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全国通用版2022高考数学二轮复习12+4分项练11圆锥曲线文

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12+4分项练11 圆锥曲线1.(2022·大连模拟)设椭圆C:+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则+的值是(  )A.2B.2C.4D.4答案 C解析 设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.2.(2022·洛阳统考)已知双曲线-=1(b>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(  )A.B.3C.5D.4答案 A解析 因为抛物线y2=12x的焦点坐标为,依题意得4+b2=9,所以b2=5,所以双曲线的方程为-=1,所以其渐近线方程为y=±x,所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为10\n=.3.(2022·唐山模拟)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )A.B.3C.+1D.2-1答案 D解析 设点P的坐标为,由圆的方程2+y2=1,可得圆心坐标A,∴|PA|2=2+m2=2+12≥12,∴|PA|≥2,∵Q是圆2+y2=1上任意一点,∴|PQ|的最小值为2-1.4.(2022·重庆模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与抛物线交于M,N两点,与抛物线的准线交于P,Q两点,若四边形MNPQ为矩形,则矩形MNPQ的面积是(  )A.16B.12C.4D.3答案 A解析 根据题意,四边形MNPQ为矩形,可得|PQ|=|MN|,从而得到圆心F到准线的距离与到MN的距离是相等的,所以M点的横坐标为3,代入抛物线方程,设M为x轴上方的交点,从而求得M(3,2),N(3,-2),所以|MN|=4,=4,从而求得四边形MNPQ的面积为S=4×4=16.5.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆交渐近线ay=bx于点P(P在第一象限),PF1交双曲线左支于Q,若Q是线段PF1的中点,则该双曲线的离心率为(  )A.B.C.+1D.-1答案 C解析 联立直线方程与圆的方程结合c2=a2+b2,且点P位于第一象限可得P(a,b),10\n双曲线的左焦点为F1(-c,0),则PF1的中点为Q,点Q在双曲线上,则-=1,整理可得c2-2ac-4a2=0,即e2-2e-4=0,解得e=1±,又双曲线的离心率e>1,故e=+1.6.(2022·威海模拟)已知双曲线C:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,F1F2为半径的圆交C的右支于P,Q两点,若△F1PQ的一个内角为60°,则C的离心率为(  )A.B.+1C.D.答案 C解析 由对称性可知△PQF1为等腰三角形,若△PQF1的一个内角为60°,则△PQF1是等边三角形,∴△F1PQ的三个内角都为60°,∴∠PF2Q=120°,设PQ交x轴于点A,则|AF2|=|F2P|=c,|PA|=c,不妨设P在第一象限,则P(2c,c),代入双曲线方程可得-=1.∴-=1.化简得4c4-8a2c2+a4=0,即4e4-8e2+1=0,解得e2=或(舍),∴e=(负值舍去).7.已知点P在抛物线y2=x上,点Q在圆2+(y-4)2=1上,则|PQ|的最小值为(  )10\nA.-1B.-1C.2-1D.-1答案 A解析 设抛物线上点的坐标为P(m2,m).圆心与抛物线上的点的距离的平方d2=2+(m-4)2=m4+2m2-8m+.令f(m)=m4+2m2-8m+,则f′(m)=4(m-1)(m2+m+2),由导函数与原函数的关系可得函数在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,函数的最小值为f(1)=,由几何关系可得|PQ|的最小值为-1=-1.8.(2022·昆明模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),圆M:2+y2=p2,直线l:y=k(k≠0),自上而下顺次与上述两曲线交于A1,A2,A3,A4四点,则等于(  )A.B.C.pD.答案 B解析 圆M:2+y2=p2的圆心为抛物线的焦点F,半径为p.直线l:y=k过抛物线的焦点F.设A2(x1,y1),A4(x2,y2).不妨设k<0,则x1<,x2>.|A1A2|=|A1F|-|A2F|=p-=-x1,|A3A4|=|A4F|-|A3F|=-p=x2-.10\n由得k2x2-p(k2+2)x+=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以=====.9.(2022·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若=3,且抛物线C上存在点M与x轴上一点N(7,0)关于直线l对称,则该抛物线的焦点到准线的距离为(  )A.4B.5C.D.6答案 D解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线为l′:x=-,如图所示,当直线AB的倾斜角为锐角时,分别过点A,B作AP⊥l′,BQ⊥l′,垂足为P,Q,过点B作BD⊥AP交AP于点D,则|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|,∵|AF|=3|BF|=|AB|,∴|AP|-|BQ|=|AD|=|AF|-|BF|=|AB|,10\n在Rt△ABD中,由|AD|=|AB|,可得∠BAD=60°,∵AP∥x轴,∴∠BAD=∠AFx=60°,∴kAB=tan60°=,直线l的方程为y=,设M点坐标为(xM,yM),由可得xM=p-,yM=,代入抛物线的方程化简可得3p2-4p-84=0,解得p=6(负值舍去),该抛物线的焦点到准线的距离为6.10.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为(  )A.B.C.1D.答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,半焦距为c,P为第一象限内的公共点,则解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,所以4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)·cos,所以4c2=(2-)a+(2+)a,所以4=+≥2=,所以e1e2≥,故选B.11.(2022·全国Ⅰ)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(  )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)10\nC.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上,则0<m<3,点M(x,y).过点M作x轴的垂线,交x轴于点N,则N(x,0).故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)==.又tan∠AMB=tan120°=-,且由+=1,可得x2=3-,则==-.解得|y|=.又0<|y|≤,即0<≤,结合0<m<3解得0<m≤1.对于焦点在y轴上的情况,同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).故选A.方法二 当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,解得0<m≤1.当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A.12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P10\n为双曲线右支上一点(异于右顶点),△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0).过F2作直线l与双曲线交于A,B两点,若使|AB|=b2的直线l恰有三条,则双曲线离心率的取值范围是(  )A.(1,)B.(1,2)C.(,+∞)D.(2,+∞)答案 C解析 |F1F2|=2c(c2=a2+b2),设△PF1F2的内切圆分别与PF1,F1F2,PF2切于点G,H,I,则|PG|=|PI|,|F1G|=|F1H|,|F2H|=|F2I|.由双曲线的定义知2a=|PF1|-|PF2|=|F1G|-|F2I|=|F1H|-|F2H|,又|F1H|+|F2H|=|F1F2|=2c,故|F1H|=c+a,|F2H|=c-a,所以H(a,0),即a=2.注意到这样的事实:若直线l与双曲线的右支交于A,B两点,则当l⊥x轴时,|AB|有最小值=b2;若直线l与双曲线的两支各交于一点(A,B两点),则当l⊥y轴时,|AB|有最小值2a,于是,由题意得b2>2a=4,b>2,c=>2,所以双曲线的离心率e=>.故选C.13.(2022·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C过点,且C的一个焦点坐标为(2,0),则C的标准方程为________.答案 +y2=1解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(-2,0),则2a=+==2,所以a=,因为c=2,所以b==1,从而得到椭圆的标准方程为+y2=1.10\n14.在平面直角坐标系xOy中,点M不与点O重合,称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点”.(1)点M(1,)的“中心投影点”为________;(2)曲线x2-=1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________.答案 (1) (2)解析 (1)|OM|==2,|ON|=1,所以=,则N点坐标为.(2)双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,由“中心投影点”的定义知,中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x轴相交的两段圆弧,一条渐近线的倾斜角为,因此弧长为2×π×1=.15.已知点F1,F2分别是双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,tan∠PF2F1≥4,则双曲线C的半焦距的取值范围为____________.答案 解析 由|F1F2|=2|OP|可得△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,tan∠PF2F1≥4,即|PF1|≥4|PF2|,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,又|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF2|≤a,由(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2化为(|PF2|+a)2=2c2-a2≤2,可得c≤,又双曲线中c>a=1,所以双曲线C的半焦距的取值范围为.16.(2022·威海模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个动点,线段PQ的中点为M,过M作抛物线准线的垂线,垂足为N,若|MN|=|PQ|,则∠PFQ的最大值为________.答案 解析 如图所示,分别过P,Q作抛物线准线的垂线,垂足为A,B,10\n设|PF|=2a,|QF|=2b,由抛物线定义,得|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,在梯形ABQP中,2|MN|=|PA|+|QB|=2a+2b,∴|MN|=a+b.若PQ过焦点F,则|PQ|=|PF|+|QF|=2a+2b,又|MN|=a+b,且|MN|=|PQ|,∴2a+2b=a+b,∴a+b=0,显然不成立,∴PQ不过焦点F.∵|MN|=|PQ|,∴|PQ|=a+b,设∠PFQ=θ,由余弦定理得,(a+b)2=4a2+4b2-8abcosθ,∴a2+b2+2ab=4a2+4b2-8abcosθ,∴cosθ=≥=,当且仅当a=b时取等号,又∵θ∈(0,π),∴0<θ≤,∴∠PFQ的最大值为.10

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发布时间:2022-08-25 23:49:40 页数:10
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文章作者:U-336598

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