2023高考数学统考一轮复习第2章函数第9节函数与方程教师用书教案理新人教版202303081210
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函数与方程[考试要求] 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.提醒:函数的零点不是函数y=f(x)的图象与x轴的交点,而是交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个数.2.函数的零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.提醒:函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2104.二分法的定义对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.\n有关函数零点的三个结论(1)若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.(2)f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.(3)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( )(3)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )(4)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac<0时没有零点.( )(5)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×二、教材习题衍生1.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A.2个B.3个C.4个D.5个B [∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点.]2.函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C [由题意得f(1)=ln1+2-6=-4<0,f(2)=ln2+4-6=ln2-2<0,f(3)=ln3+6-6=ln3>0,f(4)=ln4+8-6=ln4+2>0,∴f(x)的零点所在的区间为(2,3).]3.函数f(x)=ex+3x的零点个数是________.1 [∵函数f(x)=ex+3x在R上是增函数,且f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,\n∴f(-1)·f(0)<0,因此函数f(x)有唯一零点.]4.若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.(-∞,4) [由题意知Δ=16-4a>0,解得a<4.]考点一 判定函数零点所在区间 判断函数零点所在区间的方法1.设函数f(x)=x-lnx,则函数y=f(x)( )A.在区间,(1,e)上均有零点B.在区间,(1,e)上均无零点C.在区间上有零点,在区间(1,e)上无零点D.在区间上无零点,在区间(1,e)上有零点D [当x∈时,函数图象是连续的,且f′(x)=-=<0,所以f(x)在区间上单调递减,又f=+1>0,f(1)=>0,f(e)=-1<0,所以函数f(x)在区间(1,e)上有唯一零点,故选D.]2.若x0是方程=x的解,则x0属于区间( )A.B.C.D.\nC [令f(x)=-x,则x0是函数f(x)的零点,函数f(x)在R上图象是连续的,且f(0)=1>0,f=->0,f=-<0,∴f·f<0,因此x0∈,故选C.]3.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内A [∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b)(b,c)内分别存在一个零点;又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.]4.(2020·天津模拟)设函数f(x)=ex-1+4x-4,g(x)=lnx-,若f(x1)=g(x2)=0,则( )A.0<g(x1)<f(x2)B.g(x1)<0<f(x2)C.f(x2)<0<g(x1)D.f(x2)<g(x1)<0B [函数f(x)是R上的增函数,g(x)是(0,+∞)上的增函数,∵f(0)=e-1-4<0,f(1)=5-4=1>0,又f(x1)=0,∴0<x1<1,∵g(1)=-1<0,g(2)=ln2->0,又g(x2)=0,∴1<x2<2,∴f(x2)>f(1)>0,g(x1)<g(1)<0,∴g(x1)<0<f(x2),故选B.]点评:由f(a)·f(b)>0,并不能说明函数f(x)在区间(a,b)上没有零点,若f(x)在(a,b)上是单调函数,则f(x)在(a,b)上无零点.考点二 确定函数零点的个数 确定函数零点个数的方法\n[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5(2)函数f(x)=的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4(1)B (2)D (3)C [(1)由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx·(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个,故选B.(2)依题意,在考虑x>0时可以画出函数y=lnx与y=x2-2x的图象(如图),可知两个函数的图象有两个交点,当x≤0时,函数f(x)=2x+1与x轴只有一个交点,综上,函数f(x)有3个零点.故选D.(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f\n(0)=0,即x=0是函数f(x)的1个零点.当x>0时,令f(x)=ex+x-3=0,则ex=-x+3,分别画出函数y=ex和y=-x+3的图象,如图所示,两函数图象有1个交点,所以函数f(x)有1个零点.根据对称性知,当x<0时,函数f(x)也有1个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3.]点评:数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象.在画函数的图象时,常利用函数的性质,如周期性、对称性等,同时还要注意函数定义域的限制.1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4B [令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=.设g(x)=|log0.5x|,h(x)=.在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.故选B.]2.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点的个数是( )A.0B.2C.4D.6C [画出函数y=f(x)和y=log3|x|的部分图象如图所示.由图知,函数y=f(x)-log3|x|的零点的个数为4.]考点三 求与零点有关的参数问题\n已知函数有零点(方程有根),求参数的值或取值范围的方法 根据函数零点的个数求参数的取值范围[典例2-1] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)C [函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.]点评:已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图形一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题. 根据函数有零点求参数的取值范围[典例2-2] (1)函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )\nA.(2,+∞)B.[2,+∞)C.D.(2)已知函数f(x)=则函数F(x)=f(x)-a2+a+1(a∈R)总有零点时,实数a的取值范围是( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.[-1,2)C.[-1,0)∪(1,2]D.[0,1](1)D (2)A [(1)由题意知方程ax=x2+1在上有解,即a=x+在上有解,设t=x+,x∈,则t的取值范围是,所以实数a的取值范围是.(2)由F(x)=0,得f(x)=a2-a-1.∵函数f(x)的值域为(-1,+∞),∴a2-a-1>-1,解得a<0或a>1.故选A.]点评:函数f(x)有零点⇔f(x)=0有解,此时可分离参数,化为a=g(x)的形式,则a的取值范围就是g(x)的值域.1.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,1]C.[-1,0)D.(0,1]D [当x>0时,由2x-1=0得x=,即x=是函数f(x)的一个零点,故方程2x-a=0在(-∞,0]上有一个解.即a=2x在(-∞,0]上有一个解,又当x∈(-∞,0]时0<2x≤1,则0<a≤1,故选D.]2.若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是________. [∵函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,∴方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.令y=4x-2x=-.∵x∈[-1,1],∴2x∈,∴-∈.∴实数a的取值范围是.]核心素养3 用数学眼光观察世界——解嵌套函数的零点问题\n函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,常考查三次函数与复合函数相关零点,与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.嵌套函数零点个数的判断 已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是( )A.4B.5C.6D.7A [令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t)-2t-,则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)-2t-=0的根的问题.令y=f(t)-2t-=0,则f(t)=2t+.分别作出y=f(t)和y=2t+的图象,如图①,由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2(不妨设t1<t2),则t1=0,1<t2<2;由图②,结合图象,当f(x)=0时,有一解,即x=2;当f(x)=t2时,结合图象,有3个解.所以y=f[f(x)]-2f(x)-共有4个零点.图① 图②][评析] 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.2.抓住两点:(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________.5 [由2[f(x)]2-3f(x)+1=0,得f(x)=或f(x)=1,\n作出函数y=f(x)的图象如图所示.由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.]已知嵌套函数的零点个数求参数 函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.[-1,+∞) [设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.][评析] (1)求解本题抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.(2)含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.设定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程2f2(x)+2bf(x)+1=0有8个不同的实数根,则b的取值范围是________.-1.5<b<- [根据题意作出f(x)的简图:由图象可得当f(x)∈(0,1)时,有四个不同的x与f(x)对应.再结合题中“方程2f2(x)+2bf(x)+1=0有8个不同实数解”,可以分解为形如关于K的方程2K2+2bK\n+1=0有两个不同的实数根K1,K2,且K1和K2均为大于0且小于1的实数.列式如下:即可得-1.5<b<-.]
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