全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略专题六解析几何第1讲直线与圆试题
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第1讲 直线与圆1.(2022·安徽)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或122.(2022·湖南)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=________.3.(2022·重庆)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.4.(2022·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现.热点一 直线的方程及应用1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.18\n2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.3.两个距离公式(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=.例1 (1)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2(2)已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为( )A.0或-B.或-6C.-或D.0或思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况;(2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方法分析研究.跟踪演练1 已知A(3,1),B(-1,2)两点,若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为( )A.y=2x+4B.y=x-3C.x-2y-1=0D.3x+y+1=0热点二 圆的方程及应用1.圆的标准方程当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆.例2 (1)若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为( )A.(x-2)2+(y±2)2=318\nB.(x-2)2+(y±)2=3C.(x-2)2+(y±2)2=4D.(x-2)2+(y±)2=4(2)已知圆M的圆心在x轴上,且圆心在直线l1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2,且与直线l2:2x-y-4=0相切,则圆M的方程为( )A.(x-1)2+y2=4B.(x+1)2+y2=4C.x2+(y-1)2=4D.x2+(y+1)2=4思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.跟踪演练2 (1)(2022·赣州九校联考)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________________.(2)已知直线l的方程是x+y-6=0,A,B是直线l上的两点,且△OAB是正三角形(O为坐标原点),则△OAB外接圆的方程是____________________.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法.(1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则d<r⇔直线与圆相交,d=r⇔直线与圆相切,d>r⇔直线与圆相离.(2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,方程组消去y,得关于x的一元二次方程根的判别式Δ,则直线与圆相离⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:(1)d>r1+r2⇔两圆外离;(2)d=r1+r2⇔两圆外切;(3)|r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆相交;(4)d=|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内切;(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内含.例3 (1)已知直线2x+(y-3)m-4=0(m∈R)恒过定点P,若点P平分圆x2+y2-2x-4y18\n-4=0的弦MN,则弦MN所在直线的方程是( )A.x+y-5=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x-y+1=0(2)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )A.3B.C.2D.2思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.跟踪演练3 (1)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆C交于A、B两点,则△OAB的面积为( )A.1B.C.2D.2(2)两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最小值为( )A.-6B.-3C.-3D.31.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为( )A.(x±)2+y2=B.(x±)2+y2=C.x2+(y±)2=D.x2+(y±)2=2.已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x2-2ax+y2+a2-1=0上的动点,△ABC面积的最小值为3-,则a的值为( )18\nA.1B.-5C.1或-5D.53.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的长为2,则a=________.提醒:完成作业 专题六 第1讲18\n二轮专题强化练专题六第1讲 直线与圆A组 专题通关1.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y-1=0垂直,则l的方程是( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=02.若直线y=kx+2k与圆x2+y2+mx+4=0至少有一个交点,则m的取值范围是( )A.[0,+∞)B.[4,+∞)C.(4,+∞)D.[2,4]3.过P(2,0)的直线l被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的线段长为2时,直线l的斜率为( )A.±B.±C.±1D.±4.若圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程是( )A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+2=0D.x+y+2=05.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5-4B.-1C.6-2D.6.已知圆O:x2+y2=5,直线l:xcosθ+ysinθ=1(0<θ<).设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k,则k=________.7.(2022·湖北)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y218\n=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=____.8.(2022·湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为_____________________________.(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.9.已知点A(3,3),B(5,2)到直线l的距离相等,且直线l经过两直线l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交点,求直线l的方程.10.(2022·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.B组 能力提高11.圆心在曲线y=(x>0)上,与直线2x+y+1=0相切,则面积最小的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=25B.(x-2)2+(y-1)2=518\nC.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x-1)2+(y-2)2=512.已知圆面C:(x-a)2+y2≤a2-1的面积为S,平面区域D:2x+y≤4与圆面C的公共区域的面积大于S,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,2)13.(2022·辽宁师范大学附中期中)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上恰有三个不同的点到直线l:y=kx的距离为2,则k=________.14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2a+1)x+(a+1)y-7a-4=0,其中a∈R.(1)求证:不论实数a取何值,直线l和圆C恒有两个交点;(2)求直线l被圆C截得的线段最短时,直线l的方程和最短的弦长;(3)求过点M(6,-4)且与圆C相切的直线方程.18\n学生用书答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆高考真题体验1.D [∵圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,∴该圆是以(1,1)为圆心,以1为半径的圆,∵直线3x+4y=b与该圆相切,∴=1,解得b=2或b=12,故选D.]2.2解析 如图,过O点作OD⊥AB于D点,在Rt△DOB中,∠DOB=60°,∴∠DBO=30°,又|OD|==1,∴r=2|OD|=2.3.4±解析 圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以()2+12=22,解得a=4±.4.[-1,1]解析 如图,过点M作⊙O的切线,切点为N,连接ON.M点的纵坐标为1,MN与⊙O相切于点N.设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sinθ≥,即≥.而ON=1,∴OM≤.∵M(x0,1),∴≤,∴x≤1,∴-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].18\n热点分类突破例1 (1)C (2)B解析 (1)当k=4时,直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率存在,则两直线不平行;当k≠4时,两直线平行的一个必要条件是=k-3,解得k=3或k=5.但必须满足≠(截距不相等)才是充要条件,经检验知满足这个条件.(2)依题意,得=.所以|3m+5|=|m-7|.所以(3m+5)2=(m-7)2,所以8m2+44m-24=0.所以2m2+11m-6=0.所以m=或m=-6.跟踪演练1 C [由题意可知,直线AC和直线BC关于直线y=x+1对称.设点B(-1,2)关于直线y=x+1的对称点为B′(x0,y0),则有⇒即B′(1,0).因为B′(1,0)在直线AC上,所以直线AC的斜率为k==,所以直线AC的方程为y-1=(x-3),即x-2y-1=0.故C正确.]例2 (1)D (2)B解析 (1)因为圆C经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x=2上,又圆与y轴相切,所以半径r=2,设圆心坐标为(2,b),则(2-1)2+b2=4,b2=3,b=±,所以选D.(2)由已知,可设圆M的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为r,得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x+1)2+y2=4.故选B.跟踪演练2 (1)(x-2)2+(y-1)2=10 (2)(x-2)2+(y-2)2=8解析 (1)由题意知KAB=2,AB的中点为(4,0),设圆心为C(a,b),18\n∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.则解得∴C(2,1),∴r=|CA|==.∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.(2)设△OAB的外心为C,连接OC,则易知OC⊥AB,延长OC交AB于点D,则|OD|=3,且△AOB外接圆的半径R=|OC|=|OD|=2.又直线OC的方程是y=x,容易求得圆心C的坐标为(2,2),故所求圆的方程是(x-2)2+(y-2)2=8.例3 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x+(y-3)m-4=0(m∈R),取y=3,则必有x=2,所以该直线恒过定点P(2,3).设圆心是C,则易知C(1,2),所以kCP==1,由垂径定理知CP⊥MN,所以kMN=-1.又弦MN过点P(2,3),故弦MN所在直线的方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.(2)如图,把圆的方程化成标准形式得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,四边形PACB的面积S=2S△PBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值为1.而S△PBC=r·|PB|,即|PB|的最小值为2,此时|PC|最小,|PC|为圆心到直线kx+y+4=0的距离d,此时d===,即k2=4,因为k>0,所以k=2.跟踪演练3 (1)A (2)C解析 (1)因为圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心为C(0,-1),半径r=2,直线l的斜率为-1,其方程为x+y-1=0.圆心C到直线l的距离d==,弦长|AB|=2=2=2,18\n又坐标原点O到线段AB的距离为,所以S△OAB=×2×=1,故选A.(2)两个圆恰有三条公切线,则两圆外切,两圆的标准方程分别为圆C1:(x+a)2+y2=4,圆C2:x2+(y-b)2=1,所以|C1C2|==2+1=3,即a2+b2=9.由()2≤,得(a+b)2≤18,所以-3≤a+b≤3,当且仅当“a=b”时取“=”.所以选C.高考押题精练1.C [由已知得圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为π.设圆心坐标为(0,a),半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=±,故圆C的方程为x2+(y±)2=.故应选C.]2.C [圆的标准方程为(x-a)2+y2=1,圆心M(a,0)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=,圆上的点到直线AB的最短距离为d-1=-1,(S△ABC)min=×2×=3-,解得a=1或-5.]3.解析 联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax+2ay-5=0,18\n故圆心(0,0)到直线ax+2ay-5=0的距离为=(a>0).故2=2,解得a2=,因为a>0,所以a=.18\n二轮专题强化练答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆1.A [方法一 由题意可得l的斜率为-,所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.方法二 设直线l的方程为3x+2y+C=0,将点(-1,2)代入,得C=-1,所以l的方程是3x+2y-1=0.]2.C [由y=k(x+2)得直线恒过定点(-2,0),因此可得点(-2,0)必在圆内或圆上,故有(-2)2+02-2m+4≤0⇒m≥4.又由方程表示圆的条件,故有m2-4×4>0⇒m<-4或m>4.综上可知m>4.故选C.]3.A [由题意得直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0.由点到直线的距离公式得,圆心到直线l的距离d==,由圆的性质可得d2+12=r2,即()2+12=9,解得k2=,即k=±.]4.C [圆x2+y2+4x-4y+4=0,即(x+2)2+(y-2)2=4,圆心C的坐标为(-2,2).直线l过OC的中点(-1,1),且垂直于直线OC,易知kOC=-1,故直线l的斜率为1,直线l的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.故选C.]5.A [两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C1′(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1′C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4.]6.4解析 圆心O到直线l的距离d==1,而圆O半径为,18\n所以圆O上到l的距离等于1的点有4个.7.2解析 依题意,不妨设直线y=x+a与单位圆相交于A,B两点,则∠AOB=90°.如图,此时a=1,b=-1,满足题意,所以a2+b2=2.8.(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1解析 (1)由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=2+12=2,解得r=.所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)方法一 令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.方法二 令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),设过点B的切线方程为y-(+1)=kx,即kx-y+(+1)=0.由题意,得圆心C(1,)到直线kx-y+(+1)=0的距离d==r=,解得k=1.故切线方程为x-y+(+1)=0.令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.9.解 解方程组得交点P(1,2).①若点A,B在直线l的同侧,则l∥AB.而kAB==-,由点斜式得直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.②若点A,B分别在直线l的异侧,则直线l经过线段AB的中点(4,),由两点式得直线l的方程为=,18\n即x-6y+11=0.综上所述,直线l的方程为x+2y-5=0或x-6y+11=0.10.解 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1,因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.11.D [设圆心坐标为C(a,)(a>0),则半径r=≥=,当且仅当2a=,即a=1时取等号.所以当a=1时圆的半径最小,此时r=,C(1,2),所以面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5,故选D.]12.D [依题意并结合图形分析可知(图略),圆面C:(x-a)2+y2≤a2-1的圆心(a,0)应在不等式2x+y≤4表示的平面区域内,且(a,0)不在直线2x+y=4上,即有由此解得a<-1或1<a<2.因此,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,2).]18\n13.2±解析 x2+y2-4x-4y-10=0,即(x-2)2+(y-2)2=18,其圆心为C(2,2),半径为r=3.圆x2+y2-4x-4y-10=0上恰有三个不同的点到直线l:y=kx的距离为2,应满足图中A,B,D到直线l:y=kx的距离为2,所以,C(2,2)到直线l:y=kx的距离为3-=2,整理得k2-4k+1=0,解得k=2±.14.(1)证明 方法一 在直线l的方程中,分别取a=0,a=-1,得x+y-4=0,-x+3=0,联立方程得直线l恒过定点N(3,1).因圆心C的坐标为(1,2),圆C的半径为r=5,|CN|==<5,故点N在圆C内,所以,不论实数a取何值,直线l和圆C恒有两个交点.方法二 直线l的方程可以化为(2x+y-7)a+x+y-4=0,由a的任意性得解得所以直线l恒过定点N(3,1).下面的解答过程与方法一相同.(2)解 当l⊥CN时,直线l被圆C截得的线段最短.因为kCN==-,所以-=2,解得a=-,这时,直线l的方程为2x-y-5=0.又|CN|=,r=5,所以半弦长为=2,18\n最短的弦长为4.(3)解 因为(6-1)2+(-4-2)2>25,所以M(6,-4)在圆外,过点M(6,-4)且与圆C相切的直线有两条.当斜率不存在时,所求的切线为x=6;当斜率存在时,设所求的切线方程为y+4=k(x-6),即kx-y-6k-4=0,由=5,得k=-,这时,所求的切线方程为11x+60y+174=0.综上,所求的直线方程为x=6或11x+60y+174=0.18
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