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高考总动员2023高考数学大一轮复习第3章第6节正弦定理和余弦定理课时提升练文新人教版
高考总动员2023高考数学大一轮复习第3章第6节正弦定理和余弦定理课时提升练文新人教版
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课时提升练(二十一) 正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2014·江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( )A. B. C.1 D.【解析】 ∵=,∴=.∵3a=2b,∴=.∴=.∴=22-1=2×2-1=-1=.【答案】 D2.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.sinA,sinB,sinC成等比数列,且c=2a,则cosB的值为( )A.B.C.D.【解析】 ∵sinA,sinB,sinC成等比数列,∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac,又c=2a,∴cosB===.【答案】 B3.在△ABC中,内角A,B的对边分别是a,b,若=,则△ABC为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】 法一:∵==,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,5\n∴2A=2B,或2A+2B=π,∴A=B或A+B=.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.法二:∵==,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2).∴a2c2-a4=b2c2-b4.即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0.∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0.∴a=b或a2+b2=c2.即△ABC为等腰三角形或直角三角形.【答案】 C4.(2014·课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )A.5B.C.2D.1【解析】 ∵S=AB·BCsinB=×1×sinB=,∴sinB=,∴B=或.当B=时,根据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2+2=5,∴AC=,此时△ABC为钝角三角形,符合题意;当B=时,根据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2=1,∴AC=1,此时AB2+AC2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意.故AC=.【答案】 B5.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】 由正弦定理得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则cos5\nA≥.因为0<A<π,所以0<A≤.【答案】 C6.(2013·山东高考)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=( )A.2B.2C.D.1【解析】 由正弦定理得:=,∵B=2A,a=1,b=,∴=.∵A为三角形的内角,∴sinA≠0.∴cosA=.又0<A<π,∴A=,∴B=2A=.∴C=π-A-B=,∴△ABC为直角三角形.由勾股定理得c==2.【答案】 B二、填空题7.(2014·福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于________.【解析】 ∵A=60°,AC=2,BC=,设AB=x,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,化简得x2-2x+1=0,∴x=1,即AB=1.【答案】 18.(2014·广东高考)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=________.【解析】 法一:因为bcosC+ccosB=2b,所以b·+c·=2b,化简可得=2.法二:因为bcosC+ccosB=2b,所以sinBcosC+sinCcosB=2sinB,故sin(B+C)=2sinB.5\n故sinA=2sinB,则a=2b,即=2.【答案】 29.(2014·江苏高考)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是________.【解析】 由sinA+sinB=2sinC,结合正弦定理得a+b=2c.由余弦定理得cosC===≥=,故≤cosC<1,故cosC的最小值为.【答案】 三、解答题10.(2014·课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.【解】 (1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.②由①②得cosC=,故C=60°,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=AB·DAsinA+BC·CDsinC=sin60°=2.11.(2014·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sinB=sinC.(1)求cosA的值;5\n(2)求cos的值.【解】 (1)在△ABC中,由=,及sinB=sinC,可得b=c,又由a-c=b,有a=2c,所以cosA===.(2)在△ABC中,由cosA=,可得sinA=.于是cos2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sinA·cosA=.所以cos=cos2A·cos+sin2A·sin=.12.(2014·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sinAsinB=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.【解】 (1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+,化简得-2cosAcosB+2sinAsinB=,故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.(2)因为S△ABC=absinC,由S△ABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c=.5
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发布时间:2022-08-25 18:11:24
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