创新方案高考数学复习精编（人教新课标）3三角函数解三角形质量检测doc高中数学

第三章　三角函数、解三角形(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．cos(－)－sin(－)的值是(　　)A.　　　　　B．－C．0D.解析：原式＝cos(－4π－)－sin(－4π－)＝cos(－)－sin(－)＝cos＋sin＝.答案：A2．已知sinα＝，cosα＝－，且α为第二象限角，那么m的允许值为(　　)A.＜m＜6B．－6＜m＜C．m＝4D．m＝4或m＝解析：由sin2α＋cos2α＝1得，()2＋(－)2＝1，∴m＝4或，又sinα＞0，cosα＜0，把m的值代入检验得，m＝4.答案：C3．已知sin(x＋)＝－，那么sin2x的值等于(　　)A．－B.C．－D.解析：sin(x＋)＝(sinx＋cosx)＝－，所以sinx＋cosx＝－，11/11\n所以(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x＝，故sin2x＝－.答案：A4．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，那么以下各式中正确的选项是(　　)A．a＜＜bB．a＜b＜C．b＜＜aD．b＜a＜解析：a＝sin(15°＋45°)＝sin60°，b＝sin(17°＋45°)＝sin62°，b＞a.＝sin260°＋sin262°＞2sin60°sin62°＝sin62°，∴＞b＞a.答案：B5．(2022·惠州模拟)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，那么φ等于(　　)A.B.C.D.解析：依题意得y＝sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin(x＋)，将y＝sinx的图象向左平移个单位后得到y＝sin(x＋)的图象，即y＝sin(x－)的图象．答案：B6．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，那么△ABC的形状是(　　)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：cosA＝sin(－A)＞sinB，－A，B都是锐角，那么－A＞B，A＋B＜，C＞.答案：C7．(理)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝11/11\n对称．那么以下四个函数中，同时具有性质①②的是(　　)A．y＝sin(＋)B．y＝sin(2x＋)C．y＝sin|x|D．y＝sin(2x－)解析：∵T＝＝π，∴ω＝2.对于选项D，又2×－＝，所以x＝为对称轴．答案：D8．(文)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：设等腰三角形的底边为a，顶角为θ，那么腰长为2a.由余弦定理得cosθ＝＝.答案：D(理)△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，那么其外接圆的半径为(　　)A.B.C.D．9解析：由余弦定理得：三角形第三边长为＝3，且第三边所对角的正弦值为＝，所以2R＝⇒R＝.答案：C9．在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，那么“a＝b”是“acosA＝bcosB”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：a＝b⇒A＝B⇒acosA＝bcosB，条件是充分的；acosA＝bcosB⇒sinAcosA11/11\n＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故条件是不必要的．答案：A10．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝，那么a的值为(　　)A.B.C.D．2解析：函数y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，f(x)＝sin(2x＋φ)，其中tanφ＝，故函数f(x)的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，而x＝是其一条对称轴方程，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，故tanφ＝＝tan(kπ＋)＝，所以a＝.答案：C11．已知函数f(x)的局部图象如以下图，那么f(x)的解析式可能为(　　)A．f(x)＝2cos(－)B．f(x)＝cos(4x＋)C．f(x)＝2sin(－)D．f(x)＝2sin(4x＋)解析：设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，由函数的最大值为2知A＝2，又由函数图象知该函数的周期T＝4×(－)＝4π，所以ω＝，将点(0,1)代入得φ＝11/11\n，所以f(x)＝2sin(x＋)＝2cos(x－)．答案：A12．(2022·抚顺模拟)当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为(　　)A．2B．2C．4D．4解析：f(x)＝＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即tanx＝时，取“＝”，∵0＜x＜，∴存在x使tanx＝，这时f(x)min＝4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上)13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，C＝75°，a＝4，那么b＝________.解析：易知A＝45°，由正弦定理＝得＝，解得b＝2.答案：214．计算：＝________.解析：＝＝＝.答案：15．在△ABC中，已知tanA＝3tanB，那么tan(A－B)的最大值为________，此时角A的大小为________．解析：由于tan(A－B)＝＝＝≤.当且仅当1＝tanB时取“＝”号，那么tanB＝⇒tanA＝⇒A＝60°.答案：　60°16．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x∈R的局部图象，那么以下命题中，正确命题的序号为________．①函数f(x)的最小正周期为；11/11\n②函数f(x)的振幅为2；③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝；④函数f(x)的单调递增区间为[，]；⑤函数的解析式为f(x)＝sin(2x－)．解析：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为(－)×2＝π，故①不正确；函数f(x)的振幅为，故②不正确；函数f(x)的一条对称轴方程为x＝＝，故③正确；④不全面，函数f(x)的单调递增区间应为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z；由sin(2×＋φ)＝得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，∵－π＜φ＜π，故k取0，从而φ＝－，故f(x)＝sin(2x－)．答案：③⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)已知tan(α＋)＝－3，α∈(0，)．(1)求tanα的值；(2)求sin(2α－)的值．解：(1)由tan(α＋)＝－3可得＝－3.解得tanα＝2.(2)由tanα＝2，α∈(0，)，可得sinα＝，cosα＝.因此sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝－，sin(2α－)＝sin2αcos－cos2αsin＝×＋×＝.11/11\n18．(文)(本小题总分值12分)已知sin(π－α)＝，α∈(0，)．(1)求sin2α－cos2的值；(2)求函数f(x)＝cosαsin2x－cos2x的单调递增区间．解：∵sin(π－α)＝，∴sinα＝.又∵α∈(0，)，∴cosα＝.(1)sin2α－cos2＝2sinαcosα－＝2××－＝.(2)f(x)＝×sin2x－cos2x＝sin(2x－)．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋π]，k∈Z.(理)(本小题总分值12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋(2cos2x－1)．(1)将函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的形式，填写下表，并画出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象；xωx＋φ0ππ2πf(x)11/11\n(2)求函数f(x)的单调减区间．解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋).x－ωx＋φ0ππ2πf(x)020－20图．(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．19．(本小题总分值12分)已知函数f(x)＝2sinxcos(－x)－sin(π＋x)cosx＋sin(＋x)cosx.(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；(2)指出y＝f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．解：(1)f(x)＝2sin2x＋sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋sinxcosx＝1＋＋sin2x＝sin(2x－)＋，y＝f(x)最小正周期T＝π.y＝f(x)的最大值为＋1＝，最小值为－1＝.(2)∵y＝＋sin(2x－)的图象y＝sin2x的图象．20．(本小题总分值12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝11/11\n.(1)求cosB的值；(2)假设·＝2，b＝2，求a和c的值．解：(1)∵cos＝，∴sin＝sin(－)＝，∴cosB＝1－2sin2＝.(2)由·＝2可得a·c·cosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝.21．(本小题总分值12分)如以下图，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ(tanθ＝)的方向作匀速直线航行，速度为10海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如以下图的平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)．那么，由tanθ＝可得，cosθ＝，sinθ＝，故(1)令t＝3，P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ|＝＝＝5.即出发后3小时两船相距5海里．(2)由(1)的解法过程易知：11/11\n|PQ|＝＝＝＝≥20，∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20.即两船出发后4小时时，相距20海里为两船的最近距离．22．(文)(本小题总分值14分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin(x＋)cos(x－)－cos2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f(x)在[－，π]上的最大值和最小值，并指出此时相应的x的值．(理)(本小题总分值14分)已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋)－.(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)假设△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f(B)的最大值．解：(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋)－＝2cosx(sinxcos＋cosxsin)－＝2cosx(sinx＋cosx)－＝sinxcosx＋·cos2x－＝sin2x＋·－＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．∴T＝＝＝π.(2)由余弦定理cosB＝得，cosB＝＝－≥－＝，∴≤cosB＜1，11/11\n而0＜B＜π，∴0＜B≤.函数f(B)＝sin(2B＋)，∵＜2B＋≤π，当2B＋＝，即B＝时，f(B)max＝1.11/11