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第三章圆锥曲线的方程1.2椭圆的简单几何性质基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)

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椭圆的简单几何性质1.椭圆x24+y23=1的离心率为()A.72B.12C.32D.14答案:B2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点在直线x+43y=4上,则该椭圆的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.(±7,0)D.(0,±7)答案:C3.(2021吉林第一中学高二期中)设P(x,y)是椭圆x2+4y2=4上的一个动点,定点M(1,0),则|PM|2的最大值是()A.23B.1C.3D.9答案:D4.(2021天津耀华中学高二段考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x23+y24=1B.x24+y23=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1答案:D5.(2021辽宁大连高二期中)人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1,r2,则卫星轨道的离心率等于()A.r2-r12R+r1+r2B.r2+r12R+r1+r2C.r2-r12R+2r1D.r2-r12R+2r2答案:A6.(多选题)(2021湖南怀化高二联考)若椭圆C:x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论中正确的是()A.m=2B.C的长轴长为3C.C的短轴长为22D.C的离心率为33答案:A;C;D5 7.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若点P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60∘,则椭圆的离心率e的取值范围是()A.[22,1)B.(0,22)C.[12,1)D.[12,22)答案:C8.已知A为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,它关于原点对称的点为B,点F为椭圆的右焦点,且以AB为直径的圆过点F,当∠ABF=π6时,该椭圆的离心率是.答案:3-1素养提升练9.(多选题)(2021湖南三校高二期中)已知椭圆C:x24+y28=14x2+8y2=1内一点M(1,2),直线l与椭圆C交于A,B两点,且M为线段AB的中点,则下列结论正确的有()A.椭圆的焦点坐标为(2,0)、(-2,0)B.椭圆C的长轴长为22C.直线l的方程为x+y-3=0D.|AB|=433答案:C;D解析:由椭圆方程x24+y28=1可得焦点在y轴上,且a=22,b=2,c=2,∴椭圆的焦点坐标为(0,2),(0,-2),故A中结论错误;椭圆C的长轴长为2a=42,故B中结论错误;易知直线l的斜率存在,设其斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y128=1,x224+y228=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)8=0,∴2(x1-x2)4+4(y1-y2)8=0,解得k=y1-y2x1-x2=-1,则直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0,故C中结论正确;联立直线与椭圆的方程得x+y-3=0,x24+y28=1,整理得3x2-6x+1=0,5 ∴x1+x2=2,x1x2=13,∴|AB|=1+(-1)2×22-4×13=433,故D中结论正确.10.(2021北京平谷五中高二期中)已知焦点在x轴上的椭圆的方程为x24a+y2a2-1=1,随着a的增大,该椭圆的形状()A.越扁B.越接近于圆C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆答案:B解析:依题意有4a>0,a2-1>0,4a>a2-1,解得1<a<5+2,椭圆的离心率e=4a-a2+14a=12×4+1a-a,令f(a)=1a-a(1<a<5+2),容易判断f(a)在(1,5+2)上单调递减,则f(a)∈(-4,0),于是e∈(0,1),当a越来越大时,e越来越趋近于0,椭圆越来越接近于圆.11.(2021福建厦门外国语学校高二期中)椭圆E与椭圆x29+y28=1有共同的焦点,且经过点A(1,-32).(1)求椭圆E的标准方程和离心率;(2)设F为E的左焦点,M为椭圆E上任意一点,求OM⋅FM的最大值.答案:(1)由x29+y28=1可得c=1,设椭圆E的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),因为椭圆E经过点A(1,-32),所以a2=1+b2,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1,e=ca=12.(2)由(1)可知椭圆E:x24+y23=1,所以F(-1,0),设M(x,y),则OM=(x,y),FM=(x+1,y)所以OM⋅FM=x2+x+y2=x2+x+3(1-x24)=14(x+2)2+2,因为-2≤x≤2,所以当x=2时,OM⋅FM取得最大值,为14×(2+2)2+2=6,即OM⋅FM的最大值为6.5 创新拓展练12.如图,在平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆C上一点,且PF2⊥x轴,连接PF1并延长交椭圆于另一点Q,设PQ=λPF1.(1)若点P的坐标为(1,32),求椭圆C的方程;(2)若43≤λ≤32,求椭圆C的离心率e的取值范围.命题分析本题考查了椭圆方程及性质等知识,考查了转化思想、运算求解能力.答题要领(1)根据已知条件,建立方程组求解;(2)设P,Q的坐标,由PF2⊥x轴,且P在椭圆上,得点P的坐标,根据PQ=λPF1,求出点Q的坐标,代入椭圆方程,结合λ的取值范围求离心率的取值范围.详细解析(1)∵PF2⊥x轴,且点P的坐标为(1,32),∴a2-b2=c2=1,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)∵PF2⊥x轴,∴不妨设P在x轴的上方,则P(c,y0),y0>0.设Q(x1,y1),∵P在椭圆上,∴c2a2+y02b2=1,解得y0=b2a,即P(c,b2a).∵F1(-c,0),∴由PQ=λPF1得x1-c=λ(-2c),y1-b2a=-λb2a,解得x1=(1-2λ)c,y1=(1-λ)b2a,∴Q((1-2λ)c,(1-λ)b2a),∵点Q在椭圆上,∴(1-2λ)2e2+(1-λ)2b2a2=1,即(1-2λ)2e2+(1-λ)2(1-e2)=1,∴(3λ-2)e2=2-λ,从而e2=2-λ3λ-2=-13+433λ-2,∵43≤λ≤32,∴15≤e2≤13,解得55≤e≤33,∴椭圆C的离心率的取值范围是[55,33].5 解题感悟解决圆锥曲线的问题时,“在上必代入”,即已知某点在椭圆上,要考虑将该点的坐标代入,这样能使待求的问题转化为已知或熟悉的问题.5

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-13 18:00:06 页数:5
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文章作者:随遇而安

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