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第三章圆锥曲线的方程3.1抛物线及其标准方程基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)
第三章圆锥曲线的方程3.1抛物线及其标准方程基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)
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抛物线及其标准方程1.(2021江苏连云港高二期中)焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x答案:A2.(2021北京延庆高二期中)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上的一点,过P作PQ⊥x轴于Q,若|PF|=3,则线段PQ的长为()A.2B.2C.22D.32答案:C3.(2021江西南昌十中高二期中)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,42)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于()A.2B.4C.6D.8答案:D4.(多选题)已知抛物线y2=10x,则下列说法中正确的是()A.焦点在y轴上B.焦点在x轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)答案:B;D5.(2021北京人大附中高二期中)已知抛物线y2=-12x的焦点与双曲线x2a-y24=1的一个焦点重合,则a=()A.5B.13C.5D.25答案:C6.(2021山东泰安高二期中)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,OF为菱形OBFC的一条对角线,另一条对角线BC的长为2,且点B,C在抛物线E上,则p=()A.1B.2C.2D.22答案:B5 7.(2021北京丰台高二期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M在抛物线C上,点N在准线l上,且MN⊥l.若|MF|=8,∠MFN=60∘,则p的值为()A.8B.4C.2D.1答案:B8.(2021安徽淮南一中高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-3,2),M在抛物线C上,若点N(2,4),则|MF|+|MN|的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案:D9.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.答案:(1)将双曲线的方程化为标准形式,可得其左顶点为(-3,0),故可知抛物线的焦点为(-3,0),由此设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则-p2=-3,得p=6,故抛物线的标准方程为y2=-12x.(2)由题意设抛物线的标准方程为y2=2nx(n≠0),因为A(m,-3)在抛物线上,所以(-3)2=2 nm,由|AF|=5,得m+n2=5,解得n=1或9,所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.素养提升练10.(2021湖南长沙长郡中学高二期中)苏州市的“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是“东方之门”的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线型,如图1,两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30 m,如图2,则此抛物线的顶端O到连桥AB的距离为()A.180 mB.200 mC.220 mD.240 m5 答案:B解析:根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由题意设D(15,h),B(30,h-150),则152=-2ph,302=-2p(h-150),解得h=-50,p=2.25,所以此拋物线的顶端O到连桥AB的距离为50+150=200m.11.(多选题)已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,圆C:x2+(y-1)2=16与抛物线E交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N,则下列四个命题中正确的是()A.点P的纵坐标的取值范围是(23,5)B.|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离C.圆C的圆心到抛物线准线的距离为2D.△PFN周长的取值范围是(8,10)答案:B;C;D解析:圆C:x2+(y-1)2=16的圆心为(0,1),半径r=4,与y轴正半轴的交点为(0,5).抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,5 联立圆的方程和抛物线的方程可得A,B两点的纵坐标均为3,所以点P的纵坐标yP∈(3,5),故A中命题错误;由抛物线的定义可得|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离,故B中命题正确;圆C的圆心到抛物线准线的距离为2,故C中命题正确;△PFN的周长为|PF|+|PN|+|NF|=r+yP+1=yP+5∈(8,10),故D中命题正确.12.(2021江西南昌江西师大附中高二期中)设F为抛物线x2=24y的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若F是三角形ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|=.答案:36解析:抛物线x2=24y的焦点为F(0,6),准线方程为y=-6,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由F是三角形ABC的重心得y1+y2+y33=6,所以y1+y2+y3=18,由抛物线的定义可知,|FA|+|FB|+|FC|=(y1+6)+(y2+6)+(y3+6)=36.创新拓展练13.某抛物线型拱桥水面的宽度20 m,拱顶离水面4 m,现有一船宽9 m,船在水面上高3 m.(1)建立适当的平面直角坐标系,求拱桥所在抛物线的标准方程;(2)试问:这条船能否从桥下通过?请说明理由.命题分析本题考查了抛物线方程的求法,抛物线中在实际问题的应用.答题要领(1)设抛物线为x2=-2py,将(10,-4)代入即可求得p=252;(2)将x=92代入,求得对应的纵坐标,再结合船高与限高即可判断.详细解析(1)以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴(向上)建立如图所示的平面直角坐标系.5 设拱桥所在抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点(10,-4)在抛物线上,所以102=-2p⋅(-4),解得p=252,所以拱桥所在抛物线的标准方程为x2=-25y.(2)当x=92时,y=-81100,所以此时限高为4-81100=319100>3,所以能通过.解题感悟本题解题关键在于合理建立模型,根据待定系数法求解.5
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