湖北省近五年（2008-2022）高考数学最新分类汇编8 解析几何 理

湖北省2022届高三最新理科数学（精选试题16套+2022-2022五年湖北高考理科试题）分类汇编8：解析几何一、选择题．（湖北省八校2022届高三第二次联考数学（理）试题）已知双曲线右支上的一点到左焦点距离与到右焦点的距离之差为,且到两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()（　　）A．B．C．D．【答案】D．（湖北省武汉市2022届高三5月供题训练数学理试题（二）（word版））如图,F1,F2是双曲线C:l的左、右焦点,过F1的直线与C的左、右两支分别交于A,B两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率为（　　）A．B．C．2D．【答案】A．（湖北省八市2022届高三3月联考数学（理）试题）抛物线的焦点为,点在抛物线上,且,弦中点在准线上的射影为的最大值为（　　）A．B．C．D．【答案】B．（湖北省黄梅一中2022届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题）我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面为m千米,远地点B距地面为n千米,地球半径为R千米,则飞船运行轨道的短轴长为（　　）A．B．C．mnD．2mn【答案】A38\n．（湖北省浠水一中2022届高三理科数学模拟测试）已知椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.P是椭圆上一点.PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形,当60°<PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）A．()B．()C．()D．(0)【答案】B．解析:由,,可得,由得故．（2022年全国高考理科数学试题及答案-湖北）将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则（　　）A．n=0B．n=1C．n=2D．n3【答案】C．（2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）过点A(11,2)作圆的弦,其中弦长为整数的共有（　　）A．16条B．17条C．32条D．34条【答案】C．（湖北省黄冈市2022届高三数学（理科）综合训练题）抛物线的焦点为F,O为坐标原点,若抛物线上一点P满足的面积为（　　）A．B．C．D．【答案】C．（湖北省武汉市2022届高三5月模拟考试数学（理）试题）如图,P为椭圆上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A,上顶点B分别作轴,轴的平行线,它们相交于点C,过P引BC．AC的平行线交AC于N,交BC于M,交AB于D．E,记矩形PMCN的面积为,三角形PDE的面积为,则（　　）38\nA．1B．2C．D．与点P的坐标有关【答案】A．（湖北省武汉市2022届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）如右下图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直O为正方形AB-CD的中心,M为正方形ABCD内一点,且满足MP=MB,则点M的轨迹为【答案】B．（湖北省天门市2022届高三模拟测试（一）数学理试题）双曲线与抛物线有一个公共焦点F,双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为,则双曲线的离心率等于（　　）A．2B．C．D．【答案】B．（湖北省武汉市2022届高三5月供题训练数学理试题（三）（word版））过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则ΔAOB的面积为（　　）A．B．C．D．2【答案】C．（2022年高考（湖北理））若直线与曲线有公共点,则的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】C．【解析】曲线方程可化简为,即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,依据数形结合,当直线与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b距离等于2,解得,因为是下半圆故可得(舍),当直线过(0,3)时,解得b=3,故所以C正确.．（湖北省黄梅一中2022届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题）若直线4x-3y-2=0与圆有两个不同的公共点,则实数a的取值范围是（　　）38\nA．-3<a<7B．-6<a<4C．-7<a<3D．-21<a<19【答案】B．（2022高考(湖北理)）已知双曲线的准线过椭圆的焦点,则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是（　　）A．B．C．D．【答案】A．【解析】易得准线方程是所以即所以方程是联立可得由可解得A．（湖北省八校2022届高三第二次联考数学（理）试题）定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系.在平面斜坐标系中,若(其中分别是斜坐标系轴,轴正方向上的单位向量,为坐标系原点),则有序数对称为点的斜坐标.在平面斜坐标系中,若点的斜坐标为则以点为圆心,2为半径的圆在斜坐标系中的方程是（　　）A．B．C．D．【答案】C．（湖北省武汉市2022届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）已知抛物线M:y2=4x,圆N(x-1)2+y2=r2(其中r为常数,r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C,D两点,交抛物线财于（　　）A．B两点,若满足丨AC丨=|BD丨的直线l有三条,则（　　）A．___B．__C．___D．【答案】D．（湖北省黄冈市2022届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知O为坐标原点,双曲线的右焦点F,以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点（　　）38\nA．B,若,则双曲线的离心率为（　　）A．2B．3C．D．【答案】C．（湖北省黄冈中学2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线的焦距为,焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为（　　）A．B．C．或D．或【答案】答案:C解析:由题易知,故,这样的双曲线标准方程有两个.．（湖北省七市2022届高三4月联考数学（理）试题）已知直线l:y=ax+1-a(a∈R).若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|,则称此曲线为直线l的“绝对曲线”.下面给出四条曲线方程:①y=-2|x-1|;②y=;③(x-1)2+(y-1)2=1;④x2+3y2=4;则其中直线l的“绝对曲线”有（　　）A．①④B．②③C．②④D．②③④【答案】D．（湖北省黄梅一中2022届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题）直线:kx+(1-k)y-3=0和:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=（　　）A．-3或-1B．3或1C．-3或1D．-1或3【答案】C．（2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:38\n①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④<.其中正确式子的序号是（　　）A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】B．（湖北省黄冈市2022届高三4月调研考试数学（理）试题）已知直线x=2与双曲线的渐近线交于E1、E2两点,记,任取双曲线C上的点P,若,则（　　）A．B．C．D．【答案】D．（湖北省襄阳市2022届高三3月调研考试数学（理）试题）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为（　　）A．B．2C．D．【答案】C二、填空题．（湖北省荆州市2022届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）抛物线38\n=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A、B两点,抛物线的准线与x轴交于点K,则(1)以AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系为____(填“相交”、“相切”或“相离”);(2)△KAB的面积的最小值为_________.【答案】(1)相切;(2).．（湖北省黄冈市2022届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知椭圆是椭圆上两点,有下列三个不等式①②③.其中不等式恒成立的序号是______.(填所有正确命题的序号)【答案】①②③．（湖北省黄梅一中2022届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题）过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F,作圆的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为________..【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符．（湖北省七市2022届高三4月联考数学（理）试题）已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.则:(I)y1y2=______;(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是______.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)．（2022年湖北高考试题（理数，word解析版））如图,双曲线的两顶点为,,虚轴两端点为,,两焦点为,.若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为.则A1　　A2yB2B1AOBCDF1　　　　　　　　F2　x(Ⅰ)双曲线的离心率________;(Ⅱ)菱形的面积与矩形的面积的比值________.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)38\n【答案】(1);(2)【解析】(1)由图象可知,即为点到直线的距离,且,又易知直线的方程为,所以,整理得,得.所以,解得(负值舍去)(2)连结,设与轴的交点为,则.在直角三角形中,有,所以,得.所以.所以.而,所以.【点评】本题考查双曲线的离心率,点到直线的距离,四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切,得到圆心到该直线的距离等于半径,这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程,轨迹问题,特别是双曲线的定义的应用.三、解答题．（湖北省八校2022届高三第二次联考数学（理）试题）已知椭圆抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:(1)求的标准方程;(2)设斜率不为的动直线与有且只有一个公共点且与的准线相交于点试探究:在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过点若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.38\n【答案】．（湖北省浠水一中2022届高三理科数学模拟测试）如图所示,过点作直线交抛物线于两点,且,过作轴的垂线交抛物线于点.连接记三角形的面积为,记直线与抛物线所围成的阴影区域的面积为.(1)求的取值范围;(2)是否存在常数,使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由38\n【答案】解:(1)易知直线AB的斜率存在,设AB直线方程为代入抛物线方程得,(*)设因为M是AB的中点,所以,即方程(*)即为:(**)由得所以的取值范围是;......4＇(2)因为轴,所以|MC|=,由方程(**)得所以=====;...8＇常数存在且不妨设由方程(**)得,代入上式化简得由(2)知=所以所以常数存在且.13＇．（2022年全国高考理科数学试题及答案-湖北）平面内与两定点,38\n连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.(Ⅰ)求曲线的方程,并讨论的形状与值得关系;(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点.试问:在撒谎个,是否存在点,使得△的面积.若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想.解:(I)设动点为M,其坐标为,当时,由条件可得即,又的坐标满足故依题意,曲线C的方程为当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆;当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线.(II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为当时,C2的两个焦点分别为对于给定的,C1上存在点使得的充要条件是②①38\n由①得由②得当或时,存在点N,使S=|m|a2;当或时,不存在满足条件的点N,当时,由,可得令,则由,从而,于是由,可得综上可得:当时,在C1上,存在点N,使得当时,在C1上,存在点N,使得当时,在C1上,不存在满足条件的点N.38\n．（湖北省八市2022届高三3月联考数学（理）试题）已知△的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于.(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;(Ⅱ)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称点为(不重合)试问:直线与轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.【答案】.(Ⅰ)由题知:化简得:当时轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;当时轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;当时轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;当时轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点;(Ⅱ)设依题直线的斜率存在且不为零,则可设:,代入整理得,,又因为不重合,则的方程为令,得故直线过定点解二:设依题直线的斜率存在且不为零,可设:代入整理得:38\n,,的方程为令,得直线过定点．（湖北省武汉市2022届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F1为其左焦点,巳知ΔAF1B的周长为8,椭圆的离心率为(I)求橢圆的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P,Q且若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.【答案】38\n．（湖北省荆州市2022届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）已知圆C:=8及点F(1,0),P为圆C上一动点,在同一坐标平面内的动点M满足:,││=││.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)过点F作直线l与(1)中轨迹E交于不同两点R,S,设=λ,λ∈[-2,-1),求直线l的纵截距的取值范围.【答案】38\n．（湖北省黄梅一中2022届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题）设双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.(1)求双曲线C的离心率e的值;(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程.38\n【答案】(2)由(1)得双曲线C的方程为把.把代入得.依题意∴,且.∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为∵.∴.整理得.∴或.∴双曲线C的方程为:或.38\n(2)将代入得.由及,得.所以方程①在区间,2有两个实根.设,则方程③在,2上有两个不等实根的充要条件是:之得.∵∴由弦长公式,得又原点到直线l的距离为,∴∵,∴.∴当,即时,.．（湖北省武汉市2022届高三5月供题训练数学理试题（三）（word版））已知P(x0,y0)()是双曲线E:上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(I)求双曲线的离心率;38\n(II)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足,求λ的值.【答案】．（湖北省黄冈市2022届高三4月调研考试数学（理）试题）设点A(,0),B(,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)若直线l过点F(1,0)且绕F旋转,l与圆相交于P、Q两点,l与轨迹C相交于R、S两点,若|PQ|求△F′RS的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C的左焦点).【答案】(Ⅰ)设,则化简轨迹的方程为(Ⅱ)设,的距离,,将代入轨迹方程并整理得:38\n设,则,设,则上递增,,．（湖北省武汉市2022届高三5月供题训练数学理试题（二）（word版））已知椭圆的离心率为e=,以右焦点F2为圆心,长半轴为半径的圆与直线=O相切.(I)求椭圆C的标准方程;(II)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,在x轴上是否存在点P(m,0)使PM=PN.若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】38\n．（湖北省天门市2022届高三模拟测试（一）数学理试题）已知点,(1)求P的轨迹C的方程;(2)是否存在过点l与曲线C相交于A,B两点,并且曲线C存在点Q,使四边形OAQB为平行四边形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)P的轨迹是以MN为焦点,长轴长为的椭圆所以的轨迹的方程为(2)设,由题意知的斜率一定不为0,故不妨设,代入椭圆方程整理得,显然则①,假设存在点,使得四边形为平行四边形,其充要条件为,则点的坐标为.由点在椭圆上,即整理得又在椭圆上,即故②38\n将代入由①②解得即直线的方程是:,即．（2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于2,求直线l斜率的取值范围.【答案】本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(Ⅰ)解法1:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得||MA|-|MB||=|PA|-|PB|=<|AB|=4.∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4.∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为>0,b>0).则由解得a2=b2=2,38\n∴曲线C的方程为(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,∴∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).②设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=,于是|EF|==而原点O到直线l的距离d=,∴S△DEF=若△OEF面积不小于2,即S△OEF,则有③综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1,1)∪(1,).解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,∴.38\n∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).②设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得|x1-x2|=③当E、F在同一支上时(如图1所示),S△OEF=当E、F在不同支上时(如图2所示).S△ODE=综上得S△OEF=于是由|OD|=2及③式,得S△OEF=若△OEF面积不小于2④综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1,1)∪(1,).．（湖北省黄冈市2022届高三数学（理科）综合训练题）如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:,设圆与椭圆交于点与点.(1)求椭圆的方程;(2)求的最小值,并求此时圆的方程;(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,求证:为定值.38\n【答案】解:(1)依题意,得,,;故椭圆的方程为.(2)方法一:点与点关于轴对称,设,,不妨设.由于点在椭圆上,所以.(*),由已知,则,,.由于,故当时,取得最小值为.由(*)式,,故,又点在圆上,代入圆的方程得到.故圆的方程为:.方法二:点与点关于轴对称,故设,不妨设,由已知,则.故当时,取得最小值为,此时,又点在圆上,代入圆的方程得到.故圆的方程为:.(3)方法一:设,则直线的方程为:,令,得,同理:,故(**),38\n又点与点在椭圆上,故,,代入(**)式,得:.所以为定值.方法二:设,不妨设,,其中.则直线的方程为:,令,得,同理:,故.所以为定值.．（2022年高考（湖北理））已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(I)求曲线C的方程;(II)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.解:(I)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:化简得(II)设过点M(m,0)的直线与曲线C的交点为设的方程为于是①又②又于是不等式②等价于38\n③由①式,不等式③等价于④对任意实数t,的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有,且m的取值范围是．（湖北省七市2022届高三4月联考数学（理）试题）在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且==.(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆:+=1上;(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为,求证:直线MN过定点;并求△GMN面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)∵,∴,又则直线的方程为①38\n又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,设不妨取∴,不合题意②当直线的斜率存在时,设联立方程得则又即38\n将代入上式得解得或(舍)∴直线过定点∴,点到直线的距离为∴由及知:,令即∴当且仅当时,．（湖北省黄冈市2022届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为,一个焦点是(-1,0),过直线上一点引椭圆的两条切线,切点分别是A、B.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若在椭圆上的点处的切线方程是.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标;(Ⅲ)是否存在实数使得恒成立?(点C为直线AB恒过的定点)若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(I)设椭圆方程为的焦点是,故,又,所以,所以所求的椭圆方程为(II)设切点坐标为,,直线上一点M的坐标,则切线方程分别为,,又两切线均过点M,即,即点A,B的坐标都适合方程,故直线AB的方程是,显然直线恒过点(1,0),故直线AB恒过定点(III)将直线AB的方程,代入椭圆方程,得,即,38\n所以,不妨设,,同理,所以,即,故存在实数,使得．（湖北省武汉市2022届高三5月模拟考试数学（理）试题）已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.【答案】【解析】解:(1)依题意可得,,由已知得,化简得曲线C的方程:(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA的方程是,直线PB的方程是,曲线C在点Q处的切线l的方程为它与y轴的交点为,由于,因此①当时,,存在,使得,即l与直线PA平行,故当时不符合题意②当时,,所以l与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组,38\n解得D,E的横坐标分别是则,又,有,又于是对任意,要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足,解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想.高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.．（2022年湖北高考试题（理数，word解析版））设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点.是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)如图1,设,,则由,可得,,所以,.①因为点在单位圆上运动,所以.②将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为,所以当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,;38\n当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得,即.因为点H在直线QN上,所以.于是,.而等价于,即,又,得,(lbylfx)故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.图2图3图1ODxyAM第21题解答图解法2:如图2、3,,设,,则,,因为,两点在椭圆上,所以两式相减可得.③依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,故.于是由③式可得.④38\n又,,三点共线,所以,即.于是由④式可得.而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.．（湖北省黄冈中学2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.如图,“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成,为椭圆的左、右焦点,.为椭圆与抛物线的一个公共点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求定积分时,可以使用下面的换元法公式:函数中,令,则(其中).如.阅读上述文字,求“盾圆”的面积.(Ⅲ)过作一条与轴不垂直的直线,与“盾圆”依次交于四点,和分别为的中点,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.第21题图yOx【答案】解答:(Ⅰ)由的准线为,,故记又,所以,故椭圆为(Ⅱ)由知,,令38\n;根据对称性,“盾圆”的面积为(Ⅲ)设过的直线为,联立,得,则联立,得,则由共线,所以代入韦达定理整理得,故为定值．（2022高考(湖北理)）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为、.(Ⅰ)当时,求证:⊥;(Ⅱ)记、、的面积分别为、、,是否存在,使得对任意的38\n,都有成立.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力.解:依题意,可设直线MN的方程为,则有由消去x可得从而有①于是②又由,可得③(Ⅰ)如图1,当时,点即为抛物线的焦点,为其准线此时①可得证法1:证法2:(Ⅱ)存在,使得对任意的,都有成立,证明如下:38\n证法1:记直线与x轴的交点为,则.于是有将①、②、③代入上式化简可得上式恒成立,即对任意成立证法2:如图2,连接,则由可得,所以直线经过原点O,同理可证直线也经过原点O又设则．（湖北省襄阳市2022届高三3月调研考试数学（理）试题）已知椭圆C1:(a>b>0)的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)设O为坐标原点,取C2上不同于O的点&以OS为直径作圆与C2相交另外一点R,求该圆的面积最小时点S的坐标.38\n【答案】(1)解:由,得,又,解得①由题意可知,即②由①②得:所以椭圆C1的方程是(2)解:∵点M在线段PF2的垂直平分线上,∴|MP|=|MF2|,故动点M到定直线l1:x=-1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离,因此动点M的轨迹C2是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以点M的轨迹C2的方程为(3)解:因为以OS为直径的圆与C2相交于点R,所以∠ORS=90°,即设S(x1,y1),R(x2,y2),则,所以即∵y1≠y2,y2≠0,∴故,当且仅当,即时等号成立圆的直径因为,所以当,即时,38\n所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,±8)38