全国通用2022高考数学二轮复习专题七第2讲分类讨论思想转化与化归思想

第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)A.1B.－C.1或－D.－1或解析　当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－.答案　C2.过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则·的值为(　　)A.a2B.b2C.2abD.a2＋b2解析　当直线PQ与x轴重合时，||＝||＝a，故选A.答案　A3.(2022·新课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于(　　)A.5B.C.2D.1解析　∵S△ABC＝AB·BC·sinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2＋2＝5，所以AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝.答案　B4.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5.点D是边BC上的动点，＝x＋y，当xy取最大值时，||的值为(　　)6\nA.4B.3C.D.解析　∵|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，∴△ABC为直角三角形.如图建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，设D(a，b)，由＝x＋y，得∴xy＝.又∵D在直线lBC：＋＝1上，∴＋＝1，则＋≥2.∴≤，即xy≤，此时a＝，b＝2，||＝＝.答案　C二、填空题5.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________.解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.答案　2×3n－16.方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是________.解析　求k＝－sin2x－cosx的值域.k＝cos2x－cosx－1＝－.当cosx＝时，kmin＝－，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴－≤k≤1.答案　7.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则的值为________.解析　若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，6\n∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.综上所述，＝2或.答案　2或8.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g′(x)＝＞0，g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案　4三、解答题9.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解　(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an＋1－an}为常数列，所以{an}是以a1为首项的等差数列，设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，6\n所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n＞5时，an＜0；当n＝5时，an＝0；当n＜5时，an＞0.所以当n＞5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，Tn＝a1＋a2＋…＋an，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.所以Sn＝10.已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性.解　(1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y＝3x.(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)，所以f′(x)＝＋＝.①当a≥0时，因为x＞－1，所以f′(x)＞0，故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；②当a＜0时，由得－1＜x＜－1－a，故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；由得x＞－1－a，故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增.综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当a＜0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，在(－1－a，＋∞)上单调递增.11.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F6\n重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解　(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，所以c＝＝.因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b＝×＝1.可求得a＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1).由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－＋＋k2＝＝＝(4m2－8m＋1)＋.要使·为定值，令2m－＝0，6\n即m＝，此时·＝.当直线l的斜率不存在时，不妨取P，Q，由E，可得＝，＝，所以·＝－＝.综上，存在点E，使·为定值.6