EG，所以EG⊥面SAD.又∵EG面SEC，∴面SEC⊥面SCD.41.（命题人：如东丰利中学花龙泉，审题人：如东丰利中学朱兵）已知向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中O为坐标原点，K为参数；（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（2）当k=时，求的最大值和最小值；（3）在（2）的条件下，将曲线向左平移一个单位，在x轴上是否存在一点P（m，0）使得过点P的直线交该曲线于D、E两点、并且以DE为直径的圆经过原点，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，则由，且O为原点得A（2，0），B（2，1），C（0，1）从而代入得为所求轨迹方程当K=1时，=0轨迹为一条直线当K1时，，若K=0，则为圆；若K，则为双曲线（2）当K=时，若或则为椭圆27/27\n方程为，即且　　从而又当时，取最小值，当时，取最大值16故，（3）在（2）的条件下，将曲线向左平移一个单位后曲线方程为假设存在过P（m,0）直线满足题意条件，不妨设过P（m,0）直线方程为设D（x1,y1）,E(x2,y2)，消去x得：即由韦达定理，得由于以DE为直径的圆都过原点则,即又因为即显然能满足故当42．（命题人：如东丰利中学王琴，审题人：如东丰利中学朱兵）某校通过几次模拟测试发现高三年级物化班的三门总分与选修物化的匹配不理想，学校决定进行物理、化学两门功课的培训，每位同学可以选择参加一门、两门或不参加。已知选物理的有40%，选化学的有35%。假设每个人对功课的选择是相互独立的，且各人的选择相互没有影响。（1）任选一位物化班学生，求该同学参加培训的概率。27/27\n（2）任选3名同学，记为3人中参加培训的人数，求的分布列和期望。【解析】：任选一位物化班学生，记“该人参加物理培训”为事件，“该人参加化学培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且P（A）=0.4，P（B）=0.35．（1）任选一位物化班学生，该人没有参加过培训的概率是P=（1-P（A））（1-P（B））=0.39所以该人参加过培训的概率是P=1-P=0.61（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布B（3，0.61），P（=k）=C0.610.39,，即的分布列是01230.0590.2780.4350.226的期望是E=0×0.059+1×0.278+2×0.435+3×0.226=1.826。一校五题用题情况学校题量学校题量学校题量基地5如东中学5南通中学5启东中学6栟茶中学0南通一中2海门中学6如皋中学0丰利中学3通州中学5海安中学0如皋一中5本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！27/27