泉州五校高考理科数学最后一卷2
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2022年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题),第二卷第21题为选考题,其他题为必考题.总分值150分.考试时间120分钟.第一卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每题5分,总分值50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.设集合,集合,那么为()A.B.C.D.2.执行如以下图的程序框图,输出的S值为()A.9B.16C.25D.363.等差数列中,,那么数列的公差为()A.1B.2C.3D.44.“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图5343(6题图)5.已知直线与幂函数的图像将于两点,且那么的值为().A.B.C.D.6.假设某几何体的三视图(单位:)如以下图,那么该几何体的体积等于( )A.B.C.D.7.如图,四边形为矩形,,,以为圆心,1为半径画圆,交线段于E,在圆弧DE上任取一点P,那么直线AP与线段BC有公共点率为()A.B.C.D.8.已知半圆的直径,为圆心,为半圆上不同于的任意一点,假设为半径上的动点,那么的最小值是()A.-B.C.D.9.设方程与的根分另为,那么()A.B.C.D.,,假设,使,那么实数的取值范围是()11/11\nA.B.C.D.第二卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5小题,每题4分,共20分.)(i为虚数单位)的共轭复数是12.假设变量满足约束条件,那么的最大值是13.展开式中项的系数490,那么实数的值为.14.已知正项,奇数项成公差为1的等差数列,当n为偶数时点等于15.平面内两定点M(0,-2)和N(0,2),动点P(x,y)满足,动点P的轨迹为曲线E,给出以下命题:①m,使曲线E过坐标原点;②对m,曲线E与x轴有三个交点;③曲线E只关于y轴对称,但不关于x轴对称;④假设P、M、N三点不共线,那么△PMN周长的最小值为2+4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H,那么四边形GMHN的面积不大于m。其中真命题的序号是.(填上所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.在中,角所对的边分别为,,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)假设,求函数的单调递增区间17.4月10日,2022《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动,并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如以下图.(Ⅰ)求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩;(Ⅱ)如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学,求这名同学考试成绩在80分以上(含80分)的概率;(Ⅲ)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这3名同学中考试成绩在80分以上(含80分)的人数记为,求的分布列及数学期望.(注:频率可以视为相应的概率)18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.11/11\n(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.19.19.已知椭圆C:的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直,椭圆上的点到焦点的最大距离(Ⅰ)求椭圆C的方程.(Ⅱ)过轴上一点(的直线交椭圆C于A,B两点,试问:在椭圆C上是否存在定点T,使得无论直线如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?假设存在,求出的值及点T的坐标,假设不存在,请说明理由.(Ⅰ)求函数处的切线方程;(Ⅱ)假设为实数,函数上的有极值,求的取值范围;(Ⅲ)试问是否存在,使得恒成立?假设存在,请写出的值,并证明你的结论;假设不存在,请说明理由。21.(本小题总分值14分)此题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选两题作答,共14分.如果多做,那么按所做的前两题计分.(1)(本小题总分值7分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=,B=.(Ⅰ)求满足条件AM=B的矩阵M;(Ⅱ)假设矩阵M对应的变换将曲线C:x2+y2=1变换为曲线C′,求曲线C′的方程(2)(本小题总分值7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.(3)(本小题总分值7分)选修4-5:不等式选讲设不等式的解集与关于的不等式的解集相同.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求函数的最大值,以及取得最大值时的值.2022年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中11/11\n高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷答案本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题),第二卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.总分值150分.考试时间120分钟.第一卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,总分值50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合,集合,那么为A.B.C.D.2.执行如以下图的程序框图,输出的S值为(B)A.9B.16C.25D.363.等差数列中,,那么数列的公差为(B)A.1B.2C.3D.44.“”是“”的(B)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图5343(6题图)5.已知直线与幂函数的图像将于两点,且,那么的值为(C).A.B.C.D.6.假设某几何体的三视图(单位:)如以下图,那么该几何体的体积等于( B )A.B.C.D.7.如图,四边形为矩形,,,以为圆心,为半径画圆,交线段于,在圆弧上任取一点,那么直线与线段有公共点的概率为(C)A.B.C.D.8.已知半圆的直径,为圆心,为半圆上不同于的任意一点,假设为半径上的动点,那么的最小值是(D)A.-B.C.D.9.设方程与的根分另为,那么(A)A.B.C.D.,,假设,使,那么实数的取值范围是(B)A.B.C.D.第二卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每题4分,共20分.z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是-1-i11/11\n12.假设变量满足约束条件,那么的最大值是5/313.展开式中项的系数490,那么实数的值为.答案:14.已知正项,奇数项成公差为1的等差数列,当n为偶数时点等于答案:15.平面内两定点M(0,-2)和N(0,2),动点P(x,y)满足,动点P的轨迹为曲线E,给出以下命题:①m,使曲线E过坐标原点;②对m,曲线E与x轴有三个交点;③曲线E只关于y轴对称,但不关于x轴对称;④假设P、M、N三点不共线,那么△PMN周长的最小值为2+4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H,那么四边形GMHN的面积不大于m。其中真命题的序号是.(填上所有真命题的序号)1、4、5三、解答题(本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.在中,角所对的边分别为,,.(1).求角的大小;(2).假设,求函数的单调递增区间16.解:(Ⅰ)由得由得,又,得(Ⅱ)由余弦定理可得=由得所以,函数的对称轴为由,得所以所求函数的单调递增区间为17.4月10日,2022《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动,并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如以下图.(Ⅰ)求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩;(Ⅱ11/11\n)如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学,求这名同学考试成绩在80分以上(含80分)的概率;(Ⅲ)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这3名同学中考试成绩在80分以上(含80分)的人数记为,求的分布列及数学期望.(注:频率可以视为相应的概率)解:(Ⅰ),,∴,………………………2分估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:………4分(Ⅱ)设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A.答:被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4.………………6分(Ⅲ)由(2)知,从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为,X可能的取值是0,1,2,3.;;;.的分布列为:0123………………11分所以.………13分(或,所以.)18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.(II)由(I)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,那么B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,那么,即,令,那么,,所以.11/11\n同理可得,平面BCC1的法向量为,所以.由题知二面角A1-BC1-C为钝角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值为.(III)设D是直线BC1上一点,且.所以.解得,,.所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,.19.(本小题总分值13分)已知椭圆C:的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直,椭圆上的点到焦点的最大距离(Ⅰ)求椭圆C的方程.(Ⅱ)过轴上一点(的直线交椭圆C于A,B两点,试问:在椭圆C上是否存在定点T,使得无论直线如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?假设存在,求出的值及点T的坐标,假设不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)设椭圆C:的右焦点为依题目意得:解得:所以,椭圆方程为:(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,由,得:此时以为直径的圆的方程为:当:直线的斜率为0时,直线的方程为此时以为直径的圆的方程为:要使定点存在,可知方程联立方程组只有一解,解得11/11\n所以点的坐标为时,可能椭圆上存在定点满足题意.当过点直线斜率存在时,存在定点满足题意,设直线的方程为:,由,得:此时,因些,过点直线斜率存在时,以为直径的圆过定点综上所述:存在定点满足题意。(Ⅰ)求函数处的切线方程。(Ⅱ)假设为实数,函数上的有极值,求的取值范围;(Ⅲ)试问是否存在,使得恒成立?假设存在,请写出的值,并证明你的结论;假设不存在,请说明理由。解:(Ⅰ)因为,………………………………………1分所以函数在处的切线方程为y=1……………………3分(Ⅱ)因为,,由,令,得当时,;当时,…………………………4分所以在区间上单调递增,在区间上单调递减。所以函数在处取得极大值。…………………………5分因为函数在区间上有极值,所以,解得。…………………………7分(III)因为过点,结合函数的图象可知,当时,直线与函数的图象恒有公共点,不合题意,所以,又,故。在不等式中,令,得,又,所以。以下证明,时命题成立,即证恒成立………………8分方法一:因为。(*)(i)设,那么,令,得。那么在区间上单调递减,在区间上单调递增。11/11\n所以,即不等式成立。……………………………10分(ii)设,那么,令,得,那么在区间上单调递增,在区间上单调递减。所以,即不等式成立。……………………………13分综上可知(*)式成立,即存在,满足题意。………………………14分方法二:,且。(*)(i)设,。令,得。那么在区间上单调递减,在区间上单调递增。所以,即恒成立。……………10分(ii)设,那么,令,得,那么在区间上单调递减,在区间上单调递增。所以,即恒成立。……………………………13分综上可知(*)式成立,即存在,满足题意。………………………14分21、1、已知矩阵A=,B=.(1)求满足条件AM=B的矩阵M;(2)矩阵M对应的变换将曲线C:x2+y2=1变换为曲线C′,求曲线C′的方程解 (1)设M=,AM===,得a=0,b=2,c=3,d=0.∴M=.(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′,y′),那么M===,∴即代入曲线C:x2+y2=1,得()2+()2=1.∴曲线C′的方程是+=1.11/11\n2、已知在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的极坐标方程为.①求直线普通方程和曲线的直角坐标方程;②设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.【答案】①直线的普通方程为:.…………………2分曲线的直角坐标方程为:【或】.…………………4分②曲线的标准方程为,圆心,半径为1;∴圆心到直线的距离为:…………………6分所以点到直线的距离的取值范围是………………7分(3)(本小题总分值7分)选修4—5:不等式选讲设不等式的解集与关于的不等式的解集相同.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求函数的最大值,以及取得最大值时的值.(3)(本小题总分值7分)选修4-5:不等式选讲解:(Ⅰ)不等式的解集为,所以,不等式的解集为,.……3分(Ⅱ)函数的定义域为,显然有,由柯西不等式可得:,……5分当且仅当时等号成立,即时,函数取得最大值.…7分学校班级姓名号数…………………………密…………封…………线…………内……………不……………要……………答……………题…………………………2022年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷数学(文)答题卡一、选择题:(本大题共10小题,每题5分,共50分)题号12345678910答案二、填空题:(本大题共5题,每题4分,共20分)11.12.13.14.15.11/11\n三、解答题:(本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题13分)17.(本小题13分)18.(本小题13分)19.(本小题13分)20.(本小题14分)21.(本小题总分值14分)此题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选两题作答,共14分.如果多做,那么按所做的前两题计分11/11
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