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15均值不等式的应用课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

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均值不等式的应用[A级 基础巩固]1.(多选)下列说法正确的是(  )A.x+的最小值为2B.x2+1的最小值为1C.3x(2-x)的最大值为2D.x2+最小值为2-2解析:选BD 当x<0时,x+<0,故选项A错误;∵x2+1≥1,∴选项B正确;∵3x(2-x)=-3(x-1)2+3,故3x(2-x)的最大值为3,∴选项C错误;∵x2+=(x2+2)+-2≥2-2=2-2,选项D正确.故选B、D.2.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(  )A.1        B.C.2D.4解析:选D ∵ab=a+b≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4,故选D.3.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为(  )A.8B.7C.6D.5解析:选C 由已知,可得6=1,∴2a+b=6×(2a+b)=6≥6×(5+4)=54,7 当且仅当即a=b=18时等号成立,∴9m≤54,即m≤6,故选C.4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(  )A.a<v<B.v=C.<v<D.v=解析:选A 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s,∵b>a>0,则v==<=,又>=a,故选A.5.已知m>0,n>0,m+n=1且x=m+,y=n+,则x+y的最小值是(  )A.4B.5C.8D.10解析:选B 依题意有x+y=m+n++=1++=3++≥3+2=5,当且仅当m=n=时取等号.故选B.6.(多选)已知a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有(  )A.a+b有最大值2+2B.a+b有最小值2+2C.ab有最大值+1D.ab有最小值2+3解析:选BD 令a+b=s,ab=t,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式s≥2,则t-1≥2,由t>1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+2,a=b=+1取等号;s≥2,由s>2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+2,a=b=+1取等号;故选B、D.7.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度c(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为c=,则经过_______h后池水中该药品的浓度达到最大.7 解析:c==.因为t>0,所以t+≥2=4.所以c=≤=5,当且仅当t=,即t=2时,c取得最大值.答案:28.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y=-x2+12x-25,则每辆客车营运________年时,年平均利润最大.解析:∵y=-x2+12x-25,∴年平均利润为==-+12≤-2+12=2,当且仅当x=,即x=5时,等号成立.答案:59.已知x>0,y>0且2x+5y=20.(1)求xy的最大值;(2)求+的最小值.解:(1)∵2x+5y=20,x>0,y>0,∴2x+5y≥2,∴2≤20,即xy≤10,当且仅当x=5,y=2时,等号成立,∴xy的最大值为10.(2)+=·(2x+5y)==≥(7+2),当且仅当x=y时,等号成立.∴+的最小值为(7+2).7 10.某人准备租一辆车从孝感出发去武汉,已知从出发点到目的地的距离为100km,按交通法规定:这段公路车速限制在40~100(单位:km/h)之间.假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率为L/h,其中x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元,不考虑其他费用,这次租车的总费用最少是多少?此时的车速x是多少?(注:租车总费用=耗油费+司机的工资)解:设总费用为y元,由题意,得y=76.4×+7.2××=+2x(40≤x≤100).因为y=+2x≥2=280.当且仅当=2x,即x=70时取等号.所以这次租车的总费用最少是280元,此时的车速为70km/h.[B级 综合运用]11.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是(  )A.a+b+≥2B.≥C.≥a+bD.(a+b)≥4解析:选ACD 因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A一定成立.因为a+b≥2>0,所以≤=,当且仅当a=b时取等号,所以≥不一定成立.故B不成立.因为≤=,当且仅当a=b时取等号,所以==a+b-≥2-=,当且仅当a=b时取等号,所以≥,7 所以≥a+b,故C一定成立.因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立,故选A、C、D.12.设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则--的上确界为(  )A.-B.C.D.-4解析:选A 因为a,b为正实数,且a+b=1,所以+=×(a+b)=+≥+2=,当且仅当b=2a,即a=,b=时等号成立,因此有--≤-,即--的上确界为-.13.一个矩形的周长为l,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,l)的序号是(  )①(1,4);②(6,8);③(7,12);④.A.①③B.①③④C.②④D.②③④解析:选A 设矩形的长和宽分别为x,y,则x+y=l,S=xy.对于①(1,4),则x+y=2,xy=1,满足xy≤,符合题意;对于②(6,8),则x+y=4,xy=6,不满足xy≤,不符合题意;对于③(7,12),则x+y=6,xy=7,满足xy≤,符合题意;对于④,则x+y=,xy=3,不满足xy≤,不符合题意.综合,可作为数对(S,l)的序号是①③.14.已知不等式2x+m+>0对任意的x>1恒成立,求实数m的取值范围.7 解:∵2x+m+>0在x>1时恒成立,∴m>-2x-=-2=-2,又x>1时,x-1>0,x-1++1≥2+1=5,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立,∴-2≤-2×5=-10.∴m>-10,∴实数m的取值范围为{m|m>-10}.[C级 拓展探究]15.某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2021年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?解:(1)由题意,可知当m=0时,x=1,∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-,又每件产品的销售价格为1.5×元,∴y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0).(2)∵m≥0,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时等号成立,∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.7 故该厂家2021年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.7

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-14 17:00:03 页数:7
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文章作者:随遇而安

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