2023高考数学统考一轮复习第2章函数第8节函数的图象教师用书教案理新人教版202303081209

　函数的图象[考试要求]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．1．利用描点法作函数的图象描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．(2)对称变换\n(3)伸缩变换(4)翻转变换1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．\n一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)(2)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×二、教材习题衍生1．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图象是(　　)ABCDC　[距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]2．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　　　D[答案]　C3．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)\nA．y轴对称　　　　　　　B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C　[∵f(x)＝－x是奇函数，∴图象关于原点对称．]4．函数y＝21－x的大致图象为(　　)A　　　　　B　　　　C　　　　DA　[y＝21－x＝，因为0＜＜1，所以y＝为减函数，取x＝0，则y＝2，故选A．]考点一　作函数的图象　作函数图象的两种常用方法[典例1]　作出下列函数的图象．(1)y＝|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.[解]　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝\n的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分．图①　　　　　　图②(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.图③　　　　　　图④(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.点评：画函数的图象一定要注意函数的定义域，对于图象无限趋近的渐近线也应用虚线画出．作出下列函数的图象．(1)y＝3|x|；(2)y＝|log2x－1|；(3)y＝|x－2|·(x＋1)．[解]　(1)先作出函数y＝3x(x≥0)的图象，再作出x≥0时图象关于y轴对称的图象，即得y＝3|x|的图象，如图所示：(2)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图所示：\n(3)y＝|x－2|·(x＋1)＝＝分段画出其图象如图所示：考点二　函数图象的辨识　辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．[典例2]　(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)A　　　　B　　　　C　　　　D(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)A　　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　　D(1)B　(2)B　[(1)设f(x)＝(x∈[－6,6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x\n)为奇函数，排除选项C；当x＝4时，y＝＝＞7，因此排除A、D，故选B．(2)法一：(图象变换法)作出与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称的图形得到函数y＝f(－x)的图象，再把得到的图象向右平移2个单位，得到函数y＝f(2－x)的图象，再作出与此图象关于x轴对称的图形，得到y＝－f(2－x)的图象，故选B．法二：(特殊值验证)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，应选B．]点评：在识图时，先判断奇偶性，再用特殊值排除．1．(2020·淄博模拟)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的图象可能是(　　)A　　　　B　　　　　C　　　DA　[当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；易知f(x)在R上连续，故排除B；且f(0)＝ln2－e－1＞0，故排除C，故选A．]2．已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　)图①　　　　　　　　图②A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)C　[因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C．]考点三　函数图象的应用　研究函数的性质　根据函数的图象研究函数性质的方法(1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域．(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性．(3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性．\n[典例3－1]　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．(1)C　(2)　[(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.]　利用图象解不等式　利用函数图象研究不等式当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．[典例3－2](2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)D　[f(x)＞0⇔2x＞x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，如图所示，两图象交点坐标为A(0,1)和B(1,2)，\n观察图象可知不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．]　研究方程根的个数(求参数的取值范围)　利用函数图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．[典例3－3]　(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝x|x－4|，若直线y＝a与函数f(x)的图象有三个交点A，B，C，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．(1)　(2)(8,6＋2)　[(1)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.(2)f(x)＝x|x－4|＝其图象如图所示．由图象可得x1＋x2＝4,4＜x3＜2＋2，所以8＜x1＋x2＋x3＜6＋2.]1．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)\nA．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称A　[因为y＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A．]2.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}C　[令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图所示．由得所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．(0,1]　[作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．]