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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第12讲 直线与圆的方程及应用
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第12讲 直线与圆的方程及应用
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专题四 平面解析几何第12讲 直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一,它包含两个C级考点,直线的方程和圆的方程.正常情况下,考一小(填空)一大(解答).小题常涉及直线方程及应用、圆锥曲线方程及其性质,有一定的计算量;大题往往考查圆锥曲线与圆或圆锥曲线与直线,涉及到方程、位置关系、定点、定值、定线等.圆与圆锥曲线的综合考查,对数学思想方法要求比较高,如能灵活使用待定系数法、定义法等求方程,能用配方法、换元法等,并结合图形将问题进行转化,通过函数、方程、不等式等思想来解决问题.1.理解直线的斜率和倾斜角的概念;掌握过两点的直线斜率的计算公式;了解直线的倾斜角的范围;理解直线的斜率和倾斜角之间的关系,二者能相互转化.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围;能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4.了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想;能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.5.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用;会求两条平行直线间的距离.6.掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标准方程与一般方程之间的关系,会进行互化.7.能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含);能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.答案:4解析:圆方程为(x-3)2+(y-4)2=25,圆心到直线的距离为d==,弦长为2=4.2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________.答案:x-2y=0或x+y-3=03.圆x2+y2=1与直线kx+y-k=0(k∈R为常数)的位置关系是________.答案:相交4.已知直线y=ax+3与圆x2+y2+2x-8=0相交于A、B两点,点P(x0,y0)在直线y=2x上,且PA=PB,则x0的取值范围为________.答案:(-1,0)∪(0,2)解析:圆x2+y2+2x-8=0的圆心为(-1,0),半径为3,由PA=PB,知点P在AB的垂直平分线上,而AB的垂直平分线方程为y=-(x+1),联立y=2x,得x0=-.因为直线y=ax+3与圆相交于两点,所以<3,解得a<-或a>0,从而x0的取值范围为(-1,0)∪(0,2).题型一直线的方程例1已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,-8-\n直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,求过圆心且与直线l垂直的直线的方程.解:由题意可设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意知+2=(a-1)2,解得a=3或-1.又圆心在x轴的正半轴上,所以a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0.题型二圆的方程例2已知m∈R,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0.(1)求直线l斜率的取值范围;(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?解:(1)直线l的方程可化为y=x-,则直线l的斜率k=,∵|m|≤(m2+1),∴|k|=≤,当且仅当|m|=1时等号成立,∴斜率k的取值范围是.(2)不能.由(1)知l的方程为y=k(x-4),其中|k|≤.圆C的圆心C(4,-2),半径r=2,圆心C到直线l的距离d=.由|k|≤,得d≥>1,即d>,从而若l与圆C相交,则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于,所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧.题型三直线与圆的位置关系例3如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB和△COD为两等腰直角三角形,A(-2,0)、C(a,0)(a>0).△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M、N.(1)若圆M与直线CD相切,求直线CD的方程;(2)若直线AB截圆N所得弦长为4,求圆N的标准方程;(3)是否存在这样的圆N,使得圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为,若存在,求此时圆N的标准方程;若不存在,说明理由.解:(1)∵圆心M(-1,1),∴圆M的方程为(x+1)2+(y-1)2=2.又直线CD方程为x+y-a=0,且圆M与直线CD相切,∴圆心M到直线CD的距离d==,化简得a=±2(舍去负值),∴直线CD的方程为x+y-2=0.(2)∵直线AB方程为:x-y+2=0,圆心N,-8-\n∴圆心N到直线AB距离为=.∵直线AB截圆N所得弦长为4,∴22+()2=,∴a=±2(舍去负值),∴圆N的标准方程为(x-)2+(y-)2=6.(3)存在.由(2)知圆心N到直线AB距离为(定值),且AB⊥CD始终成立,∴当且仅当圆N的半径=2,即a=4时,圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为,此时,圆N的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8.题型四与圆有关的综合问题例4在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O1(9,0),且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.(1)求圆O1的标准方程;(2)过定点P(a,b)作动直线l与圆O、圆O1都相交,且直线l被圆O、圆O1截得的弦长分别为d、d1.若d与d1的比值总等于同一个常数λ,求点P的坐标及λ的值.解:(1)由题设得圆O1的半径为4,所以圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l为y-b=k(x-a),即y-kx+ka-b=0.则O、O1到直线l的距离分别为h=,h1=,从而d=2,d1=2,由=λ,得64-=λ2[16-],整理得[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b2-λ2(16-b2)=0.由题意,上式对于任意实数k恒成立,所以64-a2-16λ2+λ2(a-9)2=0,2b[a-λ2(a-9)]=0,64-b2-λ2(16-b2)=0,由2b[a-λ2(a-9)]=0,得b=0或a-λ2(a-9)=0.①如果b=0,则64-16λ2=0,解得λ=2(舍去负值).从而a=6或18.所以λ=2,点P(6,0)或P(18,0).②如果a-λ2(a-9)=0,显然a=9不满足,从而λ2=,所以3a2-43a+192=0.但Δ=432-4×3×192=-455<0,因此该方程无实数根,舍去.当点P的坐标为(6,0)时,若直线l的斜率不存在,此时d=4,d1=2,所以=2,也满足.综上所述,满足题意的λ=2,点P有2个,坐标分别为(6,0)和(18,0).在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(-4,0)、B(4,0),动点P与A、B两点连线的斜率之积为-.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴右侧,圆M被y轴截得的弦长为r.①求圆M的方程;-8-\n②当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?如果存在,求出定直线l的方程;如果不存在,说明理由.解:(1)设P(x,y),则直线PA、PB的斜率分别为k1=,k2=.由题意知·=-,即+=1(x≠±4),所以动点P的轨迹方程是+=1(x≠±4).(2)①由题意知C(0,-2),A(-4,0),所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3.设M(a,2a+3)(a>0),则圆M的方程为(x-a)2+(y-2a-3)2=r2.圆心M到y轴的距离d=a,由r2=d2+,得a=,所以圆M的方程为+(y-r-3)2=r2.②假设存在定直线l与动圆M均相切.当定直线的斜率不存在时,不合题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+b,则=r对任意r>0恒成立.由=r,得r2+(k-2)(b-3)r+(b-3)2=(1+k2)r2,所以解得或所以存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切.1.(2022·陕西卷)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.答案:x2+(y-1)2=1解析:∵点(1,0)关于y=x的对称点是(0,1),∴圆心为(0,1),半径为1的标准方程为x2+(y-1)2=1.2.(2022·全国卷)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为P(1,3),则l1与l2的夹角的正切值是________.答案:解析:设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点P(1,3)在圆的外部,且点P与圆心O之间的距离为OP==,圆的半径为r=,∴sinθ==,∴cosθ=,-8-\ntanθ==,∴tan2θ===.3.(2022·福建卷)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件.答案:充分不必要解析:若直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,则圆心到直线距离d=,|AB|=2=2=2.若k=1,则|AB|=2=,d==,则△OAB的面积为××=成立,即充分性成立.若△OAB的面积为,则S=××2=×2=,解得k=±1,则k=1不成立,即必要性不成立.故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.4.(2022·重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.答案:4±解析:易知该等边三角形的边长为2,圆心到直线的距离为等边三角形的高h=,即=a=4±.5.(2022·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆C的半径为1,∴圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,∴=1,∴|3k+1|=,∴2k(4k+3)=0,∴k=0或k=-,∴所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)∵圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,∴设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.∵MA=2MO,∴设M为(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2-8-\n=4,设为圆D,∴点M应该既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有公共点,∴|2-1|≤≤|2+1|.由5a2-12a+8≥0得a∈R,由5a2-12a≤0得0≤a≤.综上所述,a的取值范围为.6.(2022·全国卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px,得x0=,所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2,所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x,得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故线段的AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又直线l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故线段MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.由于线段MN垂直平分线段AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1,-8-\n故所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(本题模拟高考评分标准,满分16分)(2022·苏北期末)已知△ABC的三个顶点A(-1,0)、B(1,0)、C(3,2),其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N,使得点M是线段PN的中点,求圆C的半径r的取值范围.解:(1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,所以外接圆圆心H(0,3),半径=,圆H的方程为x2+(y-3)2=10.(4分)设圆心H到直线l的距离为d,因为直线l被圆H截得的弦长为2,所以d==3.当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;(6分)当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=.综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.(8分)(2)直线BH的方程为3x+y-3=0,设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),因为点M是线段PN的中点,所以M.又M、N都在半径为r的圆C上,所以即(10分)因为该关于x、y的方程组有解,即以(3,2)为圆心、r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心、2r为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2.(12分)又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对m∈[0,1]成立.而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,故r2≤且10≤9r2.(15分)又线段BH与圆C无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对m∈[0,1]成立,即r2<.故圆C的半径r的取值范围为.(16分)1.已知实数x、y满足2x+y+5=0,那么的最小值为________.答案:2.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m=________.答案:或-33.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是________.答案:[1-2,3]解析:本题考查数形结合思想.曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,依据数形结合,当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b距离等于2,解得b=1+2或1-2.因为是下半圆故可得b≠1+2,当直线过(0,3)时,解得b=3,故1-2≤b≤3.4.已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A、B两点.(1)如果|AB|=,求直线MQ的方程;(2)求动弦|AB|的最小值.-8-\n解:(1)设Q(q,0),因为M(0,2),所以|MQ|==,而|MA|=r=1,从而在Rt△AMQ中,|AQ|===.又由题意和对称性可得,Rt△AMQ斜边MQ边上的高为h=|AB|=.由等面积法得·=,解得q=±,所以Q(±,0),将M、Q的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.(2)由(1)知,利用等面积法得|AB|·=|AB|==,从而当q=0时,动弦|AB|取到最小值.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M、N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).(1)求圆弧C2的方程;(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;(3)已知直线l:x-my-14=0与曲线C交于E、F两点,当EF=33时,求坐标原点O到直线l的距离.解:(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17),令y=0,得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0).又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225(x≥5).(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0.由解得x=-70(舍),由解得x=0(舍),综上知,这样的点P不存在.(3)因为EF>2r2,EF>2r1,所以E、F两点分别在两个圆弧上.设点O到直线l的距离为d,因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0),所以EF=15++,即+=18,解得d2=,所以点O到直线l的距离为.-8-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:21:20
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