全国通用版2022高考数学二轮复习12+4分项练13函数的图象与性质理
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12+4分项练13 函数的图象与性质1.(2022·葫芦岛模拟)已知实数x,y满足x<y,则下列关系式中恒成立的是( )A.tanx>tanyB.ln>lnC.>D.x3>y3答案 D解析 x<y⇔x>y,对于A,当x=,y=-时,满足x>y,但tanx>tany不成立.对于B,若ln>ln,则等价于x2+1>y2成立,当x=1,y=-2时,满足x>y,但x2+1>y2不成立.对于C,当x=3,y=2时,满足x>y,但>不成立.对于D,当x>y时,x3>y3恒成立.2.(2022·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f(x)=是奇函数,则g(f(-2))的值为( )A.0B.-1C.-2D.-4答案 C解析 ∵函数f(x)=是奇函数,9\n∴f(-2)=-f(2)=-(4-2)=-2,g(f(-2))=g(-2)=f(-2)=-2.3.函数f(x)=(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f(-x)====f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,又当x→0时,f(x)→+∞,故选A.4.已知f(x)为定义在R上周期为2的奇函数,当-1≤x<0时,f(x)=x(ax+1),若f=-1,则a等于( )A.6B.4C.-D.-6答案 A解析 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f=f=-f=-=-1,解得a=6.5.已知函数f(x)=则函数g(x)=2|x|f(x)-2的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 画出函数f(x)=的图象如图,9\n由g(x)=2|x|f(x)-2=0可得f(x)=,则问题化为函数f(x)=与函数y==21-|x|的图象的交点的个数问题.结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个,故选B.6.(2022·福建省厦门市高中毕业班质检)设函数f(x)=若f(x)≥f(1)恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.答案 A解析 ∵f(x)=若f(x)≥f(1)恒成立,则f(1)是f(x)的最小值,由二次函数性质可得对称轴a≥1,由分段函数性质得2-1≤ln1,得0≤a≤2,综上,可得1≤a≤2,故选A.7.(2022·安徽省示范高中(皖江八校)联考)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈恒成立,则实数m的取值范围是( )A.∪B.C.∪[1,+∞)D.答案 D解析 因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(m+2)≥f(x-1)对任意x∈[-1,0]恒成立,得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|对任意x∈[-1,0]恒成立,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.故选D.8.(2022·天津河东区模拟)已知函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈时,f(x)=9\nx,若在区间上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根,则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.答案 D解析 当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],f(x)=-1=-1=-,在同一坐标系内画出y=f(x),y=mx+m的图象如图,动直线y=mx+m过定点(-1,0),当过点(1,1)时,斜率m=,由图象可知,当0<m≤时,两图象有两个不同的交点,从而g(x)=f(x)-mx-m有两个不同的零点.9.(2022·贵州省凯里市第一中学模拟)定义:如果函数f(x)的导函数为f′(x),在区间[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),使得f′(x1)=,f′(x2)=,则称f(x)为区间[a,b]上的“双中值函数”.已知函数g(x)=x3-x2是[0,2]上的“双中值函数”,则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.(-∞,+∞)答案 B解析 由题意可知,g(x)=x3-x2,∵g′(x)=x2-mx在区间[0,2]上存在x1,x2(0<x1<x2<2),满足g′(x1)=g′(x2)==-m,9\n∴方程x2-mx+m-=0在区间(0,2)上有两个不相等的解,则解得<m<,则实数m的取值范围是.10.(2022·宿州模拟)已知函数y=f(x)为R上的偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈时,f(x)=1-x2.给出下列四个命题:p1:f(1)=0;p2:2是函数y=f 的一个周期;p3:函数y=f(x-1)在(1,2)上单调递增;p4:函数y=f(2x-1)的增区间为,k∈Z.其中真命题为( )A.p1,p2B.p2,p3C.p1,p4D.p2,p4答案 C解析 f(x+2)=-f(x)中,令x=-1可得f(1)=-f(-1)=-f(1),据此可得f(1)=0,命题p1正确;由题意可知f=-f(x+2)=f(x),则函数f(x)的周期为T=4,则函数y=f 的一个周期为8,命题p2错误;由f(x+2)=-f(x)可知,函数f(x)关于点(1,0)中心对称,绘制函数图象如图所示.将函数图象向右平移一个单位可得函数y=f(x-1)的图象,则函数y=f(x-1)在(1,2)上单调递减,命题p3错误;p4:函数y=f(2x-1)的增区间满足:4k-2≤2x-1≤4k(k∈Z),求解不等式组可得增区间为,k∈Z,命题p4正确.综上可得真命题为p1,p4.9\n11.(2022·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y=8x-logax2(a>0且a≠1)在区间上无零点,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.∪(1,+∞)C.∪(1,+∞)D.(0,1)∪答案 C解析 令y=8x-logax2=0,则8x=logax2,设f(x)=8x,g(x)=logax2,于是要使函数y=8x-logax2(a>0且a≠1)在区间上没有零点,只需函数f(x)与g(x)的图象在区间上没有交点,当a>1时,显然成立;当0<a<1时,f(x)=8x单调递增,且f ==2,此时,要使函数f(x)与g(x)的图象在区间上没有交点,则需g=loga>f =2,即loga>2=logaa2,于是a2>,解得<a<1,故实数a的取值范围是a>1或<a<1,故选C.12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[2,4]时,f(x)=g(x)=ax+1,对∀x1∈[-2,0],∃x2∈[-2,1],使得g(x2)=f(x1),则实数a的取值范围为( )A.∪B.∪C.(0,8]D.∪答案 D解析 由题意知问题等价于函数f(x)在[-2,0]上的值域是函数g(x)在[-2,1]上的值域的子集.当x∈[2,4]时,f(x)=由二次函数及对勾函数的图象及性质,得9\nf(x)∈,由f(x+2)=2f(x),可得f(x)=f(x+2)=f(x+4),当x∈[-2,0]时,x+4∈[2,4].则f(x)在[-2,0]上的值域为.当a>0时,g(x)∈[-2a+1,a+1],则有解得a≥;当a=0时,g(x)=1,不符合题意;当a<0时,g(x)∈[a+1,-2a+1],则有解得a≤-.综上所述,可得a的取值范围为∪.13.(2022·东北三省三校模拟)函数f(x)=ax-2015+2017(a>0且a≠1)所过的定点坐标为________.答案 (2015,2018)解析 当x=2015时,f(2015)=a2015-2015+2017=a0+2017=2018,∴f(x)=ax-2015+2017(a>0且a≠1)过定点(2015,2018).14.(2022·山西省大同市与阳泉市模拟)已知函数f(x)=(x+2012)(x+2014)(x+2016)(x+2018),x∈R,则函数f(x)的最小值是________.答案 -16解析 设t=x+2015,t∈R,则f(x)=(x+2012)(x+2014)(x+2016)(x+2018),x∈R,化为g(t)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=(t2-1)(t2-9)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,当t2=5时,g(t)有最小值-16,即当x=-2015±时,函数f(x)的最小值是-16.15.若函数f(x)对定义域内的任意x1,x2,当f(x1)=f(x2)时,总有x1=x2,则称函数f(x)为单纯函数,例如函数f(x)=x是单纯函数,但函数f(x)=x2不是单纯函数,下列命题:①函数f(x)=是单纯函数;②当a>-2时,函数f(x)=在(0,+∞)上是单纯函数;③若函数f(x)为其定义域内的单纯函数,x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);④若函数f(x)是单纯函数且在其定义域内可导,则在其定义域内一定存在x0使其导数f′(x0)=0,其中正确的命题为________.(填上所有正确命题的序号)答案 ①③9\n解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知,当函数是单调函数时,该函数必为单纯函数.因为当x≥2时,f(x)=log2x单调,当x<2时,f(x)=x-1单调,结合f(x)的图象可知f(x)是单纯函数,故命题①正确;对于命题②,f(x)=x++a,由f(2)=f但2≠可知f(x)不是单纯函数,故命题②错误;此命题是单纯函数定义的逆否命题,故当x1≠x2时,f(x1)≠f(x2),即命题③正确;对于命题④,例如,f(x)=x是单纯函数且在其定义域内可导,但在定义域内不存在x0,使f′(x0)=0,故④错误,答案为①③.16.已知函数f(x)=x3-3x2+1,g(x)=若方程g[f(x)]-a=0(a>0)有6个实数根(互不相同),则实数a的取值范围是________.答案 解析 作出函数f(x)和g(t)的图象如图. 由g[f(x)]-a=0(a>0),得g[f(x)]=a(a>0).设t=f(x),则g(t)=a(a>0).由y=g(t)的图象知,①当0<a<1时,方程g(t)=a有两个根,-4<t1<-3,-3<t2<-2,由t=f(x)的图象知,当-4<t1<-3时,t=f(x)有1个根,当-3<t2<-2时,t=f(x)有3个根,此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有4个根,②当a=1时,方程g(t)=a有两个根,t1=-3,t2=,由t=f(x)的图象知,当t1=-3时,t=f(x)有2个根,当t2=时,t=f(x)有3个根,此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有5个根;③当1<a<时,方程g(t)=a有两个根,0<t1<,<t2<1,由t=f(x)的图象知,当0<t1<时,t=f(x)有3个根,当<t2<1时,t=f(x)有3个根,此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有6个根;④当a=时,方程g(t)=a有1个根,t=1,由t=f(x)的图象知,当t=1时,t=f(x)有2个根,此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有2个根;9\n⑤当a>时,方程g(t)=a有1个根t>1,由t=f(x)的图象知,当t>1时,t=f(x)有1个根,此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有1个根.综上可得,若方程g[f(x)]-a=0(a>0)有6个实数根(互不相同),则实数a的取值范围是.9
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