北京市朝阳区2022年高考数学保温试题1理含解析

2022北京市朝阳区高考数学保温试卷（理科）（1）　一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（　　）A．{x|x＞1}B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（　　）A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=﹣13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（　　）A．21B．34C．55D．895．在的二项展开式中，x2的系数为（　　）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（　　）A．B．C．D．7．设圆C的圆心在双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x﹣y=0截得的弦长等于2，则a的值为（　　）A．B．C．2D．38．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，且在[﹣1，0]-22-\n上单调递增，设a=f（log32），b=f（log2），c=f（），则a，b，c的大小关系是（　　）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a　二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积为　　．10．若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是　　．11．若非零向量，满足|+|=||+||，则向量，的夹角为　　．12．在等差数列{an}中，若a5+a7=4，a6+a8=﹣2，则数列{an}的公差等于　　；其前n项和Sn的最大值为　　．13．直线与圆x2+y2=1相交于A、B（其中a、b为实数），且∠AOB=（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为　　．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，用平面AMN截正方体，下列关于截面的说法正确的有　　．①若BM=C1N，则截面为等腰梯形②若BM=CM，且时，截面为五边形③截面的面积存在最大值④截面的面积存在最小值．　三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次4次5次-22-\n频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元．根据所给数据，解答下列问题：（Ⅰ）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（Ⅱ）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（Ⅲ）假设每个会员最多消费5次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．16．已知函数y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤）的图象与y轴相交于点M（0，），且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0∈[，π]时，求x0的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．18．已知平面上两个定点、，P为一个动点，且满足．-22-\n（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点．分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明为定值．19．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．20．如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且au∈{1，﹣1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A=（A）+（A））．（Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann　-22-\n2022北京市朝阳区高考数学保温试卷（理科）（1）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（　　）A．{x|x＞1}B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．　2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（　　）A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=﹣1【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．【解答】解：∵（a+i）i=b+i，∴ai﹣1=b+i，∴a=1，b=﹣1，故选C．　3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充要条件．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．-22-\n【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．　4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（　　）A．21B．34C．55D．89【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=1，执行循环体，a=2，b=3，不满足条件b＞50，执行循环体，a=5，b=8不满足条件b＞50，执行循环体，a=13，b=21，不满足条件b＞50，执行循环体，a=34，b=55，满足条件b＞50，退出循环，输出的值为55．故选：C．　5．在的二项展开式中，x2的系数为（　　）A．B．C．D．【考点】DA：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案．【解答】解：展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r22r﹣6C6rx3﹣r-22-\n令3﹣r=2得r=1所以项展开式中，x2的系数为﹣故选C　6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（　　）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC=，又∵a=3，c=4，∴=，即=，∴sinA=，故选B．　7．设圆C的圆心在双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x﹣y=0截得的弦长等于2，则a的值为（　　）A．B．C．2D．3【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】圆C的圆心C（，0），双曲线的渐近线方程为x±ay=0，再由C到渐近线的距离可求出圆C方程+y2=2．由l被圆C截得的弦长是2及圆C的半径为可知=1，由此能求出a的值．-22-\n【解答】解：圆C的圆心C（，0），双曲线的渐近线方程为x±ay=0，C到渐近线的距离为d==，故圆C方程+y2=2．由l被圆C截得的弦长是2及圆C的半径为可知，圆心C到直线l的距离为1，即=1，∴a=．故选A．　8．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，且在[﹣1，0]上单调递增，设a=f（log32），b=f（log2），c=f（），则a，b，c的大小关系是（　　）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a【考点】3Q：函数的周期性；3F：函数单调性的性质．【分析】推导出f（x）的周期为2，在[0，1]上单调递减，log2=﹣log32，＜＜log32＜1，由此能求出结果．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，且在[﹣1，0]上单调递增，∴f（x）的周期为2，在[0，1]上单调递减，log2=﹣log32，＜＜log32＜1，∴c=f（）=f（﹣）=f（），b=f（log2）=f（﹣）=f（），f（）=f（﹣）=f（），∵＜＜＜log32，-22-\n∴b＞c＞a．故选：C．　二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积为　　．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】方法一：求得交点坐标，对x积分，根据定积分的运算，即可求得答案；方法二：求得交点坐标，对y积分，根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：方法一：，解得：，，则A（1，2），B（1，﹣2），∴S=2dx=2×=，∴抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积，故答案为：．方法二：，解得：，，则A（1，2），B（1，﹣2），S=dy=2dy=2×=，∴抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积，故答案为：．-22-\n　10．若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是　[3，7]　．【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用已知条件画出可行域，关键目标函数的几何意义求最值．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：设z=x+2y则y=，当此直线经过图中A（1，1）时直线在y轴的截距最小，z最小，经过C（1，3）时，直线在y轴的截距最大，z最大，所以x+2y的最小值为1+2=3，最大值为1+2×3=7，所以x+2y的取值范围为：[3，7]；故答案为：[3，7]．　-22-\n11．若非零向量，满足|+|=||+||，则向量，的夹角为　0°　．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】把已知向量等式两边平方，化简可得向量，的夹角．【解答】解：由|+|=||+||，两边平方得：，∴，得，∴，得cos＜＞=1，则向量，的夹角为0°．故答案为：0°．　12．在等差数列{an}中，若a5+a7=4，a6+a8=﹣2，则数列{an}的公差等于　﹣3　；其前n项和Sn的最大值为　57　．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】等差数列{an}中，由a5+a7=4，a6+a8=﹣2，解得a1=17，d=﹣3，由此求出Sn=﹣n2+，再用配方法能够求出Sn的最大值．【解答】解：等差数列{an}中，∵a5+a7=4，a6+a8=﹣2，∴，解得a1=17，d=﹣3，∴Sn=17n+=17n﹣+-22-\n=﹣n2+=﹣（n﹣）2+，∴当n=6时，Sn取最大值S6=﹣=57．故答案为：﹣3，57．　13．直线与圆x2+y2=1相交于A、B（其中a、b为实数），且∠AOB=（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为　　．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．【解答】解：∵∠AOB=（O是坐标原点），∴∴圆心到直线ax+by=的距离d=．即，整理得2a2+b2=3，则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d1====则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为．故答案为：　14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，用平面AMN截正方体，下列关于截面的说法正确的有　①②　．①若BM=C1N，则截面为等腰梯形②若BM=CM，且时，截面为五边形③截面的面积存在最大值④截面的面积存在最小值．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】画出正方体，根据动点M，N的不同位置动点不同的截面；M，N分别是棱BC，CC1-22-\n上不与正方体顶点重合的动点，考虑极限位置时的截面形状以及面积极限判断．【解答】解：对于①，如图1，若BM=C1N，则MN∥AD1，D1N=AM，截面AMND1为等腰梯形，故①正确；对于②，如图2，若BM=CM，且时，设截面与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1∩NR=N1，连接AN1交A1D1于S，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1N：D1N1，截面为五边形故②正确；对于③，当BM=C1N→0时，过点A，M，N的截面→矩形，其面积接近最大，∵M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，∴BM=C1N≠0，∴截面的面积不存在最大值，故③错误；对于④，当BM→BC时CN→0时，截面→等边三角形，边长为→，面积→，又M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，所以截面面积不存在最小值；故④错误；故答案为：①②　三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．-22-\n15．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次4次5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元．根据所给数据，解答下列问题：（Ⅰ）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（Ⅱ）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（Ⅲ）假设每个会员最多消费5次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据频数计算频率，得出概率；（II）根据优惠标准计算平均利润；（III）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【解答】解：（I）随机抽取的100位会员中，至少消费两次的会员有20+10+5+5=40，∴该公司一位会员至少消费两次的概率为P==．（II）第一次消费时，公司获取利润为200﹣150=50元，第二次消费时，公司获取利润为200×0.95﹣150=40元，∴求这两次消费中，公司获得的平均利润为=45元．（III）若会员消费1次，平均利润为50元，若会员消费2次，平均利润为45元，若会员消费3次，平均利润为为40元，若会员消费4次，平均利润为35元，若会员消费5次，平均利润为30元，∴X的可能取值为50，45，40，35，30，-22-\n∴P（X=50）=，P（X=45）=，P（X=40）=，P（X=35）=，P（X=30）=．∴X的分布列为：X5045403530P∴E（X）=50×+45×+40×+35×+30×=46.25．　16．已知函数y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤）的图象与y轴相交于点M（0，），且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0∈[，π]时，求x0的值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）将M坐标代入已知函数，计算可得得cosθ，由θ范围可得其值，由ω=结合已知可得ω值；（2）由已知可得点P的坐标为（2x0﹣，）．代入y=2cos（2x+）结合x0∈[，π]和三角函数值得运算可得．【解答】解：（1）将x=0，y=代入函数y=2cos（ωx+θ）得cosθ=，∵0≤θ≤，∴θ=．由已知周期T=π，且ω＞0，-22-\n∴ω===2（2）∵点A（，0），Q（x0，y0）是PA的中点，y0=，∴点P的坐标为（2x0﹣，）．又∵点P在y=2cos（2x+）的图象上，且x0∈[，π]，∴cos（4x0﹣）=，≤4x0﹣≤，从而得4x0﹣=，或4x0﹣=，解得x0=或　17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥BQ，AD⊥PQ，利用线面垂直的判定，可得AD⊥平面PQB．；（Ⅱ）利用PA∥平面MQB，可得MN∥PA，利用比例关系，即可得到结论；（Ⅲ）证明PQ⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面MQB的法向量=，取平面ABCD的法向量=（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD．因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形．-22-\n又Q为AD中点，所以AD⊥BQ．因为PA=PD，Q为AD的中点，所以AD⊥PQ．又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB．（Ⅱ）解：当时，PA∥平面MQB．下面证明：连接AC交BQ于N，连接MN．因为AQ∥BC，所以．因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，所以MN∥PA，所以，所以，即．（Ⅲ）解：因为PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，所以PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Q﹣xyz．由PA=PD=AD=2，则有A（1，0，0），，．设平面MQB的法向量为=（x，y，z），由，且，，可得令z=1，得．所以=为平面MQB的一个法向量．取平面ABCD的法向量=（0，0，1），则=，故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．-22-\n　18．已知平面上两个定点、，P为一个动点，且满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点．分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明为定值．【考点】J3：轨迹方程；K6：抛物线的定义；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．（2）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出，最后看其是不是定值即可．【解答】解：（I）设P（x，y）．由已知，-22-\n∵∴4y+8=4整理，得x2=8y即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2=8y．（II）由已知N（0，2）．即得（﹣x1，2﹣y1）=λ（x2，y2﹣2）将（1）式两边平方并把x12=8y1，x22=8y2代入得y1=λ2y2解（2）、（3）式得，且有x1x2=﹣λx22=﹣8λy2=﹣16．抛物线方程为．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，即y=解出两条切线的交点Q的坐标为所以=所以为定值，其值为0．　19．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2-22-\n））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．【解答】解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=1+，令g（x）=x2﹣ax+1，△=a2﹣4，①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x1=，x2=，当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0；故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．（Ⅱ）由（I）知，a＞2．因为f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+﹣a（lnx1﹣lnx2），所以k==1+﹣a，又由（I）知，x1x2=1．于是k=2﹣a，若存在a，使得k=2﹣a，则=1，即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2，-22-\n亦即（*）再由（I）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而x2＞1，所以＞1﹣1﹣2ln1=0，这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2﹣a．　20．如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且au∈{1，﹣1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A=（A）+（A））．（Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（Ⅰ）可以取第一行都为﹣1，其余的都取1，即满足题意；（Ⅱ）不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（Ⅲ）通过分析正确得出l（A）的表达式，及从A0如何得到A1，…依此类推即可得到Ak．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．﹣1﹣1﹣1﹣111111111-22-\n1111（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．证明如下：假设存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．因为ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j=1，2，3，…，9），所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个﹣1．令M=r1（A）•…r9（A）c1（A）…c9（A）．一方面，由于这18个数中有9个1，9个﹣1，从而M=﹣1．①另一方面，r1（A）•…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1（A）•…c9（A）也表示m，从而M=m2=1．②①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．一方面，从“行”的角度看，有P=r1（A）•r2（A）…rn（A）；另一方面，从“列”的角度看，有P=c1（A）c2（A）…cn（A）．从而有r1（A）•r2（A）…rn（A）=c1（A）c2（A）…cn（A）．③注意到ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j=1，2，3，…，n），下面考虑r1（A），…，rn（A）；c1（A），…，cn（A），这些数中﹣1的个数：由③知，上述2n个实数中，﹣1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n﹣2k，所以l（A）=（﹣1）×2k+1×（2n﹣2k）=2（n﹣2k）．对数表A0：aij=1，（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．将数表A0中的a11由1变为﹣1，得到数表A1，显然l（A1）=2n﹣4．将数表A1中的a22由1变为﹣1，得到数表A2，显然l（A2）=2n﹣8．依此类推，将数表Ak﹣1中的akk由1变为﹣1，得到数表Ak．即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=﹣1（1≤k≤n），其余aij=1．所以r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=﹣1，c1（A）=c2（A）=…=ck（A）=﹣1．所以l（Ak）=2[（﹣1）×k+（n﹣k）]=2n﹣4k．由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n﹣2k）|k=0，1，2，…n}．　-22-