【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第十一篇 第1讲 抽样方法与总体分布的估计 理 湘教版
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第十一篇统计与概率第1讲 抽样方法与总体分布的估计A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·西安质检)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( ). A.46,45,56 B.46,45,53C.47,45,56 D.45,47,53解析 样本共30个,中位数为=46;显然样本数据出现次数最多的为45,故众数为45;极差为68-12=56,故选A.答案 A2.(2022·荣昌模拟)小波一星期的总开支分布如图(a)所示,一星期的食品开支如图(b)所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( ).11\nA.30%B.10%C.3%D.不能确定解析 由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元,其中鸡蛋开支30元.又由题图(a)知,一周的食品开支占总开支的30%,则可知一周总开支为1000元,所以鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%=3%.答案 C3.(2022·成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( ).A.101B.808C.1212D.2012解析 甲社区驾驶员的抽样比例为=,四个社区驾驶员总人数的抽样比例为=,由=,得N=808.答案 B4.(2022·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( ).A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差11\n解析 由题意可知,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错;甲、乙的成绩的方差分别为×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=,C对;甲、乙的成绩的极差均为4,D错.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是________.解析 设第1组抽取的号码为b,则第n组抽取的号码为8(n-1)+b,∴8×(16-1)+b=126,∴b=6,故第1组抽取的号码为6.答案 66.(2022·苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况,在1000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图可估计这1000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________.解析 低于60分学生所占频率为(0.002+0.006+0.012)×10=0.2,故低于60分的学生人数为1000×0.2=200,所以不低于60分的学生人数为1000-200=800.答案 800三、解答题(共25分)7.(12分)某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.解 用分层抽样方法抽取.具体实施抽取如下:11\n(1)∵20∶100=1∶5,∴=2,=14,=4,∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.(2)因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1~10编号与1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,02,…,69编号,然后用随机数表法抽取14人.(3)将2人,4人,14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.8.(13分)(2022·揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分如图,据此解答下列问题:(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数;(2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高.解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10=0.08.由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为2,所以全班人数为=25.(2)分数在[80,90]之间的频数为25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10=0.016.11B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)11一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2022·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列{an},若a3=8,且a1,a3,a7成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( ).A.13,12B.13,13C.12,13D.13,14解析 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),a3=8,a1a7=(a3)2=64,(8-2d)(8+4d11\n)=64,(4-d)(2+d)=8,2d-d2=0,又d≠0,故d=2,故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,样本的平均数为=13,中位数为=13,故选B.答案 B2.(2022·江西)样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为(≠).若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为( ).A.n<mB.n>mC.n=mD.不能确定解析 依题意得x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m,x1+x2+…+xn+y1+y2+…+ym=(m+n)=(m+n)α+(m+n)(1-α),∴n+m=(m+n)α+(m+n)(1-α),∴于是有n-m=(m+n)[α-(1-α)]=(m+n)(2α-1),∵0<α<,∴2α-1<0,∴n-m<0,即m>n.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2022·璧山质检)沈阳市某高中有高一学生600人,高二学生500人,高三学生550人,现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查,若抽取了一个容量为n的样本,其中高三学生有11人,则n的值等于________.解析 由=,得n=33(人).答案 334.(2022·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩在[16,18]的学生人数是__________________________________________________________________.11\n解析 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为=,所以成绩在[16,18]的学生人数为120×=54.答案 54三、解答题(共25分)5.(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,欧盟规定,从2022年开始,对CO2排放量超过130g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标),某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测,记录如下(单位:g/km):甲80110120140150乙100120xy160经测算发现,乙类品牌车CO2排放量的均值为乙=120g/km.(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差;(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好,求x的取值范围.解 (1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值甲==120(g/km),甲类品牌汽车的CO2排放量的方差s==600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值乙==120(g/km),得x+y=220,故y=220-x,所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s=,因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好,所以s<s,解得90<x<130.6.(13分)已知某单位有50名职工,现要从中抽取10名职工,将全体职工随机按1~50编号,并按编号顺序11\n平均分成10组,按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.(1)若第5组抽出的号码为22,写出所有被抽出职工(2)的号码;(2)分别统计这10名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,求该样本的方差;(3)在(2)的条件下,从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工,求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.解 (1)由题意,第5组抽出的号码为22.因为k+5×(5-1)=22,所以第1组抽出的号码应该为2,抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为=(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,所以样本方差为:s2=(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工,共有10种不同的取法:(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81).记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A,它包括的事件有(73,76),(76,78),(76,79),(76,81)共4个.故所求概率为P(A)==.11\n一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·新课标全国)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( ).A.ABB.BAC.A=BD.A∩B=∅解析 A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},则BA.答案 B2.(2022·浙江)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=( ).A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}解析 ∁UQ={1,2,6},∴P∩(∁UQ)={1,2}.答案 D3.(2022·郑州三模)设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则∁UM=( ).A.{1,4}B.{1,5}C.{2,3}D.{3,4}解析 U={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},∴∁UM={1,4}.答案 A4.(2022·长春名校联考)若集合A={x||x|>1,x∈R},B={y|y=2x2,x∈R},则(∁RA)∩B=( ).A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.∅解析 ∁RA={x|-1≤x≤1},B={y|y≥0},∴(∁RA)∩B={x|0≤x≤1}.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·湘潭模拟)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________.解析 ∵3∈B,又a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=1.答案 16.(2022·天津)集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________.解析 由|x-2|≤5,得-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,所以集合A中的最小整数为-3.答案 -3三、解答题(共25分)11\n7.(12分)若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,求实数a,b.解 ∵A=B,∴B={x|x2+ax+b=0}={-1,3}.∴∴a=-2,b=-3.8.(13分)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1)9∈(A∩B);(2){9}=A∩B.解 (1)∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B.∴2a-1=9或a2=9,∴a=5或a=-3或a=3.经检验a=5或a=-3符合题意.∴a=5或a=-3.(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A且9∈B,由(1)知a=5或a=-3.当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},此时A∩B={9};当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},不合题意.综上知a=-3.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2022·南昌一模)已知全集U=R,函数y=的定义域为M,N={x|log2(x-1)<1},则如图所示阴影部分所表示的集合是( ). A.[-2,1)B.[-2,2]C.(-∞,-2)∪[3,+∞)D.(-∞,2)解析 图中阴影表示的集合是(∁UN)∩M,又M=(-∞,-2)∪(2,+∞),N=(1,3),(∁UN)=(-∞,1]∪[3,+∞),故(∁UN)∩M=(-∞,-2)∪[3,+∞).答案 C11\n2.(2022·潍坊二模)设集合A=,B={y|y=x2},则A∩B=( ).A.[-2,2]B.[0,2]C.[0,+∞)D.{(-1,1),(1,1)}解析 A={x|-2≤x≤2},B={y|y≥0},∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0,2].答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)3.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.其中正确结论的序号是________.解析 ①中-4+(-2)=-6∉A,所以不正确.②中设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确.③令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},3∈A1,2∈A2,但是,3+2∉A1∪A2,则A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.答案 ②4.已知集合A=,B={x|x2-2x-m<0},若A∩B={x|-1<x<4},则实数m的值为________.解析 由≥1,得≤0,∴-1<x≤5,∴A={x|-1<x≤5}.∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},∴有42-2×4-m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,故实数m的值为8.答案 8三、解答题(共25分)5.(12分)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=,试判定集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a组成的集合C.解 由x2-8x+15=0,得x=3或x=5.∴A={3,5}.(1)当a=时,由x-1=0,得x=5.11\n∴B={5},∴BA.(2)∵A={3,5}且B⊆A,∴若B=∅,则方程ax-1=0无解,有a=0.若B≠∅,则a≠0,由方程ax-1=0,得x=,∴=3或=5,即a=或a=,∴C=.6.(13分)(2022·衡水模拟)设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.(1)求(∁IM)∩N;(2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若B∪A=A,求实数a的取值范围.解 (1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},N={x|x2+x-6=0}={-3,2},∴∁IM={x|x∈R且x≠-3},∴(∁IM)∩N={2}.(2)A=(∁IM)∩N={2},∵B∪A=A,∴B⊆A,∴B=∅或B={2}.当B=∅时,a-1>5-a,∴a>3;当B={2}时,解得a=3.综上所述,所求a的取值范围是{a|a≥3}.11
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