大纲版数学高考名师一轮复习教案51平面向量的概念与运算microsoftword文档doc高中数学
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第五章平面向量复数知识构造网络5.1平面向量的概念与运算一.明确复习目标1理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法3掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件二.建构知识网络1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:…或…等;向量的长度即向量的模记作||。(2)零向量:其方向:(3)单位向量:单位向量不唯一.(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反方向相同或相反.规定:与任意向量平行。13/13\n(5)相等向量:长度相等且方向相同.2.向量加法:设,(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法,向量加法按“平行四边形法那么”或“三角形法那么”进展。DCBA如图+==。或+=规定:;(2)向量加法满足交换律与结合律;3.向量的减法(1)相反向量:关于相反向量有:①=;②+()=()+=;③假设、是互为相反向量,那么=,=,+=。(2)向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,记作:。求两个向量差的运算,叫做向量的减法。如上图表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)。(3)温馨提示:①用平行四边形法那么时,两个已知向量是要共始点的,和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。②三角形法那么的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零.差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。13/13\n4.实数与向量的积(1)实数λ与向量的积:①是个向量;②模等于③方向λ>0时与同向,λ<0时与反向.(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5.向量共线定理:向量与非零向量共线怎样判定向量共线——(1)共线向量定理;(2)依定义;(3)用几何方法.6.平面向量的根本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.三、双基题目练练手1.(2022广东)已知D是△ABC的边AB上的中点,那么向量()A.BC.D.2.(2022山东)已知向量,且那么一定共线的()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D13/13\n3.(2022江西)已知等差数列的前项和为,假设,且、、三点共线(该直线不过点),那么等于()A.100B.101C.200D.2014.设为非零向量,那么以下命题中,真命题的个数是______①与有相等的模;②与的方向相同;③与的夹角为锐角;④且方向相反.5.(2022安徽)在平行四边形ABCD中,,,,M为BC的中点,那么=__________(用表示)6.设向量、不共线,=k+,=+k(kÎR),假设∥,那么k=___7.(2022湖南)如图,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,PBAOM那么的取值范围是________;当时,的取值范围是__________.答案:1-3.AAA;4.2;5.找封闭折线,得;13/13\n6.=λ(λÎR)…;法2.仿坐标表示:k2-1=0…;7.(),.提示:作PC//OB,交AO延长线于点C,可知x<0.当时,PC//AB,设PC交OM于D,交AB延长线于E,P必在DE之间,可知.四、经典例题做一做【例1】如图,在梯形ABCD中,G为对角线AC、BD的交点,E、F分别是腰AD、BC的中点,求向量。GFEDCBA图1解:(1)∵E,F分别是两腰的中点,∴,又,,两式相加得;(2)设,,由得:∴,◆提炼方法:1.用好“封闭折线的向量和等于零向量”;2.由共线求交点的方法:待定系数λ,μ.【例2】设不共线,求证:点P、A、B共线的充要条件是:13/13\n。证明:充分性:∴A、P、B共线。必要性:A、P、B共线,那么有必要性成立。特例:当时,,此时P为AB的中点,这是向量的中点公式。◆提炼方法1.利用向量证明三点共线的方法:(1)证明有公共点的的两个向量平行,那么这两个向量的四个(三个)端点共线;(2)利用此题的结论.2.证向量平行的方法:(1)共线向量定理;(2)依定义;(3)用几何方法.【例3】已知G是△ABC的重心,O是外心,H是垂心,P是平面ABC内任意一点,求证:baGCBA图2D(1);(2);13/13\n(3);(4)点O、G、H三点共线。证明:(1)以向量为邻边作平行四边形GBEC,那么,又G为△ABC的重心知,从而,∴。(2)如图1易知,,;三式相加得(3)作辅助线如图2,DA⊥AC,DB⊥BC,∴DA//BH,DB//AHDOHCBAE图3在ADBH中,,∴(4)在(2)中取P为O,得∴,点O、G、H共线。◆提炼方法:1.明确解题目标,用好加法的两个法那么、几何图形和向量中处理问题的一些手法,如向量共线、点共线的证法和用法;2.(2022全国Ⅰ)的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,那么实数m=.是题(3)的结果.13/13\n【例4】一条河的两岸平行,河的宽度为,一艘船从处出发航行到河的正对岸处,船的航行速度为,水流速度为.(1)试求的夹角(准确到),及船垂直到达对岸所用的时间(准确到);(2)要使船到达对岸所用时间最少,的夹角应为多少?┐AB解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使的合速度的方向正好垂直于对岸,所以,的夹角满足,,故的夹角;船垂直到达对岸所用的时间.(2)设的夹角为(如图),在垂直方向上的分速度的和为,而船到达对岸时,在垂直方向上行驶的路程为,从而所用的时间为,显然,当时,最小,即船头始终向着对岸时,所用的时间最少,为.◆提炼方法:理解物理意义,用向量的知识解决.ABC图4EIDF【研讨.欣赏】如图4,求证ΔABC的三条角平分,AD,BE,CF交于一点.证明:设,CF,BE交于点I.由于13/13\nC,I,F共线,B,I,E共线,可设由得,∵不共线,∴同理设CF,AD交于点J,,可求得δ=λ,即J与I重合,说明三条角平分线交于一点.◆方法提炼:相邻两边上单位向量的和向量在两边夹角角的平分线上.五.提炼总结以为师1.向量的有关概念:①向量②零向量③单位向量④平行向量(共线向量)⑤相等向量2.向量加法减法:3.实数与向量的积4.两个向量共线定理,会由此定理证共线、求交点或线段长度,比值.5.平面向量的根本定理,基底。同步练习5.1平面向量的概念与运算【选择题】CBAD1.(2022上海)如图,在平行四边形ABCD中,以下13/13\n结论中错误的选项是()(A);(B);(C);(D);2.(2022福建)已知点C在内,使。设,那么等于()A. B.3 C. D. 3.设非零向量,,,假设=++,那么||的取值范围是( )A.[0,1][0,2][0,3][-3,3]4.(2022全国Ⅰ)设平面向量、、的和如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,那么()ABCD【填空题】5.设是不共线的向量,已知向量,,假设A,B,D三点共线,那么k的值等于_________-813/13\n6.已知(,)是平面上一个基底,假设=+λ,=-2λ-,假设,共线,那么λ=__________。◆练习简答:1-4.CBCD;2.易知OC⊥AB,由得.3.、、是单位向量,把起点移至原点,终点在单位圆上;方向相同时||最大为3,终点均匀分布在单位圆上时||最小为0.5.-8;6.【解答题】HDFaBAMC7.如图:已知在平行四边形ABCD中,AH=HD,BF=MC=BC,设=,=,试用、分别表示、、解:∵ABCD中,BF=MC=BC,∴FM=BC=AD=AH∴FMAH∴四边形AHMF也是平行四边形,∴AF=HM又,而∴=+,=---(--)=+8.求证:起点相同的三个非零向量,,3-2的终点在同一条直线上.证明:设起点为O,=,=,=3-2,13/13\n那么=2(-),=-,,∵共线且有公共点A,因此,A,B,C三点共线,即向量,,3-2的终点在同一直线上.9.假设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R).(1)假设a与b起点相同,t为何值时,a、tb、(a+b)三向量的终点在一直线上?(2)假设|a|=|b|且a与b夹角为60°,那么t为何值时,|a-tb|的值最小?解:(1)设a-tb=m[a-(a+b)](m∈R),化简得(-1)a=(-t)b.∵a与b不共线,∴∴t=时,a、tb、(a+b)的终点在一直线上.(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+t2-t)|a|2,∴t=时,|a-tb|有最小值|a|.评述:用两个向量共线的充要条件,可解决平面几何中的平行问题或共线问题.10.求证ΔABC的三条中线AD、BE、CF交于一点,并确定交点在中线上的位置。_GFEDAC证明:设,AD,BE交于点G,,在ΔACG中,由,可得.13/13\n同理可证,AD,CF也交于G点,G在AD的三分点处.【探索题】在△ABC中,AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN与CM交于点E,=a,=b,用a、b表示.ABCMNE解:由已知得=,=.设=λ,λ∈R,那么=+=+λ.=+λ(-)=+λ(-)=(-)+λ.同理,设=t,t∈R,那么=+=+t=+t(-)=+t(-)=(-)+t.∴(-)+λ=(-)+t.由与是不共线向量,得解得∴=a+b.13/13
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