湖南省高考数学第二轮复习 专题升级训练16 计数原理、二项式定理 理
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专题升级训练16计数原理、二项式定理(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为().A.24B.18C.12D.62.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为().A.1或3B.1或4C.2或3D.2或43.(x2+2)5的展开式的常数项是().A.-3B.-2C.2D.34.设集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y{1,2,3,…,9},且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是().A.9个B.14个C.15个D.21个5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是().A.74B.121C.-74D.-1216.将1,2,3,…,9这9个数字填在3×3的正方形方格中,要求每一列从上到下的数字依次增大,每一行从左到右的数字也依次增大,当4固定在中心位置时,则填写方格的方法有().A.6种B.12种C.18种D.24种二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答).8.(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=__________.9.(2012·湖南湘潭模拟,15)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则a10+a11=__________.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)将一个四棱锥的每个顶点染上颜色,使同一条棱上的两端点异色,如果有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法总数有多少种?11.(本小题满分15分)6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?12.(本小题满分16分)(1)若(1+x)n的展开式中,x3的系数是x的系数的7倍,求n.(2)已知(ax+1)7(a≠0)的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,求a.-3-\n参考答案1.答案:B解析:先分成两类:(一)从0,2中选数字2,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为C23×4=12;(二)从0,2中选数字0,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为C23×2=6.故满足条件的奇数的总个数为12+6=18.2.答案:D解析:6人之间互相交换,总共有C26=15种,而实际只交换了13次,故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D.3.答案:D解析:5的通项为Tr+1=C5-r(-1)r=(-1)rC.要使(x2+2)5的展开式为常数,须令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)5的展开式的常数项是(-1)4×C45+2×(-1)5×C55=3.4.答案:B解析:∵PQ,∴x=2或x=y,当x=2时,y可取3,4,…,9等7个值,此时点的个数是7个;当x=y时,x,y可取3,4,…,9等7个值,此时点的个数是7个,∴这样的点的个数是14个,∴选B.5.答案:D解析:(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8==,∴展开式中含x3的项的系数为(1-x)5,(1-x)9的展开式中含x4的项的系数,为C45-C49=-121.∴选D.6.答案:B解析:首先确定1,9分别在左上角和右下角,2,3只能在4的上方和左方,有2种填法,5,6,7,8填在其他位置有C24=6种方法.依分步乘法计数原理有2C24=12种填法,所以选B.7.答案:解析:基本事件总数为A66=720,事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类,第一类:三节艺术课各不相邻有A33A34=144;第二类:有两节艺术课相邻有A33C32A22C21C31=261;第三类:三节艺术课相邻有C21A33A33=72.由古典概型概率公式得概率为=.8.答案:2解析:∵Tr+1=C4ra4-rxr,∴r=3时,C434a4-3=8,∴a=2.9.答案:0解析:(x-1)21的通项为Tr+1=C21rx21-r(-1)r,∴T12=C2111x10(-1)11=-C2111x10.∴a10=-C2111.T11=C2110x11(-1)10=C2110x11,∴a11=C2110.∴a10+a11=-C2111+C2110=0.10.解:将四棱锥记为SABCD,先染S,A,B,由于颜色各不相同,∴有A53=60种方法;再染C,D,若C的颜色与A相同,则D有3种染色方法,若C的颜色与A不相同,则C-3-\n有2种染色方法,D有2种染色方法,依两个基本原理,不同的染色方法数为A53×(3+2×2)=420种.11.解:6个人坐在一起有A66种坐法,6人坐好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有C74=35种插法,故空位不相邻的坐法有A66·C74=25200种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插有A27种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66·A72=30240种.(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类:①4个空位各不相邻有C74种坐法;②4个空位有2个相邻,另有2个不相邻有C71C62种坐法;③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有C72种坐法.综上所述,应有A66(C74+C71·C62+C72)=115920种坐法.12.解:(1)Cn3=7Cn1,=7n,n2-3n-40=0,由nN*,得n=8.(2)由题意知,C75a2+C73a4=2C74a3,21a2+35a4=70a3,a≠0,得5a2-10a+3=0a=1±.-3-
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