一点一练2022版高考数学第九章统计统计案例计数原理概率随机变量及其分布列专题演练理含两年高考一年模拟

第九章　统计、统计案例、计数原理、概率、随机变量及其分布列考点31　统计、统计案例两年高考真题演练1.(2022·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　)A．167B．137C．123D．932．(2022·新课标全国Ⅰ)根据下面给出的2022年至2022年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是(　　)A．逐年比较，2022年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2022年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2022年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2022年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关3．(2022·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－b^x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元4．(2022·安徽)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)A．8B．15C．16D．325．(2022·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，24\n则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．6．(2022·安徽)某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法．收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附K2＝P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879考点31　统计、统计案例一年模拟试题精练1．(2022·安徽宿州模拟)某种商品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中的m的值为(　　)x24568y3040m5070A.45B．50C．55D．602．(2022·山东泰安一模)根据如下样本数据x34567y4.02.5－0.50.5－2.024\n得到的回归方程为＝bx＋a.若a＝7.9，则x每增加1个单位，y就(　　)A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位3．(2022·安徽江南十校模拟)将甲、乙两名篮球运动员在5场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若x甲，x乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是(　　)A．x甲＞x乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B．x甲＞x乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C．x甲＜x乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D．x甲＜x乙，且乙队员比甲队员成绩稳定4．(2022·广东潮州模拟)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本中心点为(4，5)，若解释变量的值为10，则预报变量的值约为(　　)A．16.3B．17.3C．12.38D．2.035．(2022·广东东莞模拟)对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则不正确的说法是(　　)A．若求得的回归方程为＝0.9x－0.3，则变量y和x之间具有正的线性相关关系B．若这组样本数据分别是(1，1)，(2，1.5)，(4，3)，(5，4.5)，则其回归方程＝bx＋a必过点(3，2.5)C．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1＝0.8.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为E2＝2.1，则模型1的拟合效果更好D．若用相关指数R2(R2＝1－，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．考点32　排列、组合、二项式定理两年高考真题演练1.(2022·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)A．29B．210C．211D．2122．(2022·陕西)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)A．4B．5C．6D．73．(2022·湖南)已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)24\nA.B．－C．6D．－64．(2022·四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(　　)A．144个B．120个C．96个D．72个5．(2022·新课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A．10B．20C．30D．606．(2022·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)A．60种B．70种C．75种D．150种7．(2022·辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)A．144B．120C．72D．248．(2022·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)A．192种B．216种C．240种D．288种9．(2022·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)A．72B．120C．144D．16810．(2022·福建)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．11．(2022·安徽)的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案)．12．(2022·新课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________．13．(2022·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．14．(2022·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．(2022·新课标全国Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字填写答案)．16．(2022·安徽)设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________．24\n考点32　排列、组合、二项式定理一年模拟试题精练1．(2022·重庆万州区模拟)8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有(　　)A.CB.CAC．CAD.3C2．(2022·安徽江南十校模拟)在二项式(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为(　　)A．12B．8C．6D．43．(2022·河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有(　　)A．36种B．30种C．24种D．6种4．(2022·山东滨州模拟)七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有(　　)A．240种B．192种C．120种D．96种5．(2022·山东济南一模)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有(　　)A．48种B.60种C．96种D．72种6．(2022·江西模拟)学校组织老师参加社会调查，某小组共有5名男教师，4名女教师．现从该小组中选出3位老师分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的老师中男女均有，则不同安排方法有(　　)A．70种B．140种C．840种D．420种7．(2022·安徽江南十校模拟)某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动．若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为(　　)A．4320B．2400C．2160D．13208．(2022·东北三省三校模拟)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则＝(　　)A．2n－1＋3B．2(2n－1＋1)24\nC．2n＋1D．19．(2022·甘肃河西模拟)从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答)．10．(2022·贵州模拟)(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为________(结果化成最简形式)．11．(2022·广东广州模拟)由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．12．(2022·安徽马鞍山模拟)某班3名男生2名女生被派往三个单位实习，每个单位至少去一人，两名女生不去同一单位，则不同的分派方案有________(用数字作答)．13．(2022·广州惠州模拟)二项式(x－)6的展开式的常数项是________(用数字作答)．14．(2022·湖北七州模拟)若函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则(x－)6的展开式中的常数项为________(用数字作答)．24\n考点33　古典概型、几何概型两年高考真题演练1．(2022·湖北)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则(　　)A．p1<p2<p3B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2D．p3<p2<p12．(2022·湖北)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)A.B.C.D.3．(2022·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)A.B.C.D.4．(2022·新课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)A.B.C.D.5．(2022·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6．(2022·福建)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．7．(2022·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．8．(2022·福建)如图，24\n在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．9．(2022·辽宁)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．10．(2022·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．11．(2022·山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点33　古典概型、几何概型一年模拟试题精练1．(2022·四川成都模拟)一个边长为2m，宽1m的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为(　　)A.m2B.m2C.m2D.m22．(2022·广东佛山模拟)某校高三年级学生会主席团共有5名同学组成，24\n其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为(　　)A.0.35B.0.4C.0.6D.0.73．(2022·贵州模拟)设实数a，b均为区间[0，1]内的随机数，则关于x的不等式bx2＋ax＋＜0有实数解的概率为(　　)A.B.C.D.4．(2022·广东广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M(x，y)，则|OM|≤2的概率是________．5．(2022·青岛一模)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为________．6．(2022·江南十校模拟)已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2，x，y∈Z}集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x，y∈Z}在集合A中任取一个元素a，则a∈B的概率是________．7．(2022·山东莱芜模拟)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．考点34　离散型随机变量及其分布列两年高考真题演练1．(2022·湖北)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　　)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)24\nD．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)2．(2022·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386B．2718C．3413D．47723．(2022·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)(　　)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%4．(2022·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1，2)．则(　　)A．p1＞p2，E(ξ1)＜E(ξ2)B．p1＜p2，E(ξ1)＞E(ξ2)C．p1＞p2，E(ξ1)＞E(ξ2)D．p1＜p2，E(ξ1)＜E(ξ2)5．(2022·浙江)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．6．(2022·重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．考点34　离散型随机变量及其分布列一年模拟试题精练1．(2022·山东滨州模拟)设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则x1＋x2的值为(　　)A.B.C．3D.2．24\n(2022·福建福州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　)A.B.C.D.3．(2022·广东模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2，1).若P(1≤X≤3)＝0.6826，则P(X＞3)等于________．4．(2022·山东济南一模)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．5．(2022·成都二诊)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：使用时间t(单位：千小时)t<44≤t<6t≥6每件产品的利润y(单位：元)－202040若从大量的A型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．24\n第九章　统计、统计案例、计数原理、概率、随机变量及其分布列考点31　统计、统计案例【两年高考真题演练】1．B　[由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.]2．D　[从2022年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2022年二氧化硫排放量与2022年排放量的差最大，A选项正确；2022年二氧化硫排放量较2022年降低了很多，B选项正确；虽然2022年二氧化硫排放量较2022年多一些，但自2022年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2022年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.]3．B　[回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b^＝0.76，∴a^＝0.4，由y^＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，y^＝11.8万元．故选B.]4．C　[法一　由题意知，x1＋x2＋…＋x10＝10x，s1＝，则y＝[(2x1－1)＋(2x2－1)＋…＋(2x10－1)]＝[2(x1＋x2＋…＋x10)－n]＝2x－1，所以S2＝＝＝2s1，故选C.法二　由方差的性质可得．]5．4　[由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．]6．解　(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，9024\n份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【一年模拟试题精练】1．B　[因为线性回归方程为＝6.5x＋17.5恒过样本中心点，而x＝5，∴y＝50，则m＝50，故选B.]2．B　[因为回归方程为y＝bx＋a恒过样本中心点(5，0.9)，所以b＝－1.4，则x每增加一个单位，y就减少1.4个单位，故选B.]3．B　[根据茎叶图，知：甲的平均成绩为x甲＝＝25.6乙的平均成绩为x乙＝＝22.6甲的方差为s＝×[(14－25.6)2＋(25－25.6)2＋(26－25.6)2＋(30－25.6)2＋(33－25.6)2]＝41.84，乙的方差为s＝[(16－22.6)2＋(20－22.6)2＋(22－22.6)2＋(24－22.6)2＋(31－22.6)2]＝24.64；∴x甲＞x乙，s>s，即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定．]4．C　[设线性回归方程为y＝1.23x＋a，因为样本中心点为(4，5)，所以a＝0.08，故当x＝10时，y＝12.38，故选C.]5．D　[相关指数R2越接近于1拟合效果越好，故选D.]6．解　(1)∵i＝25，∴x＝i＝4，y＝i＝5.∴b＝＝＝1.2，24\na＝y－bx＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程y＝1.2x＋0.2.(2)由(1)知b＝1.2＞0，∴变量x与y之间是正相关．(3)由(1)知，当x＝8时，y＝1.2×8＋0.2＝9.8(万元)，即估计使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元.考点32　排列、组合、二项式定理【两年高考真题演练】1．A　[由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.]2．C　[由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.]3．D　[的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.]4．B　[由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.]5．C　[Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.]6．C　[从6名男医生中选出2名有C种选法，从5名女医生中选出1名有C种选法，故共有C·C＝×5＝75种选法，选C.]7．D　[插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为A＝24.故选D.]8．B　[(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为A；(2)当最左端排乙的时候，排法种数为CA.因此不同的排法的种数为A＋CA＝120＋96＝216.]9．B　[解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A·2A＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA，故不同的排法有AAAC＝48，故共有120种不同排法，故选B.]10．80　[T3＝Cx2·23＝80x2，∴x2的系数等于80.]11．35　[的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(x3)7－r·＝C·x21－4r，24\n令21－4r＝5，得r＝4，∴T5＝Cx5＝35x5.]12．3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.]13．1560　[依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560条毕业留言．]14．6　[根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]15.　[设展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令r＝3，得T4＝Cx7a3，即Ca3＝15，得a＝.]16．3　[由题意得a1＝·C＝＝3，∴n＝3a；a2＝C＝＝4，∴n2－n＝8a2.将n＝3a代入n2－n＝8a2得9a2－3a＝8a2，即a2－3a＝0，解得a＝3或a＝0(舍去)．∴a＝3.]【一年模拟试题精练】1．C　[从8人中任选3人有C种，3人位置全调有A种，故有CA种．故选C.]2．B　[展开式中第r＋1项是C(x3)n－r＝Cx3n－4r(－1)r＝28，则∴n＝8，r＝6.]3．B　[从4人中选出两个人作为一个元素有C种方法，24\n同其他两个元素在三个位置上排列CA＝36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30，故选B.]4．B　[分三步：先排甲，有一种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边各有4种方法；再排其余4人，有A种方法，故共有2×4×A＝192(种)．故选B.]5．D　[设四棱锥为P－ABCD.下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，(1)P的着色方法种数为C，A的着色方法种数为C，B的着色方法种数为C，C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C.(2)P的着色方法种数为C，A的着色方法种数为C，B的着色方法种数为C，C与B不同色时C的着色方法种数为C，D的着色方法种数为C.综上两类共有C·C·2·C＋C·C·2＝48＋24＝72种结果．故选D.]6．D　[∵共有男女教师九人选三个到A、B、C三地进行调查共有A种结果，要求这3位老师中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A种结果，选的都是女教师有A种结果，∴满足条件的方案有A－(A＋A)＝420.]7．D　[N＝×A＝1320.]8．C　[由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝也成等比数列，所以＝2n＋1，故选C.]9．49　[丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C＝84，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人共有C＝35，∴满足条件的事件数是84－35＝49，]10．－1024　[求(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和，即5个多项式(1－x－5y)在展开时全不含x，(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1－5y)5的各项系数和，对于(1－5y)5令y＝1得展开式的各项系数和为(－4)5＝－1024；故答案为－1024]11．280　[当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A；当十位数字与千位数字为1，8时，四位数的个数是AA；当十位数字与千位数字为2，9时，四位数的个数是AA，故所求的四位数的个数是A＋AA＋AA＝280.]12．114　[先分2名女生，有A＝6(种)，再分男生，男生的分法有(1，1，1)，(2，1，0)，(3，0，0)三类，即(A＋C·C·C＋C)＝19(种)，根据分步计数原理，得不同的分派方案有6×19＝114(种)．]13．－20　[∵(x－)6＝[x＋(－x－1)]6，Tr＋1＝Cx6－r(－x－1)r＝(－1)rCx6－2r，当6－2r＝0则r＝3，常数项为T4＝(－1)3C＝－20.]24\n14．15　[函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则a＝xdx＋··1＝1，所以6＝(x－)6的展开式中的常数项为C(－1)2＝15.]考点33　古典概型、几何概型【两年高考真题演练】1.B　[在直角坐标系中，依次作出不等式x＋y≥，|x－y|≤，xy≤的可行域如图所示：依题意，p1＝，p2＝，p3＝，因为S△ABO＝S△BEG＝S△DGF，所以p2<p3<p1.故选B.]2．D　[如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S△AOM＝×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S阴＝SΩ1－S△ABC＝2－×1×＝.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P＝＝＝.故选D.]3．C　[从5个点取2个共有C＝10种取法，24\n而不小于正方形边长的只有4条边与2条对角线，共6种，所以P＝＝.]4．D　由题意知基本事件总数为24＝16，对4名同学平均分组共有＝3(种)，对4名同学按1，3分组共有C种，所以周六、周日都有同学参加共有3×A＋CA＝14(种)．由古典概型得所求概率为＝.]5.　[这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.]6.　[由几何概型的概率公式：P＝1－＝.]7.　[用x轴表示小张到校时刻，用y轴表示小王到校时刻，建立如图直角坐标系．设小张到校的时刻为x，小王到校的时刻为y，则x－y≥5.由题意，知0≤x≤20，0≤y≤20，可得可行域如图所示，其中，阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校．由得A(20，15)．易知B(20，20)，C(5，0)，D(20，0)．由几何概型概率公式，得所求概率P＝＝＝.]8.　[根据题意y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称，所以两个阴影部分的面积相等．联立y＝e与y＝ex得x＝1，所以阴影部分的面积S＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)＝2[(e－e)－(0－1)]＝2，又正方形面积为e2，由几何概型可知所求概率为.]9.　[由题意可知空白区域的面积为∫[x2－(－x2)]dx＝x3＝.又正方形的面积为4，∴阴影部分的面积为4－＝，∴所求概率为＝.]24\n10.　[本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为＝.]11．解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1，150×＝3，100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3，C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.【一年模拟试题精练】1．B　[由几何概型的概率计算公式可知，会标的面积约为×2＝，故选B.]2．D　[来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用A，B表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，AB共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，23，2A，2B，3A，3B共7种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P＝＝0.7.]3．C　[由题意，若b＝0，a≠0时不等式bx2＋ax＋＜0有实数解；若b≠0，则Δ＝a2－b＞0；作出平面区域如下，24\n关于x的不等式bx2＋ax＋＜0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比，S阴＝0＝；故＝＝；故选C.]4.　[作出可行域如图所示：不等式组所表示的平面区域W是图中正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是2×2＝4.从区域W中随机取点M(x，y)，使|OM|≤2，则点M落在图中阴影部分．在Rt△AOM中，MA＝，∠AOM＝，所以阴影部分的面积是2＝＋，故所求的概率是＝.]5.　[设AC＝x，则BC＝12－x，矩形的面积S＝x(12－x)＞20，∴x2－12x＋20＜0，∴2＜x＜10，由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P＝＝.]6.　[满足集合A的点有：(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)共13个，满足集合B的有：(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共9个，则a∈B的概率是.]7．解　(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为＝，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝＝.②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得概率为P＝24\n＝1－.考点34　离散型随机变量及其分布列【两年高考真题演练】1．C　[对于A项，因为正态分布曲线关于直线x＝μ对称，所以μ1<μ2.所以P(Y≥μ1)>0.5＝P(Y≥μ2)．故A项错误；对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以σ1<σ2.所以P(X≤σ1)<P(X≤σ2)．故B项错误；对于C项，在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行线，可知：在任何情况下，X的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积，即对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)．故C项正确；对于D项，由图象可知，在y轴的右侧某处，显然满足P(X≥t)<P(Y≥t)．故D项错误．故选C.]2．C　[由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.6826，∴P(0≤X≤1)＝×0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.∴落在阴影部分中点的个数x估计值为＝(古典概型)，∴x＝10000×0.3413＝3413，故选C.]3．B　[由题意，知P(3＜ξ＜6)＝＝＝13.59%.]4．A　[p1＝＋×＝，p2＝，p1－p2＝－＝＞0.故p1＞p2，ξ1的可能取值为1，2，P(ξ1＝1)＝＝；P(ξ1＝2)＝＝.24\n故E(ξ1)＝1×＋2×＝.ξ2的可能取值为1，2，3.P(ξ2＝1)＝＝，P(ξ2＝2)＝＝，P(ξ2＝3)＝＝，故E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝于是E(ξ1)－E(ξ2)＝－＝＝.又∵m≥3，n≥3，∴E(ξ1)－E(ξ2)＜0，即E(ξ1)＜E(ξ2)．综上，应选A.]5.　[设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2＝1，解得p＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.]6．解　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.综上知，X的分布列为X012P24\n故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．【一年模拟试题精练】1．C　[由E(ξ)＝，D(ξ)＝，得解得或由于x1<x2，∴∴x1＋x2＝3.]2．C　[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈，故应选C.]3．0.1587　[因为随机变量X服从正态分布N(2，1)，所以P(X＞3)＝P(X＜1)，因为P(X＜1)＋P(1≤X≤3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X＞3)＝(1－0.6826)＝0.1587.]4．解　(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30.P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝10)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝20)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝30)＝××＝＝.ξ的分布列为：ξ0102030P∴E(ξ)＝0×＋10×＋20×＋30×＝.(2)用A表示“甲得30分乙得0分”，用B表示“甲得20分乙得10分”，且A，B互斥．24\n又P(A)＝×＝，P(B)＝C××＝，甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＝.5．解　(1)从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)＝.从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)＝.∴从A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率P＝C××C×＋C×C2＋C×C＝.(2)据题意知，X的可能取值为－40，0，20，40，60，80.∵P(X＝－40)＝C＝，P(X＝0)＝C×＝，P(X＝20)＝C×＝，P(X＝40)＝C＝，P(X＝60)＝C×＝，P(X＝80)＝C＝，∴X的分布列为：X－40020406080P∴数学期望E(X)＝(－40)×＋0＋20×＋40×＋60×＋80×＝52.24