2023高考数学 秒杀必备 有关不等式的考点分析及解题策略

高考中有关不等式的考点分析及解题策略不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具．在近年来的高考中,有关不等式的试题都占有较大的比重(涉及不等式的试题一般占总分的12%左右),考查内容中不仅有不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的综合数学能力.有关不等式的题目多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，而且充分体现出不等式的知识网络所具有的极强的辐射作用。不等式试题高考中形式活泼且多种多样，既有选择题、填空题，又有解答题。考试大纲要求：1、理解不等式的性质及其证明；2、掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；3、掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；4、掌握简单不等式的解法。下面结合08年典型考题谈谈有关不等式问题的考点分析及解题策略。一.选择及填空题中考点分析及解题策略【典型考题】1.（天津）已知函数，则不等式的解集是（A）A．　B.　　C.　　D.2.（江西）若，则下列代数式中值最大的是（A）A．B．C．D．3.（陕西）“”是“对任意的正数，”的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.（浙江）已知，b都是实数，那么“”是“>b”的（D）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（海南）已知，则使得都成立的取值范围是（B）A.（0，）B.（0，）C.（0，）D.（0，）6.（上海）不等式的解集是　　　　　．（0，2）7.（山东）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围。-8-\n（5，7）.8.（江苏）已知，，则的最小值．39.（江西）不等式的解集为．10.（全国）．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（D）A．B．C．D．【考点分析及解题策略】从以上例子可以看出,选择题、填空题主要考查不等式的基本性质、解简单不等式、基本不等式应用、简单转化求参数范围、比较大小等，同时注意把不等式问题的考查与函数等问题的考查相结合。这类题目多属于基础问题，难度不大。解题策略可按解答选择填空题的一般策略进行，如用:直接法、特殊化法、排除法、验证法、数形结合法等。选择方法时要注意合理、准确、快速，不要“小题大做”，应当思维灵活，不拘一格，以提高解题效率。一.解答题中考点分析及解题策略【典型考题】1（安徽）设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：;（Ⅲ）设，证明：(1)必要性：，又，即充分性：设，对用数学归纳法证明当时，.假设则，且，由数学归纳法知对所有成立(2)设，当时，，结论成立-8-\n当时，,由（1）知，所以且(3)设，当时，，结论成立当时，由（2）知2．（全国1）设函数．数列满足，．（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设，整数．证明：．解析：（Ⅰ）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；（ⅱ）假设当时，成立，即-8-\n那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，，也就是说当时，也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.（Ⅲ）证明：由．可得1，若存在某满足，则由⑵知：2，若对任意都有，则，即成立.3．（全国2）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．解析：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．4分因此，所求通项公式为，．①6分（Ⅱ）由①知，，于是，当时，，-8-\n，当时，．又．综上，所求的的取值范围是．12分4．（山东）已知函数其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.解析：（Ⅰ）由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，当n=2时，所以（1）当a＞0时，由f(x)=0得＞1，＜1，此时f′（x）=.当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0,f(x)单调递增.（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a≤0时，f(x)无极值.-8-\n（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以当n为偶数时，令则g′（x）=1+＞0（x≥2）.所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.当n为奇数时，要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′（x）=1-≥0（x≥2）,所以当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，所以当x≥2时，恒有h(x)＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.令则当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，因此　　当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1)≤x-1成立.故　　当x≥2时，有≤x-1.-8-\n即f（x）≤x-1.5.(上海)已知函数f(x)＝2x－⑴若f(x)＝2，求x的值⑵若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围解析：（1）当时，；当时，由条件可知，即解得（2）当时，即，，，故的取值范围是6.（江苏）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为▲【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0即时，≥0可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；当x＜0即时，≥0可化为，在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4【考点分析及解题策略】从以上例子可以看出,今年高考中有关不等式的解答题主要考查的有证明不等式、含参数的不等式恒成立问题、最值型综合题以及实际应用题等.试题寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、几何等问题之中,并-8-\n有机融合、交互渗透,知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,这类问题也成为考查数学思想方法、数学能力及素质的主阵地。此类题目多属于中档题甚至是难题。解答策略：（1）证明不等式时要注意化归思想的应用，其过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，变形转化时要注意通过对已知条件和要证结论的分析、比较，逐步缩小差异，探寻解决问题的思路和方法，要做到有的放矢！要注意证明不等式的基本方法的应用，如：比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法、函数单调性法等。（2）求参数的取值范围问题，一般可考虑对原不等式可实施变量分离，最终形成g(t)>f(x)或g(t)<f(x)的结构（不妨假定t是参变量）.对于g(t)>f(x)恒成立，只需g(t)>f(x)max；对于g(t)<f(x)恒成立，只需g(t)<f(x)min，进而把问题转化为求函数最值问题。此类问题的常用策略还有：直接解不等式法，数形结合法等。-8-