【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第11章 第4节 随机事件的概率、互斥事件的概率(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第4节随机事件的概率、互斥事件的概率北师大版一、选择题1.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175]的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为( )A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8[答案] B[解析] “身高小于160cm”“身高在[160,175]cm”“身高超过175cm”三个事件互斥,由概率的性质知,身高超过175cm的概率为P=1-(0.2+0.5)=0.3.2.掷一枚均匀的硬币两次,事件M:一次正面朝上,一次反面朝上;事件N:至少一次正面朝上,则下列结果正确的是( )A.P(M)=,P(N)=B.P(M)=,P(N)=C.P(M)=,P(N)=D.P(M)=,P(N)=[答案] D[解析] P(M)=,P(N)=1-×=.3.(文)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是( )A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定[答案] B[解析] 抛一枚硬币,正面向上的次数是随机的,因此抛10次正面向上5次是随机事件.(理)在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的关系是( )A.P(A)≈B.P(A)<C.P(A)>D.P(A)=[答案] A[解析] 随着试验次数n的增大,频率就越接近事件A的概率.故选A.-7-\n4.(文)从6名学生中选取4人参加数学竞赛,其中A同学被选中的概率为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 从6名学生中选4人,每人被选中的可能性都是=,∴P(A)=.∴选D.(理)某班有60名学生,其中女生24人,现任选一人,则选中男生的概率为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 由题意知男生有60-24=36(人),故男生选中的概率为=.5.从1,2,…,9中任取2个数,其中①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数;②至少有1个是奇数和两个都是奇数;③至少有1个是奇数和两个都是偶数;④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )A.①B.②④C.③D.①③[答案] C[解析] 因为至少有1个是奇数和2个都是偶数不可能同时发生,且必有一个发生,属于对立事件.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=30°,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为a,b,则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 要使△ABC有两个解,需满足的条件是因为A=30°,所以满足此条件的a,b的值有b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;b=5,a=4;b=6,a=4;b=6,a-7-\n=5,共6种情况,所以满足条件的三角形有两个解的概率是=.二、填空题7.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________,________.[答案] 0.97 0.03[解析] 断头不超过两次的概率P1=0.8+0.12+0.05=0.97;于是断头超过两次的概率P2=1-P2=1-0.97=0.03.8.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为0.3,两人下成和棋的概率为0.5,那么甲不输的概率是________.[答案] 0.8[解析] “甲获胜”记为事件A,“两人下成和棋”记为事件B,则易知A与B互斥,所以甲不输的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.9.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1,2,…,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)=________.[答案] [解析] 本小题考查等可能事件的概率.从20张卡片中取一张共20种方法,其中数字和不小于14的共5张,∴P==.三、解答题10.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.[解析] (1)事件A,B,C的概率分别为,,.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A+B+C.∵A、B、C两两互斥,-7-\n∴P(M)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)==.故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)=1-P(A+B)=1-(+)=.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.一、选择题1.(文)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球的概率为0.4,摸出黄球的概率为0.35,则摸出白球的概率是( )A.0.2B.0.3C.0.25D.0.5[答案] C[解析] 记事件A、B、C分别是为“摸出一球是红球”,“摸出一球是黄球”,“摸出一球是白球”,由已知得事件A、B、C互斥,且事件A+B+C是必然事件,∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=1,∴P(C)=1-0.4-0.35=0.25.(理)荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍.如图,假设现在青蛙在A叶上,则顺时针跳动一次停在C叶上的概率是( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 设青蛙按顺时针方向跳的概率为P1,按逆时针方向跳的概率为P2,则有P2-7-\n=2P1,P1+P2=1,∴P1=,P2=,则顺时针跳动一次停在C叶上的概率为P1=.2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 以五位大学生选三人共有10种等可能选法,事件“甲或乙被录用”的对立事件为“甲、乙都未被录用”即“丙、丁、戊被录用”,只有一种等可能情况,所以P=1-=.二、填空题3.(文)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.[答案] [解析] 设事件A为“甲夺得冠军”,事件B为“乙夺得冠军”,则P(A)=,P(B)=,因为事件A和事件B是互斥事件,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.(理)在10枝铅笔中,有8枝正品和2枝次品,从中不放回地任取2枝,至少取到1枝次品的概率是________.[答案] [解析] 解法1(直接法):“至少取到1枝次品”包括:A=“第一次取次品,第二次取到正品”;B=“第一次取正品,第二次取到次品”;C=“第一、二次均取到次品”三种互斥事件,所以所求事件的概率为P(A)+P(B)+P(C)==.解法2(间接法):“至少取到1枝次品”的对立事件为“取到的2枝铅笔均为正品”,所以所求事件的概率为-7-\n1-=.4.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.[答案] [解析] 从四条线段中任取三条的所有情况有:(2,3,4),(2,4,5),(2,3,5),(3,4,5).其中能构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5)和(3,4,5),所以P=.三、解答题5.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(min)10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40min内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40min和50min时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.[解析] (1)由已知共调查了100人,其中40min内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为:所用时间(min)10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)A1、A2分别表示甲选择L1和L2时,在40min内赶到火车站;B1、B2分别表示乙选择L1和L2时,在50min内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),-7-\n∴甲应选择L1.P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.6.(2022·陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.[解析] (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆.所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.-7-
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