【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 4.2平面向量基本定理及坐标表示课时作业 理.DOC
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课时作业28 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.设平面向量a=(-1,0),b=(0,2),则2a-3b=( )A.(6,3)B.(-2,-6)C.(2,1)D.(7,2)解析:2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6).答案:B2.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b解析:设c=xa+yb,则(-1,2)=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y)∴解得,则c=a-b,选B.答案:B3.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5解析:根据题意,由于△ABC和点M满足++=0,则可知点M是三角形ABC的重心,设BC边的中点为D,则可知==×(+)=(+),所以+=3,故m=3.答案:B4.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于( )A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)6\n解析:=3=3(2-)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).答案:B5.已知△ABC的三个内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,向量m=(a+c,a-b),n=(b,a-c),若m∥n,则∠C=( )A.B.C.D.解析:因为向量m=(a+c,a-b),n=(b,a-c),且m∥n,所以(a+c)(a-c)-b(a-b)=0,即a2+b2-c2-ab=0.由余弦定理,得cosC===.故∠C=.答案:B6.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,设O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是( )A.B.C.D.解析:依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是.答案:D二、填空题7.已知O为坐标原点,A(1,1),C(2,3)且2=,则的坐标是________.解析:由2=,得2(-)=-,得=3-2=3(2,3)-2(1,1)=(4,7)答案:(4,7)8.已知向量a=(5,-3),b=(9,-6-cosα),α是第二象限角,a∥(2a-b),则tanα=________.解析:∵向量a=(5,-3),b=(9,-6-cosα),6\n∴2a-b=(1,cosα),∵a∥(2a-b),∴5cosα+3=0,∴cosα=-,∵α是第二象限角,∴sinα=,∴tanα=-.答案:-9.已知m>0,n>0,向量a=(m,1),b=(2-n,1),且a∥b,则+的最小值是________.解析:∵a∥b,∴m=2-n,即m+n=2.又m>0,n>0,∴+=(m+n)(+)=(1+++2)=(3++)≥(3+2)=+.(当且仅当n=m时,等号成立)答案:+三、解答题10.如上图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示,.解:设=a,=b.因为M,N分别为CD,BC的中点,所以=b,=a.因而⇒6\n即=(2d-c),=(2c-d).11.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.解:(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时,有故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).∵=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,∴A,B,M三点共线.1.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)解析:∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),即a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),∴即∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).答案:D2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )A.(x-1)2+(y-2)2=5B.3x+2y-11=0C.2x-y=0D.x+2y-5=0解析:设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).6\n于是由③得β=1-α代入①②,消去β得再消去α得x+2y=5,即x+2y-5=0.答案:D3.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心的上运动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是________.解析:以O为原点,OA为x轴,垂直于OA的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则A(1,0),B,设OC与x轴的夹角为θ,则C(cosθ,sinθ),由题知(cosθ,sinθ)=x(1,0)+y,则cosθ=-y+x,sinθ=y,故x+y=cosθ+sinθ=2sin,当θ=时,(x+y)max=2.答案:24.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cosθ,t),(1)若a∥,且||=||,求向量的坐标;(2)若a∥,求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.6\n解:(1)∵=(cosθ-1,t),又a∥,∴2t-cosθ+1=0.∴cosθ-1=2t.①又∵||=||,∴(cosθ-1)2+t2=5.②由①②得,5t2=5,∴t2=1.∴t=±1.当t=1时,cosθ=3(舍去),当t=-1时,cosθ=-1,∴B(-1,-1),∴=(-1,-1).(2)由(1)可知t=,∴y=cos2θ-cosθ+=cos2θ-cosθ+=+=2-,∴当cosθ=时,ymin=-.6
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