【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第六章 数列 等差数量及其前N项和 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第六章数列等差数量及其前N项和理（含2022试题）理数1.(2022福建,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(　　)A.8B.10C.12D.14[答案]1.C[解析]1.∵S3==3a2=12,∴a2=4.∵a1=2,∴d=a2-a1=4-2=2.∴a6=a1+5d=12.故选C.2.(2022辽宁,8,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则(　　)A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0[答案]2.C[解析]2.{}为递减数列,可知{a1an}也为递减数列,又a1an=+a1(n-1)d=a1dn+-a1d,故a1d<0,故选C.3.(2022天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，9)已知等差数列中，有，且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（  ）A．11　　   B．19　　  C．20　　   D．21[答案]3. B[解析]3. 设该等差数列的公差为d，由其前项和有最大值可得d＜0；由题意可得，即，又因为d＜0，可得，所以，故满足题意的n的最大值为19.4.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，6)等比数列满足，且，则当时，( )A.　　　　　　B.　　　　C.　　　　　　D.[答案]4. A[解析]4. 根据等比数列的性质可得，解得，当29\nn=1时，也适合上式，所以，所以.5.(2022山西太原高三模拟考试（一），4)已知等差数列的前n项和为Sn,,则使Sn取得最小值时n的值为(  )A.4　　B.5　　      　　C.6　　 　　D.7[答案]5. B[解析]5. 根据等差数列的性质可得，代入得，，解得，所以等差数列的通项公式为，当n=6时，；当n=5时.所以使Sn取得最小值为5.6.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，2)已知等差数列，满足，数列的前11项的和（  ）A．44           B．33           C．22           D．11[答案]6. A[解析]6. 因为数列等差数列，，所以，所以.7.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），4)等差数列的公差为1，随机变量ξ等可能的取值，则方差为(  )[答案]7. B [解析]7. 由已知可得：均值，所以=，选B. 29\n8.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,3)在等差数列中，则前7项的和等于（   ）A.28         B.14          C.3.5          D.7[答案]8.B[解析]8. 依题意，9.(2022广西桂林中学高三2月月考，7)等差数列的前项和为，若，则下列结论：①   ②   ③   ④其中正确结论是（   ）(A)①③　　(B)①④         (C)②③　　(D)②④[答案]9.C[解析]9. 依题意，，则且，所以，故选C.10.(2022湖北武汉高三2月调研测试，4)《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加[答案]10. B[解析]10. 由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：；其公差为，则，所以，，.故选B.11.(2022周宁、政和一中第四次联考，10)已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数满足    考察下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列.其中正确的结论是( )29\nA．①②③　　B．②③④　　C．①②④　　D．①③④[答案]11. D[解析]11. 令，则；令，则，，，故①正确；，，，是上的奇函数，故②不正确；，，由此类推，（共个），，数列为等比数列，故③正确，由，数列为等差数列，故④正确.故正确的有①③④.12.(2022重庆七校联盟,1)（创新）在等差数列中，若，则的前项和（  ）  A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．[答案]12. B[解析]12. 数列是等差数列，由，则.13.(2022天津七校高三联考,6)已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为（  ）（A）16        （B）32　　         （C）36　　    （D）72[答案]13. D[解析]13. 数阵中，每行的3个数一次成等差数列，每列的三个数也依次程等差数列，，，，，.14.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,6)已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（   ）29\nA.1         B.2         C.4           D.8[答案]14. D[解析]14.等差数列的各项不为0，且满足，，即，解得或（舍去），又，，又数列是等比数列，.15.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,5)已知等比数列{}的公比,且，，48成等差数列，则的前8项和为()A．127　　B．255　　C．511　　D．1023[答案]15.B[解析]15.由已知，即，可解得，故.16.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，4)在等差数列中，，则（   ） 　(A)15　　　(B)30　　　(C)45　　　　　(D)60[答案]16. D[解析]16. 数列是等差数列，，.17.(2022江西七校高三上学期第一次联考,5)在等差数列中，首项，公差，若，则（  ）A.22     B.23C.24     D.25[答案]17. A[解析]17. 数列是等差数列，，，，，.18.(2022兰州高三第一次诊断考试,11)如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点，在函数29\n的图象上，若点的坐标，记矩形的周长，则（   ）   A．208            B.216　　C.212　　   D.220[答案]18. B[解析]18. 点的坐标为，顶点、在函数的图象上，，依题意，，，，，又，数列数首项为4，公差为4的等差数列，.19.(2022安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.[答案]19.1[解析]19.设{an}的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).∴[(a1+1)+2(d+1)]2=(a1+1)[(a1+1)+4(d+1)],∴(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+[2(d+1)]2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),∴d=-1,∴a3+3=a1+1,∴公比q==1.20.(2022天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________.[答案]20.-[解析]20.S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1×(4a1-6),解得a1=-.21.(2022北京,12,5分)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.29\n[答案]21.8[解析]21.根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴当n=8时,{an}的前n项和最大.22.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，10）在等比数列中，,若为等差数列，且,则数列的前5项和等于___________.[答案]22.10 [解析]22. 由得(舍)或。从而，所以.23.(2022北京东城高三第二学期教学检测，9)记等差数列的前项和为，已知，.则_______.[答案]23.10[解析]23. 由已知可得，，可解得，，从而，故.24.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，14）设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是       .[答案]24. [解析]24. ，所以可得，又因为，所以可得.因为当且仅当时，数列的前项和29\n取得最大值，所以可得，解得.25.(2022周宁、政和一中第四次联考，12)设为等差数列的前项和，若公差则       .[答案]25. 5[解析]25. ，即，，，解得.26.(2022江苏苏北四市高三期末统考,12)设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 ▲ ．[答案]26. 129[解析]26. 设数列的首项为，公比为，由已知得，，，，解得或，当时，与矛盾，舍去，，，解得，，.27.(2022湖北黄冈高三期末考试)等差数列的前项和记为，若，，则的最大值为      .[答案]27. 16[解析]27. 等差数列的前项和为,，，即，，，，解得，.28.(2022湖南,20,12分)已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.29\n(Ⅰ)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(Ⅱ)若p=,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.[答案]28.查看解析[解析]28.(Ⅰ)因为{an}是递增数列,所以|an+1-an|=an+1-an=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=或p=0.当p=0时,an+1=an,这与{an}是递增数列矛盾.故p=.(Ⅱ)由于{a2n-1}是递增数列,因而a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①但<,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②由①,②知,a2n-a2n-1>0,因此a2n-a2n-1==.③因为{a2n}是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n<0,故a2n+1-a2n=-=.④由③,④知,an+1-an=.于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+-+…+=1+·=+·,故数列{an}的通项公式为an=+·.29\n29.(2022江苏,20,16分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.[答案]29.查看解析[解析]29.(1)证明:由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以{an}是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N*),下证{bn}是“H数列”.设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.同理可证{cn}也是“H数列”.所以,对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*).30.(2022课表全国Ⅰ，17，12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2-an=λ;(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.[答案]30.查看解析[解析]30.(Ⅰ)由anan+1=λSn-1,得an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(Ⅱ)a1=1,又a1a2=λS1-1,则可得a2=λ-1.由(Ⅰ)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.29\n因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.31.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，22）（原创）在数列中，已知，，其前项和满足。(1)   求的值；(2)   求的表达式；(3)   对于任意的正整数，求证：。[答案]31.查看解析[解析]31. (1)依次令可得，，；  (2)法一：由⑴猜想，下面用数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。  法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。  法三：由题，当时，，故，因此。又，故。(3)法一：由(2)知为等差数列，故。由29\n知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，从而。  法二：因为，所以，故，因此，从而，即。法三：(i)当时不等式显然成立；(ii)假设时不等式成立，即，则如“法二”可证，故，即当时不等式成立。综上得证。32.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22)已知数列｛｝中，,点在直线上，其中.（1）令，求证数列是等比数列;（2）求数列的通项；⑶ 设分别为数列的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由.[答案]32.查看解析29\n[解析]32.解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.　　       4分（II）由（I）知，将以上各式相加得：　　 　　　　            8分（III）解法一：存在，使数列是等差数列.29\n数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.         14分解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又当且仅当时，数列是等差数列.　　        14分33.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,19)在数列中，其前项和为，满足.29\n（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设（为正整数）,求数列的前项和.[答案]33.查看解析[解析]33.(Ⅰ)由题设得:,所以所以，当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故.（5分）（Ⅱ）由(Ⅰ)知:，，（9分）设则两式相减得：整理得：，所以.     （12分）34.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，17)已知等差数列中，；是与的等比中项．29\n（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[答案]34.查看解析[解析]34.（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时,，；当时，.所以或.    （6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以.    （13分）35.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，18)已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[答案]35.查看解析[解析]35.（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.29\n又，，.（6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。的最小正整数为4. （12分）36.(2022河北唐山高三第一次模拟考试，17)在中，角、、的对边分别为，且.   （Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）若成等差数列，且公差大于0，求的值.[答案]36.查看解析[解析]36.（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4分）（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得.　　　　①设，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②①2＋②2，得.　　　　　　　　　　　　　　③　　（7分）又，，所以0°＜＜90°，，故.　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10分）代入③式得.29\n因此.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）37.(2022广东广州高三调研测试，19)已知数列满足，，.(Ⅰ)求证：数列为等比数列；(Ⅱ)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.[答案]37.查看解析[解析]37.解：(Ⅰ)因为，所以.所以.因为，则.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以.假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有由与，得.（10分）即.因为，所以.29\n因为，当且仅当时等号成立，这与，，互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数，，满足条件.（14分）38.(2022北京东城高三第二学期教学检测，20)在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.[答案]38.查看解析[解析]38.（Ⅰ）由条件得，由此可得.猜测.（4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立.（7分）（Ⅱ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以29\n.综上所述，原不等式成立.(12分）39.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，17)数列满足，等比数列满足.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.[答案]39.查看解析[解析]39.（Ⅰ）由，所以数列是等差数列，又，所以，由，所以，，所以，即，所以.    （6分)  （Ⅱ）因为，所以，则，所以，两式相减的，所以.(12分）40.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，18）已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{}的前n项和，求使不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；29\n[答案]40.查看解析[解析]40. （Ⅰ）设数列{an}的公差为d，∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分∴=．…………………………………………6分∴Tn===≥，…………………………………………8分又∵不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，∴≥，…………………………………………10分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分41.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中 （1）求的通项公式； （2）令求的前20项和。[答案]41.查看解析29\n[解析]41.42.(2022湖北武汉高三2月调研测试，18)已知数列{an}满足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*．（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．[答案]42.查看解析[解析]42.解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，∴a＝(2－a1)2，解得a1＝1．当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－（舍去）或a1＝2＋．综上可得a1＝1或a1＝2＋．……………………………………………………6分（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2．当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．………………………12分43.(2022湖北八市高三下学期3月联考，18)己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．  （I）求数列{an}的通项公式；  （II）设Tn为数列的前n项和，若Tn≤¨对恒成立，求实数的最小值．[答案]43.查看解析[解析]43. （Ⅰ）设公差为d.由已知得……………………………3分29\n解得，所以………………………………6分（Ⅱ），………………………………9分        对恒成立，即对恒成立         又        ∴的最小值为……………………………………………………………12分44.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），18)已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.   （Ⅰ）求数列的通项公式；   （II）数列满足，求证：，[答案]44.查看解析[解析]44. （Ⅰ）成等差数列,∴，，当时，,两式相减得：.所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分）   (Ⅱ)， （8分），29\n.         （12分）45.(2022江苏苏北四市高三期末统考,20)已知数列满足，，，是数列的前项和.（Ⅰ）若数列为等差数列.（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.[答案]45.查看解析[解析]45.   解析 （Ⅰ）（ⅰ）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为，（5分）所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，.（9分）  （Ⅱ）由知，两式作差，得，所以,作差得，（11分）所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，29\n所以，解得，，故实数的取值范围为.（16分）46.(2022重庆七校联盟,22)设数列{an}的前项和为，满足，且，，成等差数列．    （Ⅰ）求，，的值；    （Ⅱ）求证：数列是等比数列   （Ⅲ）证明：对一切正整数，有．[答案]46.查看解析[解析]46.   解析 （Ⅰ）因为，，成等差数列，所以，当时，，当时，，解方程组得，，，． （3分）   （Ⅱ）由，得，两式相减得，．，所以是首项为3，公比为3的等比数列．（7分）（Ⅲ）由，又，，，即．，，所以当时，，，，，两边同时相乘得，所以．（12分）47. (2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,18)已知数列与，若且对29\n任意正整数满足数列的前项和.  （Ⅰ）求数列的通项公式；  （Ⅱ）求数列的前项和[答案]47.查看解析[解析]47.   解析 （Ⅰ）因为对任意正整数满足，所以是公差为2的等差数列  又因为所以，    （2分）当时，；，当时，，对不成立。所以，数列的通项公式: (5分)    （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时 ，当时   （8分）所以，      ，当时仍成立.所以对任意正整数成立.　　         (12分)48.(2022江西七校高三上学期第一次联考,17)函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是求数列的前项的和.[答案]48.查看解析[解析]48. （Ⅰ）29\n    .令，所以所以的单调递减区间为.（6分）（Ⅱ）将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到，解法一：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、、、、，则由余弦曲线的对称性，周期性可知，.　　 （12分）解法二：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、、、、，则，.  （9分）由余弦曲线的周期性可知，；所以.    （12分）49.(2022湖北黄冈高三期末考试)等比数列的前项和，已知，，，成等差数列.（1）求数列的公比和通项；（2）若是递增数列，令，求.29\n[答案]49.查看解析[解析]49.（1）由已知条件得或.         (5分)(2)若是递增数列，则，当时，；当时，       (12分)50.(2022北京东城高三12月教学质量调研)定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列.对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（）.（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为2022，Sn是数列的前n项和，且满足4，证明是“三角形”数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2022≈3.304）[答案]50.查看解析[解析]50.解：（Ⅰ）显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列.因为，显然有<<<……，由<<得，解得<k<.所以当k∈（1，）时，29\n是数列的保三角形函数.        （3分）（Ⅱ）由，得，，两式相减得，所以，（5分）经检验，此通项公式满足∴，显然，因为cn+1+cn+2=2022（）n+2022（）n+1=2022（）n-1>cn，所以{cn}是三角形数列.　　（8分）（Ⅲ），所以{g（cn）}单调递减.由题意知，①且②，由①得，解得n<27.4，由②得，解得n<26.4.即数列{cn}最多有26项.　　（14分）29