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高考数学例解互斥事件doc高中数学
高考数学例解互斥事件doc高中数学
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典型例题一例1今有标号为1、2、3、4、5的五封信,另有同样标号的五个信封,现将五封信任意地装入五个信封中,每个信封一封信,试求至少有两封信与信封标号一致的概率.分析:至少有两封信与信封的标号配对,包含了下面两种类型:两封信与信封标号配对;3封信与信封标号配对;4封信与信封标号配对,注意:4封信配对与5封信配对是同一类型.现在我们把上述三种类型依次记为事件,可以看出两两互斥,记“至少有两封信与信封标号配对”为事件,事件发生相当于有一个发生,所以用公式可以计算.解:设至少有两封信配对为事件,恰好有两封信配对为事件,恰有3封信配对为事件,恰有4封信(也就是5封信)配对为事件,那么事件等于事件,且事件为两两互斥事件,所以.5封信放入5个不同信封的所有放法种数为,其中正好有2封信配对的不同结果总数为正好有3封信配对的不同结果总数为正好有4封信(5封信)全配对的不同结果总数为1,而且出现各种结果的可能性相同,15/15\n说明:至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对,但是配对越少,计算该结果的所有方法总数越困难,即计算该事件的概率越不方便.现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少?我们转化为求其对立事件的概率就简单得多,它的对立事件为“3封信配对或4封信(即5封)配对”,得到其结果的概率为,在计算事件的概率时有时采用“正难那么反”的逆向思维方法,直接计算事件的概率比较难,而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法.典型例题七例7 射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为,,,,.计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或9环的概率;(2)至少射中7环的概率;(3)射中环数缺乏8环的概率.分析:“射中10环”,“射中9环”,…“射中7环以下”是彼此互斥事件,可运用“事件的和”的概率公式求解.解:设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为、、、、,那么15/15\n(1),所以射中10环或9环的概率为.(2),所以至少射中7环的概率为.(3),所以射中环数缺乏8环的概率为.说明:公式只有在、两事件互斥时才使用,如果、两事件不互斥,就不能应用这一公式,一定要注意这一公式应用的前提是、两个事件互斥.典型例题三例3有4个红球,3个黄球,3个白球装在袋中,小球的形状、大小相同,从中任取两个小球,求取出两个同色球的概率是多少?分析:与倒2中取球方式不同的是,从中取出两球是不放回的取出.处理上,例2是分步取球,先取哪个后取哪个是有区别地对待,而本例中,只要搞清是取的什么球,直接用组合数列式.取出两个同色球可以分成下面几个类型:两个红球;两个黄球;两个白球.解:从10个小球中取出两个小球的不同取法数为“从中取出两个红球”的不同取法数为,其概率为“从中取出两个黄球”的不同取法数为,其概率为“从中取出两个白球”的不同取法数为,其概率为15/15\n所以取出两个同色球的概率为:说明:此题求取出两个同色球的概率,对结果比较容易分类,如果换上“取出3个球,至少两个同颜色”,这样的问题分类相对就比较复杂,在此我们不一一列出,但考虑其反面,对立事件为“取出3个球,颜色全不相同”,对立事件的概率比较容易算出.取出3个球,颜色全不相同的所有不同取法数为(种),对立事件的概率为,所以“取出3个球,至少两个同颜色”的概率为:典型例题九例9 小明的袋中放有3个伍分硬币、3个贰分硬币和4个壹分硬币,从中任取3个,求总数超过8分的概率.分析1:视其为互斥事件,进而求概率.解法1:(1)记“总数超过8分”为事件,它包括以下四种情况:①“取到3个伍分硬币”记为事件;②“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”为事件;③“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”为事件;④“取到1个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件.,,,.根据题意,、、、彼此互斥,故所求概率15/15\n.分析2:视其为等可能事件,进而求概率.解法2:从10个硬币中取3个,共有种不同方法.“总数超过8分”的共有以下四种情况:①取3个伍分硬币,共有种方法;②取2个伍分硬币和1个贰分硬币,共有种方法;③取2个伍分硬币和1个壹分硬币,共有种方法;④取1个伍分硬币和2个贰分硬币,共有种不同方法,所以“总数超过8分”共有种方法.∴总数超过8分的概率为.说明:复杂的等可能事件的概率可化为彼此互斥的简单事件来求,要注意分类的不重、不漏.典型例题二例2袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)3只全是红球的概率,(2)3只颜色全相同的概率,(3)3只颜色不全相同的概率,(4)3只颜色全不相同的概率.分析:有放回地抽3次的所有不同结果总数为,3只全是红球是其中的1种结果,同样3只颜色全相同是其中3种结果,全红、全黄、全白,用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率.“3种颜色不全相同”包含的类型较多,而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单,所以用对立事件的概率方式求解.3只颜色全不相同,由于是一只一只地按步取出,相当于三种颜色的一个全排列,其所有不同结果的总数为,用等可能事件的概率公式求解.解:有放回地抽取3次,所有不同的抽取结果总数为:15/15\n3只全是红球的概率为3只颜色全相同的概率为“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”.故“3只颜色不全相同”的概率为“3只颜色全不相同”的概率为说明:如果3种小球的数目不是各1个,而是红球3个,黄球和白球各两个,其结果又分别如何?首先抽3次的所有不同结果总数为,全是红球的结果总数为,所以全是红球的概率为,同样全是黄球的概率为,全是白球的概率也是,所以3只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和,,“三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件,其概率为“3只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只,然后再将它们排成一列,得到抽取的一种结果,其所有不同结果总数为(种),所以“3只小球颜色全不相同”的概率为典型例题五例5 判断以下各对事件是否是互斥事件,并说明道理.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有一名男生和至少有一名女生;(3)至少有一名男生和全是男生;(4)至少有1名男生和全是女生.分析:判断两个事物是否为互斥事件,就是考察它们能否同时发生,如果不能同时发生,那么是五斥事件,不然就不是互斥事件.解:(1)是互斥事件15/15\n道理是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”,它与“恰有两名男生”,不可能同时发生,所以是一对互斥事件.(2)不可能是互斥事件道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男性”和“两名都是女生”两种结果,它们可同时发生.(3)不可能是互斥事件道理是:“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男性”,这与“全是男生”,可同时发生.(4)是互斥事件道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.小结:互斥事件是概率知识中重要概念,必须正确理解.(1)互斥事件是对两个事件而言的.假设有、两个事件,当事件发生时,事件就不发生;当事件发生时,事件就不发生(即事件、不可能同时发生),我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.否那么就不是互斥事件.(2)对互斥事件的理解,也可以从集合的角度去加以认识.如果、是两个互斥事件,反映在集合上,是表示、这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.如果事件中的任何两个都是互斥事件,那么称事件彼此互斥,反映在集合上,表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.典型例题八例8 玻璃球盒中装有各色球12只,其中5红、4黑、2白、1绿,求从中取1球:(1)红或黑的概率;(2)红或黑或白的概率.15/15\n分析1:视其为等可能事件,进而求概率.解法1:(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得红球或黑球共有种不同取法,任取一球有种取法,∴任取1球得红球或黑球的概率得.(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种方法,得白球有2种取法,从而得红或黑或白球的概率为.分析2:视其为互斥事件,进而求概率.解法2:记事件:从12只球中任取1球得红球;:从中任取1球得黑球;:从中任取1球得白球;:从中任取1球得绿球,那么,,,.根据题意,、、、彼此互斥,由互斥事件概率得.(1)取出红球或黑球的概率为;(2)取出红或黑或白球的概率为.分析3:应用对立事件求概率.解法3:(1)由思路2,取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球,即的对立事件为,∴取出红球或黑球的概率为.(2)的对立事件为.即为所求.15/15\n说明:(1)“互斥”和“对立”事件容易搞混.互斥事件是指指事件不能同时发生,对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生.(2)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先去求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.典型例题六例6 判断以下给出的每对事件,(1)是否为互斥事件,(2)是否为对立事件,并说明道理.从扑克40张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.解:(1)是互斥事件,不是对立事件.道理是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.道理是:从40张扑克牌中,任意抽取1张.“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件15/15\n道理是:从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.说明:“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的,互斥事件是不可同时发生的两个事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件.因此,对立事件必须是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,也就是说“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件.“对立事件”是“互斥事件”的充分不必要条件.典型例题十例10 同时抛掷两枚骰子,求至少有一个5点或6点的概率.分析1:视其为等可能事件,进而求概率.解法1:同时投掷两枚骰子,可能结果如下表:共有36个不同的结果,其中至少有一个5点或6点的结果有20个,所以至少有一个5点或6点的概率为.分析2:利用对立事件求概率.解法2:至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6点.如上表,没有5点或6点的结果共有16个,没有5点或6点的概率为.至少有一个5点或6点的概率为.下面再给出一种解法(此解法可在下一节学完后,再学习)15/15\n分析3:利用公式.解法3:记事件:含有点数为5的.事件:含有点数为6的.显然、不是互斥事件,,∴至少有一个5点或6点的概率为.说明:(1)此题常出现的错误有两类:一类是不符合题意的臆想,含5的有6个,含6的有6个,∴至少有一个5或6的有12个,从而所求概率为;另一类是没有搞清楚、是否为互斥事件,直接利用公式.(2)解题时,将所有根本领件全部列出是防止重复和遗漏的有效方法;对于用直接法难于解决的问题,可求其对立事件的概率,进而求得概率,以降低难度.典型例题十一例11一批产品共件,其中件是废品,任抽件进展检查,求以下事件的概率.(1)件产品中至多有一件废品;(2)件产品中至少有一件废品.分析:件产品中恰有件废品是互斥事件,可用概率加法公式.解:设为事件“件产品中恰有件废品”,其中,易知()为彼此互斥事件.15/15\n(1)设为事件“件产品中至多有件废品”,那么有,又由于与互斥,所以(2)(法1)设为事件“件产品中至少有件废品”,那么有,而且彼此互斥,所以(法2)由于的对立事件为“件产品中无废品”,即,∴.说明:抽查产品问题与模球问题类似,是一类典型问题,应予以很好地理解和掌握.(1)“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品,也可以没有废品”,即(又,∴),其反面是“有件以上废品”,即(故).“至少有一件废品”的意义是“可以一件废品、可以有两件废品,…,可以有五件废品”,即,(故),其反面是“没有废品”,即(故).要正确理解“至多”、“至少”的含义,有时直接解简单,而有时用其反而去解简单.(2)注意求概率的直接法和间接法两种思路.典型例题十三例13学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有人,会跳舞的有15/15\n人,现从中选人,且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是,问该文娱队有多少人?分析:可选设既会唱歌又会跳舞的人数为,那么该队的队员人数为人.如以下图.解:设该队既会唱歌又会跳舞的人有名,那么该队队员的人数为名,只会唱歌的人有人,只会跳舞的人有人,从中选出人,记为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人”,那么的对立事件为“人都只会唱歌或只会跳舞”.∵,∴.∴.解得:.∴.∴该文娱队共有人.说明:(1)注意集合元素个数的计算方法:card()=card+card-card().(2)此题中出现了“至少”一词,可考虑从反而做,因为人数不知,所以从正面做较繁.典型例题十二例12某战士射击一次,设中靶的概率为.令事件为“射击一次、中靶”,求:15/15\n(1)的概率是多少?(2)假设事件(中靶环数大于)的概率是,那么事件(中靶环数小于)的概率是多少?事件(中靶环数大于且小于)的概率是多少?分析:(1)易做.(2)搞清三个事件、、之间的包含或对立关系.解:(1).(2)由题意,事件即为“中靶环数为环”,而事件为“中靶环数为环”,事件为“中靶环数为环”.可见与是对立事件,而.∴.又,∴.说明:离散型随机变量在某一范围内取值的概率,往往利用其在不同范围内发生的互斥性,再根据概率的加法处理.例如教材中例题:某地区年降水量在(mm)内的概率是,在(mm)内的概率是,那么该地区年降水量在(mm)内的概率即为,因为这两个事件是互斥的.典型例题四例4在9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队,抽签分成三组进展比赛预赛.求:(1)三个组各有一支亚洲队的概率;(2)至少有两个亚洲国家队在同~组的概率.分析:9个队平均分成三组的所有不同的分法总数为15/15\n,其中每个队有一支亚洲国家队的分法数为,用等可能事件的概率公式可求其概率.至少有两支亚洲国家队在同一小组可分成两类:恰好有两支亚洲国家队在同一组;三支亚洲国家队在同一组.分别计算它们的概率然后相加.此外,我们也可以先计算其对立事件的概率,而其对立事件为“3支亚洲国家队不在同一组”,实际上两小题的事件互为对立事件.解:(1)所有的分组结果是等可能的,9支队平均分成3组的不同分法数为:(种).其中三个组各有一支亚洲队,可以看成其它6支队中任取2支队与第1个亚洲队合为一组,剩下4支队任取2支与第2个亚洲队一组,最后2支队与第2、3支亚洲队一组,所有不同的分法数为(种)。所以“三个组各有一支亚洲队的概率为(2)方法1:“至少有两支亚洲队在同一组”分为两类:“恰好两支亚洲国家队在一组”,概率为“三支亚洲国家队在同一组”的概率为方法2:“至少有两支亚洲在同一组”的对立事件为“三个组各有一支亚洲队”。由(1)可得,“至少有两支亚洲队在同一组”的概率为:15/15
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 22:52:58
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